视频7-1 系统函数与系统特性在线视频

大家好今天我们介绍第七章系统函数

首先学习第7.1节系统函数与系统特性

本节讨论的主要内容包括

系统函数的零点和极点

系统函数与时域响应的对应关系

以及系统函数与频率响应的对应关系

LTI系统的系统函数是关于复变量S或Z的有理分式

如式(1)是连续系统的系统函数

式(2)是离散系统的系统函数

对于H(s)或者H(z)从数学运算的角度来说

两者没有本质的区别

因此用统一的式(3)来表示

式中A（·）称为分母多项式

B（·）称为分子多项式

根据以上的(1) (2) (3)式

将分母多项式和分子多项式分解因式后得到(4)式和(5)式

式中Pi为分母多项式等于0的根

当复变量s或z等于Pi时系统函数为无穷

因此称Pi为系统函数的极点

ζ j为分子多项式等于0的根

当复变量s或z等于 ζ j时系统函数值为0

因此称ζ j为系统函数的零点

分母多项式和分子多项式的根可能是单根也可能是重根

根的值可能是实数 虚数或复数

所以极点和零点的类型有一阶实数 虚数或复数

还有二阶或二阶以上的实数 虚数或复数

由于多项式的系数都是实数

所以零 极点若为虚数或复数则必共轭成对

通常把零点用空心圆O表示，极点用 斜十字星×表示

将系统函数的零点和极点的类型

位置或分布情况等画在复平面上

就得到系统函数的零 极点分布图简称零极图

例如对于所给连续系统

根据系统函数H（s）可知零点为-2，极点为-1和±j

画出零极图如图所示

根据极点的分布情况可以确定响应的特性

对于连续系统按照这些极点在平面上的位置可分为

在左半开平面，在虚轴上和在右半开平面三类

极点的取值有实数，共轭虚数或共轭复数

如图所示极点有一阶的或高阶的这里只画出了一阶的情况

下面具体讨论极点的分布情况与系统时域响应的对应关系

可分为以下三种

1.当H(s)的极点分布在左半开平面时

其极点的实部为负数令α >0则一阶实极点为

P=-α

对应于A(s)中有因子s+α 其所对应的响应函数为

Ae∧(-αt) ε(t)

如图所示

左半开平面的一阶共轭复极点p1,2=-α±jβ对应于A(s)中

有因子(s+α)^2+β^2其所对应的响应函数为

Ae^(-αt) cos( βt+θ)ε(t)

如图所示

当H(s)的极点是分布在左半开平面的r重极点时

A(s)中有因子(s+α)^r或[(s+α)^2+β^2 ]^r

对应的响应函数分别为Aj (t^j) e^(-αt) ε(t)

或Aj( t^j) e^(-αt) cos( βt+θj)ε(t)

其中j=0 1 2 ⋯ r-1 Aj θj为常数

不难看出以上三种情况

当t→∞时响应的值均趋近于零因此称为暂态分量

2. 当H(s)的极点分布在虚轴上时其极点的实部为零

若极点是一阶的则有单极点p=0或共轭虚数极点p1,2=±jβ

对应于A(s)中有因子s或因子(s^2+β^2)

它们对应的响应函数分别为Aε(t)或A cos( βt+θ)ε(t)

如图所示其幅度不随时间变化因此称为稳态分量

H(s)在虚轴上的r重极点对应于

A(s)中有因子s^r或因子(s^2+β^2 )^r

响应函数分别为Aj(t^j)ε(t)或

Aj (t^j) cos( βt+θj)ε(t)

它们都随时间增长而增大

3.当H(s)的极点分布在右半开平面时极点的实部为正数

令α>0则单极点p=α或 p1 2= α±jβ

对应响应函数A(e^αt)ε(t)或A(e^αt)cos(βt+θ)ε(t)

均为递增函数

如图所示

重极点对应的响应函数也均为递增函数

由以上讨论可得如下结论

LTI连续系统的冲激响应h(t)的函数形式

由系统函数H(s)的极点确定

对于因果系统H(s)的极点分布情况是

1.H(s)的极点在左半开平面所对应的响应函数是衰减的

当t→∞时响应函数h(t)的值趋近于零

这样的系统是稳定的系统

近于零这样的系统是稳定的系统

2.H(s) 的极点是在虚轴上的一阶极点

所对应的响应函数为稳态分量其幅度不随时间变化

这样的系统称为准稳定的系统

3.H(s) 的极点是在虚轴上的高阶极点或右半开平面的极点

其所对应的响应函数随时间t增长而增大

当t趋于无限时它们都趋于无穷

这样的系统是不稳定的系统

下面讨论离散系统的系统函数和时域特性

由§6.4s平面与z平面的映射关系可知

s 平面的左半开平面映射到z平面的单位圆内

s平面的右半开平面映射到z平面的单位圆外

s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上

根据以上的映射关系，离散系统的系统函数 H(z)

按其极点在平面上的位置可分为

在单位圆内，在单位圆上和在单位圆外三类

并可得如下结论

LTI离散系统的单位响应h(k)的序列形式

由系统函数的H(z)极点确定

对于因果系统

H(z)的极点分布情况是

1.H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列h(k)为衰减的

即当k→∞时响应均趋于0这样的系统是稳定的系统

2.H(z)在单位圆上的一阶极点对应的响应序列的幅度不随k变化

这样的系统称为准稳定的系统

3.H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点

其所对应的响应序列都是递增的

当k趋于无穷时h(k)均趋于无限

这样的系统是不稳定的系统

最后讨论连续系统的系统函数与频率响应的对应关系

对于连续因果系统

当系统稳定时

系统函数H(s)的极点均在左半开平面那么它在虚轴上是收敛的

由第五章内容可知

此时可以将式(3)中的s用jω代换

得到系统的频率响应函数H(jω)如式(6)所示

下面用矢量分析法分析系统的幅频相频特性

主要是根据零极点的分布情况定性分析H(jω)随ω的变化规律

具体来说

在s平面上某极点pi可看做是自原点指向该极点的矢量

变量jω也可以看做是矢量

这样复数量jω-pi就是矢量jω与矢量pi的差矢量

如图(a)所示

对于任意极点pi和零点ζj

令极点差矢量jω-pi=Ai e^θi

零点差矢量jω-ζ j=Bj e^ψj

式中Ai Bj分别是差矢量的模,θi ψj是它们的幅角

如图(b)所示

于是式(6)可以写为如式(7)的形式

式中的幅频响应|H(jω)|如式(8)所示

是零点差矢量模的乘积除以极点差矢量模的乘积

相频响应φ(ω)如式(9)所示是零点差矢量的幅角之和

减去极点差矢量的幅角之和

当ω从0或-∞变动时各差矢量的模和幅角都将随之变化

根据以上两式可得到系统的幅频特性曲线和相频特性曲线

此外

根据图(b)做进一步的分析可知

如果系统函数的某一极点pi十分靠近虚轴

则当角频率ω在该极点虚部附近时

极点差矢量的模Ai的取值将趋于谷值

根据式(8)可知

此时幅频响应有一峰值而相频响应急剧减小

类似地

如果系统函数有一零点ζj十分靠近虚轴

则当角频率ω在该零点虚部附近时

零点差矢量的模Bj的取值将趋于谷值

此时幅频响应有一谷值相频响应急速增大

对于离散因果系统

也可以用矢量分析法分析系统的幅频相频特性

具体内容请大家查阅相关资料

好本节内容就讲到这里

谢谢大家