当前课程知识点:信号与系统分析 > 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 > 4-7 周期信号的傅里叶变换 > 视频4-7 周期信号的傅里叶变换
大家好
我们开始本讲内容
周期信号用傅里叶级数分析其频谱
用Fn表示
是离散谱
非周期信号用傅立叶变换分析其频谱
是连续谱
那么周期信号是否也可以
求其傅立叶变换
与傅立叶级数之间又是什么关系
在频域引入冲激函数
就可以将周期信号和非周期信号
统一在一起
都可以用傅里叶变换来
分析信号的频谱
本讲就来介绍周期信号的
傅里叶变换
主要内容从正、余弦函数的
傅立叶变换
扩展到一般周期函数的傅里叶变换
最后再分析傅立叶系数
与傅立叶变换的关系
首先来看我们最熟悉的
两个周期信号
正、余弦信号的傅里叶变换
由欧拉公式可以将余弦信号
和正弦信号转换为指数函数
利用频移特性
可以求出这两个
需指数信号的频谱函数
再结合线性性质就可以求出
余弦信号的傅里叶变换
如(1)式所示
同理得到正弦信号的傅里叶变换
如(2)式所示
如图1所示
有两个向上的冲激
强度为pai
如图2所示
有两个冲激
但它是一个纯虚函数
冲激的强度表示为正负jpai
求得了这两个特殊周期信号的
傅里叶变换
那么一般周期信号的傅里叶变换
如何来求呢
我们先回顾一下周期信号的
傅里叶级数
为了和非周期信号相区别
这里用一个下标T表示f(t)
是以T为周期的周期信号
要求fT(t)的傅里叶变换
将傅里叶级数表达式代入
根据傅里叶变换的线性性质
可以将求和
和系数Fn放到变换的外面
得到这个式子
这个虚指数信号和刚才一样
利用频率特性求得频谱函数
从而得到周期信号的傅里叶变换
可见 周期信号的傅里叶变换
是由无穷多个冲激函数组成的
强度为2πFn
这就是求周期信号傅里叶变换的
第一种方法
先求出傅里叶系数Fn
然后代入(3)式
求得周期信号的频谱函数
利用这种方法来求如图3a所示
周期矩形脉冲信号的傅立叶变换
首先先求出傅里叶系数Fn
然后将Fn带入公式
求得该周期信号的傅里叶变换
频谱如图b所示
虽然从频谱图形上看
是极其相似的
但两者的含义不同
对周期信号进行傅里叶级数展开
得到傅里叶系数Fn
它代表了信号各次谐波分量的
幅度和相位
而对周期信号进行傅里叶变换
得到的是频谱密度
它由一系列冲激函数组成
求图4所示周期冲激函数序列的
傅里叶变换
按照定义先求傅里叶系数Fn
在(-T/2, T/2)之间
只有一个冲激函数
代入公式
再利用冲激函数的取样性质
得到Fn=1/T
代入公式
得到该周期冲激序列的傅里叶变换
频谱如图b所示
可见 周期冲激序列的傅里叶变换
在频域仍然是一个周期冲激序列
冲激的强度和周期
都为Ω=2π/T
另一方面
一个周期信号可以看作
是由第一个周期内的信号f0(t)
平移周期的整数倍
进行周期延拓得到
要对一个信号进行平移
可以和冲激函数卷积来得到
所以fT(t)可以看作是第一个周期内
f0(t)卷积周期冲激序列得到
根据时域卷积定理
时域卷积对应频域相乘
从而得出求一般周期信号
傅里叶变换的第二种方法
即先求出第一个周期内信号
f0(t)的频谱函数F0(jw)
然后利用(4)式来得到
周期信号的傅里叶变换
用第二种方法求例1中
周期矩形脉冲信号的傅里叶变换
第一个周期内信号p0(t)就是门函数
得到它的频谱函数
然后代入公式进行整理
得到该周期信号的傅里叶变换
频谱如图b所示
与方法1的结果是一致的
以上得出了两种方法来求
周期信号的傅里叶变换
比较可得
上式提供了一种利用傅里叶变换
求傅里叶系数的方法
这表明傅里叶变换中的许多性质
也可以用于傅里叶级数
从而使傅立叶变换的应用更广泛
将如图7所示周期信号展开成
指数形式傅里叶级数
首先要求傅里叶系数Fn
直接按照定义来计算
运算比较复杂
看到第一个周期内信号f0(t)
向左平移1个单位就是我们熟悉的
三角形脉冲f1(t)
f1(t)可以由两个门函数卷积得到
根据卷积定理容易求得
由时移特性
根据傅里叶系数与傅里叶变换的关系
得到傅里系数Fn
那么将Fn带入展开式得到
该周期信号指数形式的
傅里叶级数展开
本讲主要介绍了
周期信号的傅里叶变换
我们可以总结为321
“3”就是三个傅里叶变换对
得出了余弦信号、正弦信号
和周期冲激序列
这三个常用周期信号的
傅里叶变换
“2”就是求一般周期信号
傅里叶变换的两种方法
一种是先求傅里叶系数
一种是先求第一个周期内信号
f0(t)的傅立叶变换
最后又得到了一个关系
即傅里叶系数和傅里叶变换之间的关系
将两种分析方法联系在了一起
使傅里叶变换的应用更为广泛
本讲内容就到这里
谢谢大家
-1-1 绪言
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-2-2 LTI连续系统的响应
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-4-2 周期信号的傅里叶级数
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-4-3 周期信号的频谱
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-8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
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