视频6-4 逆z变换在线视频

大家好

z变换能把复杂的差方程化解为简单的代数方程

是学习信号与系统课程最重要的方法之一

前面讲解了z变换的定义

收敛域 常用信号的z变换以及z变换的基本性质

这一讲

我们来讲解逆z变换

首先

我们来复习下Z变换的定义

那么逆z变换就是由象函数求原序列f(k)的过程

f(k)可以由式2所示的围线积分求得

其中 C为F(z)收敛域内绕原点逆时针方向的闭合曲线

常用的求解逆z变换的方法有三种

1 幂级数展开法

2 部分分式展开法

3 围线积分法

也称作留数法

这一讲中

我们主要讲解前两种方法

一 幂级数展开法

象函数展开后可以表示成z的幂级数

可以分为两部分

第一部分是z的幂级数

系数是f(k)的反因果序列部分

第二部分是z-1的幂级数

系数是f(k)的因果序列部分

归纳其求解思路为

将F(z)展开为上式的形式

其系数即为f(k)

双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)

和反因果序列f2(k)两部分

幂级数展开法求f(k)的步骤为

首先根据已知象函数F(z)

及其收敛域求得原序列f1(k)和f2(k)

再求得原序列f(k)

F（z）一般是z的有理函数

也可以根据长除法来进行求解

举个例题

收敛域分为两种情况

第一种

z的模大于2

第二种z的模小于1

第一种情况

z的模大于2

对应的f(k)是个因果序列

将F（z）的分子分母都进行降幂排列

然后进行长除运算

运算过程如式4所示

得到F(z)的表达式

是关于z-1的幂级数

其系数就是f(k)

我们比较系数

可以写出f(k)的序列值

如式5所示

第二种情况

象函数相同

收敛域为z的模小于1

对应的f(k)是个反因果序列

将F（z）的分子分母都进行升幂排列

然后进行长除运算

运算过程如式6所示

得到F(z)的表达式

是关于z的幂级数

其系数就是f(k)

我们比较系数

可以写出f(k)的序列值

如式7所示

虽然我们得到了f(k)的序列值

但是这种方法难以得到其闭合形式

本例中若收敛域是环状区域

那么怎么进行求解呢

请同学们课下进行思考

二 部分分式展开法

Z变换的基本形式有以下几种

1 常数A

2 z的m次方

3 z的-m次方

4 z比上z-a

5 z比上z-a的平方

部分分式展开法求逆z变换的步骤为

第一步

第二步

对F(z)/z进行部分分式展开

第三步

根据极点情况求解部分分式中系数

第四步

将部分分式F(z)/z变成F(z)

第五步

利用z变换的基本形式进行逆变换 求得f(k)

一般情况下

F(z)是个z的有理分式

写成A(z)分之B(z)的形式

如式8所示

分母A(z)是一个n阶常系数多项式

分子B(z)是一个M阶的常系数多项式

需要注意的是第六章中

是将F(Z)/z进行部分分式展开

然后再乘以z

这和第五章中的部分分式展开方法是有所区别的

要注意区分

1式中分母A(z)=0的根称为F(z)的极点

A(z)=0则F(z)趋于无穷

跟第五章类似

要求展开的F(Z)/z为有理真分式

若不是有理真分式

则需要先化为有理多项式加有理真分式

对有理真分式进行部分分式展开

此时 要分别求两部分的逆变换

有理多项式的原函数由单位序列及其移位组成

部分分式展开法

是我们常用的方法

希望大家掌握

根据极点的类型

可以分为

1单极点

2共轭单极点

3重极点三种情况

我们来分别进行讨论

第一种情况

F(z)有单极点

设Z1 Z2到Zn为F(z)互不相同的n个实数根

则F(z)/z就可以展开为n个部分分式

如（9）式所示

那9式中的每一项系数K1、K2、Kn的求解方法与第五章一样

这里不再赘述

可以表示成式10

按10式求出各项系数ki

代回9式

再乘以z

即为F(z)

常见象函数z-zi分之ki z的原序列根据收敛域

其原序列不同

根据收敛域

将F（z）分为两部分

由已知变换对

就可以求得f(k)

收敛域分为三种情况

求其逆变换

解题思路为

F(z)/z为有理真分式

令A(Z)=0

得到两个根分别为负1和2

将F(z)/z部分分式分解

分解为z+1分之k1

加z-2分之k2

按照ki的计算公式9式

可分别算出k1等于1/3 k2等于2/3

对展开后的部分分式乘以z

可以得到F(Z)等于z+1分之1/3 z

加z-2分之2/3 z

第一种情况

收敛域为z的模大于2

两个部分分式的原序列均为因果序列

第二种情况

收敛域为z的模小于1

两个部分分式的原序列均为反因果序列

第三种情况

收敛域为z的模大于1小于2

z+1分之1/3 z为因果序列

z-2分之2/3 z为反因果序列

第二种情况

F(z)有共轭单极点

由于分母A(z)的系数是常实数

若F(z)有复根

则复根肯定共轭成对出现

设有一对共轭单极点

则F(z)/z可以部分分式展开成

Fa(z) /z +Fb(z) /z

Fa(z)为共轭极点部分

可以表示成z-c-jd分之k1

加z-c+jd分之k2

Fb(z)和单实根情况一样

如式12所示

先求12式Fa(z)对应的原序列

12式中F1(z)的第一项系数K1

和单实根系数求解过程一样

可以得到k2等于k1的共轭

把共轭单极点用模值和相位来表示

把K1用模值和相位表示

Fa(z)则表示成14式

根据收敛

这里要注意和第五章中alpha和beta两个参数含义的区别

例求象函数F(z)的原序列f(k)

收敛域为z的模大于2

大家看F(z)的表达式

分母A(z)=0有3个单根

分别是z1等于-1

故F(z)/Z表示成16式

按照求单实根系数的方法

可以算出k0等于1.5

k1等于负1

对于共轭单根

先按照单实根求系数的方法求k2

并表示成模和相位形式

K2等于

将F(z)/Z乘z

得到F(Z)

如17式所示

收敛域为z的模大于2

4个部分分式均为因果序列

根据基本序列的Z变换

可以求出f(k)

如18式所示

第三种情况

F(z)有重根存在

假设A(z)=0是在z等于a处出现r重根

则F(z)/z可以部分分式展开成19式

依次类推

Fb(z) /z为有单实根的情况

F(Z)有重极点的情况关键是求系数K11、K12和K1r

与第五章求解方法一样 这里不再赘述

求解公式如式20所示

将F(Z)/z乘以z

可以得到F(Z)

如式21所示

根据给定的收敛域

和基本象函数的逆变换

可以求得f(k)

例

收敛域为z的模大于1

求其逆变换

解由F(z)的分母表示式可知

A(z)=0在z=1处有三重根

故F(z)/z按照19式展开

按照公式20式所示

令z=1可以算出K11等于2

K12等于3

K13也等于1

对照基本象函数的原序列可以求出

逆z变换方法中

部分分式展开法是最常用方法

大家重点注意提醒的地方

与第五章方法的异同

并能根据性质灵活运用

多加练习

今天就讲到这里

谢谢