当前课程知识点:信号与系统分析 > 第五章 连续系统的S域分析 > 5-6 LTI连续系统的复频域分析 > 视频 5-6 LTI连续系统的复频域分析
大家好
拉普拉斯变换是分析
线性连续系统的有力数学工具
相比时域分析和频域分析
它能更方便地求取系统
对输入信号的响应
它将描述系统的时域微积分方程
变换为s域的代数方程
便于运算和求解
同时它将系统的初始状态
自然地包含于象函数方程中
既可分别求得零输入响应
零状态响应
也可一举求得系统的全响应
而且通过系统函数的分析
以后能更有效地研究既定系统的特征
更方便地实现系统的综合和设计
今天这一讲
我们学习LTI连续系统的复频域分析
研究微分方程在S域怎么求解
系统对输入信号的响应和时域相比
是否更便利
系统函数怎么定义
系统对输入信号的响应
和系统函数有什么关系
时域分析法分析LTI连续系统时
根据LTI连续系统的
常系数线性微分方程
求解齐次解和特解
齐次解根据特征根有不同的形式
当特征根全部为单实根时
齐次解是带待定系数的
e的根t幂次方
特解和激励的形式一致
求出齐次解和特解后
再根据初始值确定待定系数
那微分方程的S域求解如何呢
根据LTI连续系统微分方程的一般形式
如1式所示
和已知的
系统初始状态
先利用拉普拉斯变换
时域的微分特征
对1式方程等号两边做拉普拉斯变换
因为y(t)的i阶微分对应的
象函数为2式所示
而激励f(t)接入系统
是从0时刻开始的
考虑成因果函数
其j阶微分对应的象函数为3式所示
所以1式方程等号两边
做拉普拉斯变换
可以得到4式
把4式方程中Y(s)前面的
各系数多项式看成A(s)
微分0负值
系统初始值状态相关的各项看成M(s)
F(s)前面的系数项看成B(s)
则1式的常系数线性微分方程
变成5式的代数方程
根据这个代数方程
可以方便的求出Y(s)
如6式所示
6式中A(s)分之M(s)
即为系统的零输入响应的象函数
后一项
A(s)分之B(s)乘F(s)即为系统
零状态响应的象函数
再对6式的各项求拉普拉斯逆变换
方便地求出系统的零输入响应
零状态响应和全响应
例1 某LTI系统的微分方程如7式所示
初始状态y(0-)=2
y'(0-)=2
激励f(t)等于
求响应
解 对于7式方程等号两边
做拉普拉斯变换
利用拉普拉斯变换时域微分特性
得8式
经整理成9式
所以解得Y(s)为10式
10式中方程等号右边第一项为
零输入响应对应的象函数
第二项为零状态响应对应的象函数
即表述成11式
在11式中代入系统初始状态值和F(s)
分别求得Yzi(s)和Yzs(s)值
如12式所得
即Yzi(s)采用部分分式展开成
再取拉普拉斯逆变换
可以得到零输入响应yzi(t)等于
Yzs(s)采用部分分式展开成
取拉普拉斯逆变换
可以算出零状态响应Yzs(t)等于
所以全响应y(t)等于零输入响应
加零状态响应等于
根据系统7式可知
是自由响应
随着t趋于无穷
该项趋于零
所以是暂态响应
而后一项
和激励形式相同
是强迫响应
也是稳态响应
S域分析和时域分析的不同点
大家要注意
时域分析时
齐次解的待定系数是用初始值
yi阶零正值确定的
而S域分析时
拉普拉斯变换采用的是
初始状态值
S域分析时
如果已知的是初始值
则应该根据初始值和
初始状态值之间的关系式
先求出
再在S域进行分析
初始状态值和初始值
之间的关系为13式
而零输入系统由于没有激励影响
系统内部状态不会突变
又因为
所以根据14式
是已知的
所以待定的是
例2 已知某LTI系统的微分方程
和例1一样为7式
但已知的是初始值
y(0+)=2
1y'(0+)=1
激励仍然为f(t)等于
求y(0-)
解 和例1一样
系统的零状态响应没有改变
仍然为Yzs(t)等于
代入t=0
得Yzs(0+)=0
对yzs(t)求微分
得yzs'(t)等于
代入t=0
得Yzs'(0+)=2
利用公式14式
系统的响应可以从不同的角度区分
分零输入响应和零状态响应
自由响应和强迫响应
稳态响应和暂态响应
通过例题3分析
我们从S域分析
系统对输入激励的影响
理解他们之间的联系和区别
例3 描述某LTI系统的微分方程为15式
系统初始状态值为y(0-)=1
y'(0-)=-1
激励f(t)等于
求系统的全响应
解 采用S域分析该系统的响应
对方程15式两端取拉普拉斯变换
并整理成16式
16式等号右边第一项和y的
初始值有关
为系统的Yzi(s)
第二项和F(s)有关
为系统的Yzs(s)
把激励等于
对应的象函数
和y的各初始状态值代入16式
得17式
把17式用部分分式展开
得18式
大家注意
18式中
方程等号右边前两项是Yzi(s)
后四项是Yzs(s)
等号右边前四项是自由响应
对应的象函数
后两项是强迫响应对应的象函数
对18式取拉普拉斯逆变换
y(t)算出如19式
19式中
方程等号右边前两项是
零输入响应yzi(t)
后四项是零状态响应yzs(t)
方程等号右边前四项是自由响应
后两项是强迫响应
自由响应随着t趋于无穷而趋于零
故该自由响应是瞬态响应
强迫响应随着t趋于无穷值
在负根号2和根号2之间变化
是稳态响应
S域分析LTI微分方程
思路过程都简单
前提是掌握信号的拉普拉斯变换
和其逆变换
同时拉普拉斯变换
微分定理一定要记牢
系统函数H(s)
系统函数只与系统的结构
元件的参数有关
而与激励、系统初始状态
是没有关系的
20式定义了系统函数为
系统零状态响应的象函数Yzs(s)
与激励的象函数F(s)之比
证明如下
设激励f(t)作用在冲激响应为h(t)的
LTI连续系统上时
产生的零状态响应为yzs(t)
因为yzs(t)等于f(t)卷积h(t)
根据拉普拉斯变换时域卷积定理性质
所以Yzs(s)等于F(s)乘h(t)的象函数
即h(t)的象函数等于F(s)分之Yzs(s)
所以 可知系统函数H(s)等于
冲激响应h(t)的象函数
即冲激响应h(t)和系统函数H(s)
是一对拉普拉斯变换对
例 已知当输入f (t)等于
某LTI因果系统的零状态响应已知为
yzs(t) 等于
求该系统的冲激响应
和描述该系统的微分方程
激励已知
零状态响应已知
把他们做拉普拉斯变换
则F(s)和Yzs(s)已知
系统函数等于
F(s)分之Yzs(s)
立马就能算出来
根据系统的微分方程
和零状态响应满足的微分方程
描述系统的微分方程
和零状态响应满足的微分方程是一致的
故只要求出零状态响应的微分方程
即可得到系统的微分方程
解 由已知的f(t)和yzs(t)
对他们做拉普拉斯变换
得21式
系统函数H(s)等于F(s)分之Yzs(s)
代入F(s)和Yzs(s)的值
得22式
对22式中的部分分式展开式
求拉普拉斯逆变换
得h(t)
22式中交叉相乘可得
等于
所以有23式
23式再取逆变换
得yzs(t)满足的微分方程
也就是y(t)满足的微分方程
LTI连续系统的复频域分析
比LTI连续系统的时域分析
要简单有效得多
大家一定要看清楚已知条件
掌握好常用信号的拉普拉斯变换
和部分分式展开法求拉普拉斯逆变换
熟练运用拉普拉斯变换的
时域微积分性质
灵活分析系统对输入激励的响应
今天就讲到这里
谢谢
-1-1 绪言
--视频1-1 绪言
--课件1-1 绪言
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-1-2 信号的分类
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-1-3 信号的基本运算
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-2-1 LTI连续系统微分方程的经典解
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-2-2 LTI连续系统的响应
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-2-3 冲激响应和阶跃响应
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-2-4 卷积积分
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-2-5 卷积积分的性质
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-3-1 LTI离散系统的描述及经典解
--讨论题
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-3-2 LTI离散系统的响应
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- 3-4 卷积和及性质
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- 4-1 信号分解为正交函数
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-4-2 周期信号的傅里叶级数
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-4-3 周期信号的频谱
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-4-4 傅里叶变换
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-4-5 傅里叶变换的性质I
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- 4-6 傅里叶变换的性质II
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-4-7 周期信号的傅里叶变换
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-4-8 连续系统的频率响应
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-4-9 LTI连续系统的频域分析
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-4-10 无失真传输与低通滤波
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-4-11 取样定理
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-5-1 拉普拉斯变换定义与收敛域
--讨论题1
--讨论题2
- 5-2 单边及常见信号的拉普拉斯变换
--讨论题
-5-3 拉普拉斯变换性质Ⅰ
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-5-4 拉普拉斯变换性质Ⅱ
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-5-5 拉普拉斯逆变换
--讨论题
--讨论题
-5-6 LTI连续系统的复频域分析
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-5-7 拉普拉斯变换的应用-电路的S域分析
--讨论题
-5-8 拉普拉斯变换的应用-LTI系统的S域框图
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-6-1 Z变换定义与收敛域
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-6-2 Z变换的基本性质I
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-6-3 Z变换的基本性质II
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-6-4 逆Z变换
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-6-5 LTI离散系统的Z域分析
--讨论题
-6-6 Z变换的应用----LTI系统的Z域框图
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-7-1 系统函数与系统特性
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- 7-2 系统的因果性和稳定性
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-7-3 信号流图
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-8-1 基于MATLAB的信号表示与可视化
-8-2 信号时域运算的MATLAB实现
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-8-3 卷积和与卷积积分的MATLAB实现
- 8-4 LTI系统时域分析的MATLAB实现
-8-5 连续信号频域分析的的MATLAB实现
-8-6 连续系统频域分析的的MATLAB实现
-8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--视频8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--课件8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
-8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--视频8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--课件8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
-讨论题