视频6-5 LTI离散系统的z域分析在线视频

大家好

z变换是分析线性离散系统的

有力数学工具

相比时域分析和频域分析

能更方便地求取系统对输入信号的响应

一方面

可将描述系统的时域差分方程

变换为z域的代数方程

便于运算和求解

另一方面将系统的初始状态

包含于象函数的方程中

可以一举求得系统的全响应

并可以求解系统函数

分析系统特性

通过今天这一讲

可以为同学们将来进行

系统综合和设计打下基础

本讲我们学习LTI离散系统的z域分析

研究差分方程在Z域求解方法

系统函数的定义和求解方法

时域分析方法中

分析LTI离散系统时

根据LTI离散系统的

常系数线性差分方程

求解齐次解和特解

得到系统的自由响应和强迫响应

并根据响应的分类

可以依次求解零输入响应和零状态响应

下面我们来看差分方程的z域求解

LTI离散系统的差分方程

一般形式如式1所示

设f(k)在k=0时接入

系统初始状态为y(-1) y(-2) … y(-n)

观察差分方差

主要是对序列及序列移位的齐次可加

利用z变换的单边右移特性

可以分别得到f(k-i)和y(k-i)的z变换为

（2）式和（3）式所示

特别地

若f(k)为因果序列

则f(k – j) 的z变换为 z-jF(z)

根据上面性质

把1式方程等号两边做z变换

可以得到4式

把4式方程中Y(z)前面的

各系数多项式看成A(z)

和系统初始状态相关的

各项看成-M(z)

F(z)前面的系数项看成B(z)

则1式的常系数线性差分方程

变成5式的代数方程

Y(z)等于 A(z)分之M(z)

加A(z)分之B(z)乘F(z)

5式中A(z)分之M(z)仅与

初始状态有关而与输入无关

即为系统零输入响应的象函数Yzi(z)

后一项

A(z)分之B(z)乘F(z)

仅与输入有关而与初始状态无关

即为系统的零状态响应的象函数Yzs(z)

再对5式中的各项求逆z变换

可以方便地求出系统的零输入响应

零状态响应和全响应

例1 某系统的差分方程为

y(k) – y(k – 1) – 2y(k – 2)= f(k)+2f(k – 2)

已知y( –1)=2

y(– 2)= – 1/2

求系统的yzi(k) yzs(k) y(k)

对例题中方程等号两边

做单边z变换

利用z变换时域移位和线性特性

得6式

经整理可得7式

7式中方程等号右边第一项为

零输入响应对应的象函数

第二项为零状态响应对应的象函数

分别代入系统初始状态值和F(z)

分别求得Yzi(z)和Yzz(z)

如式6和式7所示

把Yzi(z)采用部分分式展开成

2z/z-2减z/z+1

再取z逆变换

可以得出零输入响应yzi(k)等于

Yzs(z)采用部分分式展开成

可以得出零输状态响应yzs (k)等于

所以全响应y(k)等于

根据系统差方程可知

[ 4(2)k- 1/2 (-1)k ] (k)是自由响应

而后一项- 3/2(k)和激励形式相同

是强迫响应

Z域分析和时域分析的不同点

大家要注意

时域分析时

齐次解的待定系数是用初始值

y(0) y(1)等确定的

而Z域分析时

z变换采用的初始状态值

y(-1) y(-2)等来确定

Z域分析时

如果已知的是初始值y(0) y(1)

则应先求出y(-1) y(-2)

再在Z域进行分析

此种情况下求系统全响应y(k)

有两种方法

第一种 迭代法

根据差分方程的递推关系进行求解

再在z域求解差分方程

第二种方法

先在z域求解Yzs(z)

求逆后得到yzs(k)

这样可以得到yzs(0) yzs(1)

而yzi(0)= y(0)- yzs(0)

yzi(1)= y(1)- yzs(1)

其他初始值以此类推

便可以在时域解齐次方程

求得yzi(k)

例2 已知某LTI系统的差分方程为

y(k) +4 y(k – 1) +3y(k – 2)= 4f(k)+2f(k – 1）

已知y(0)=9

y(1)= – 33

求系统的yzi(k) yzs(k)和y(k)

和例1不同的是

已知的是初始值

先求Yzs（z）

零状态下

yzs(-1) yzs(-2)均为0

对差分方程取单边z变换

得10式

对10式进行整理

并带入F(Z)

得到YZS(z)的表达式

如式11所示

YZS(z)进行部分分式展开

求逆后得到

分别取k=0 k=1

得到yzs(0)=4

yzs(1)=-22

进而求得yzi(0)= y(0)- yzs(0)=5

yzi(1)= y(1)- yzs(1)=-11

根据差分方程

求出特征根

可以得到零输入响应表示为

将求得到yzi(0) 和yzi(1)

带入表达式待定系数

可以求得czi1=2

czi2=3

所以

全响应为

Z域分析LTI差分方程的思路

过程都比时域要简单

前提是大家要掌握好基本信号的

z变换和其逆z变换

二 系统函数

首先来看系统函数的定义

系统零状态响应的象函数Yzs (z)

与激励的象函数F(z)之比

其次来看学习系统函数的意义

系统函数H(z)与单位序列响应

是一对Z变换

得到H(Z)

可以通过求拟得到h(k)

为时域进行系统设计提供依据

2 当激励为z^k时

yzs(k)=h(k)*z^k

整理后可以得到

系统对激励的响应为

乘以加权函数H(Z)

3 系统函数只与系统的

结构、元件参数有关

而与激励、系统初始状态无关

系统函数是非常重要的

下面我们来看系统函数怎么求解

例 描述某LTI系统的方程为

y(k)-1/6 y(k-1)-1/6 y(k-2)=f(k)+2f(k-1)

求系统的单位序列响应h(k)

该差分方程在时域求解h(k)

是较为麻烦的

我们来看看在z域求解

设初始状态为零状态

对方程取z变换

可以得到16式

将16式进行变化

可以得到H(z)=Yzs (z)/ F(z)

进行部分分式展开

得到17式

对17式进行逆z变换

得到单位序列响应

下面来看系统函数的应用

某系统

已知当输入f(k)等于

其零状态响应为yzs(k)

求系统的单位序列响应h(k)

和描述系统的差分方程

分析题意

已知输入和零状态响应

在z域

H(z)的求解变成了除法

分别对f(k)和yzs(k)取Z变换

求得H(z)=Yzs (z)/ F(z)

进行部分分式展开

并进行逆z变换

得到

Yzs (z)/ F(z)和等式后面的表达式

对应相乘

得到如下方程

对该方程取逆z变换

得到系统的差分方程为

y(k)-1/6 y(k-1)-1/6 y(k-2)=f(k)+2f(k-1)

LTI离散系统的z域分析

比时域分析要简单有效得多

同学们要注意已知条件

掌握好常用信号的z变换

和部分分式展开法求z逆变换

利用系统函数

灵活的分析系统对输入激励的响应

今天就讲到这里

谢谢