当前课程知识点:信号与系统分析 > 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 > 4-4 傅里叶变换 > 视频4-4 傅里叶变换
大家好今天我们来学习非周期信号的频谱这一知识点
主要从傅立叶级数到傅立叶变换
傅里叶变换的定义典型信号的傅立叶变换
和奇异函数的傅里叶变换四个方面进行介绍
我们知道周期信号可以利用傅里叶级数进行频谱分析
这是指数形式傅里叶级数的系数计算公式和展开式
周期信号的频谱具有离散性谐波性和收敛性三个主要特点
对于如图所示的周期矩形脉冲信号
它的频谱函数如右图所示
谱线间隔Ω=2π/T当周期T增大的时候
谱线间隔减少频谱变的稠密
同时幅度系数τ/T随着T的增大也在减小
当周期T一直增大到趋于无穷大也就是下一个周期永远无法到达
这时候周期信号就变成了非周期信号
谱线间隔Ω=2π/T趋于0
此时离散谱变成了变成了连续谱
而幅度系数τ/T趋于零变成了无穷小量
不过这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系
说明非周期信号的频谱具有连续性
但是这时候频谱的幅度是一个无穷小量
不能够再用傅里叶级数来分析非周期信号频谱特性
那我们该如何来研究非周期信号的频谱呢
我们先轻松一下给大家出一个脑筋急转弯
一斤的铁和一斤棉花哪个重
大家都知道肯定是一样重的但是一斤铁只有一小块儿
而一斤棉花的体积很大
这是因为铁的密度要比棉花的密度要大得多
物质的密度定义为单位体积上的质量
对于非周期信号不能够再和周期信号一样
用傅里叶级数去分析它的频谱
这里引入一个新的概念叫做频谱密度函数
定义为单位频率上的频谱如下式所示
在周期信号傅里叶级数的基础上进行一些变换
对于(1)式等号左右两端同乘T得到(3)式
对(2)式等号右边乘T再乘1/T不改变原等式
将1/T表示为 Ω /2π 得到(4)再来取极限
让T趋于无穷大
让T趋于无穷大
让这时候周期信号就变成了非周期信号
(3)式等号左端取极限即为频谱密度函数的定义等于F(jω)
代入(3)式等号右边取极限后积分区间取
为了(-∞ ∞)而nΩ=ω得到(5)式
对(4)式取极限求和表示成了积分
FnT取极限表示成了F(jω)nΩ=ω
Ω=2π/T此时T→ ∞ 2π/T趋于零是一个无穷小量用dw进行替换
得到了(6)式即得到傅里叶变换的定义
重新写出傅里叶变换的定义式(7)式为傅里叶正变换
记作F(jω)=F[f(t)](8)式为傅里叶逆变换
记作f(t)=F^(-1) [F(jω)]
看到频谱密度函数F(jω)是一个复合函数
可以表示成R(ω)+jX(ω)形式
也可以写成|F(jω)| e^(j(ω))的形式
其中|F(jω)|称为幅度频谱
j(ω)称为相位频谱
周期信号能够进行傅里叶级数展开需要满足狄利赫里条件
非周期信号的傅里叶变换存在同样要满足一个条件
即f(t)在无限区间内绝对可积条件
注意这是充分条件而非必要条件
当引入广义函数的概念后
许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换
这给信号与系统分析带来很大方便
周期信号可以利用傅里叶级数分解为直流分量和各次谐波分量
那么非周期信号进行傅里叶变换的物理意义是什么呢
对傅里叶逆变换的定义式进行分析
F(jω)可以表示成|F(jω)| e^(jΦ (ω))的形式
带入公式将指数函数合并在一起
利用欧拉公式将这里的指数函数表示成三角函数的形式
观察第二项中|F(jω)|为偶函数sin为奇函数
奇偶相乘为奇函数在对称区间积分为零
第一项|F(jω)|为偶函数cos也为偶函数
两个偶函数相乘仍是偶函数
在对称区间等于二倍的一半区间上的积分即表示成(10)式
也就是说
非周期信号可看作是由不同频率的余弦分量组成
其中的频率ω在(0 ∞)连续取值
幅度1/π |F(jω)|dω是一个无穷小量
所以我们不能再用与周期函数一样的频谱概念来进行描述
而改为频谱密度函数
但以后为了方便表示也简称为频谱函数
相位Φ(ω)也是一个连续函数
下面我们来求一些典型信号的频谱函数
图2所示为门函数
很明显它满足绝对可积条件
我们可以直接用定义来求其傅里叶变换
将f(t)的表达式代入定义式中求得积分
整理得到结果是一个Sa函数如图3所示
也就是说门函数和Sa函数是一对傅里叶变换对
图4(a)所示的单边指数函数满足绝对可积条件
将f(t)的表达式代入傅里叶正变换的
定义式中计算积分求得结果
这是一个复函数分别表示出其幅度谱如图(b)所示
相位谱如图(c)所示
得出结论
如图5所示的偶双边指数函数也满足绝对可积条件
直接利用傅里叶变换定义求其频谱函数
分为两段进行积分求得结果
这是一个实函数画出其频谱图如图6所示得出结论
求奇双边指数函数的频谱函数
同样利用傅里叶变换的定义计算积分得到结果
这是一个纯虚函数画出频谱函数的虚部如图8所示
得到奇双边指数函数的傅里叶变换的结论
以上信号都满足绝对可积条件
可以直接由定义求得傅里叶变换
但还有一些重要的奇异函数并不满足绝对可积条件
该如何求它们的傅里叶变换呢
首先我们来看冲激函数
冲激函数的频谱函数可以利用直接利用傅里叶变换的定义求出
结合冲激函数的取样性质得到结果为1
冲激函数的频谱如图10所示
看到其频谱密度在(-∞ ∞)区间上处处相等
所以常称它为均匀谱我们得到结论
如果应用广义极限的概念
从门函数及其频谱讨论也可得到相同的结果
对如图所示的门函数
当τ减小时其宽度变窄幅度成比例增大
而且在这个变化过程中其面积保持为1
当τ→0时就变成了冲激函数
那么利用前面所得出来的结论
当τ→0 1/τ gτ(t)变为δ(t)
而Sa(0)=1得到和前面一致的结论
按照这样的思路
我们可以来分析求得一些不满足绝对可积条件函数的傅里叶变换
图12所示的单位直流信号并不满足绝对可积条件
不能够用定义来求得其傅立叶变换
观察偶双边指数函数当α越小指数函数曲线变化越平坦
当α =0时就变成了单位直流信号
利用偶双边指数函数及其傅里叶变换的结论
当α→0时域变成了单位直流信号频谱函数取极限
当ω≠0时结果为零当ω=0时结果趋于无穷大
显然该频谱函数是一个以ω为自变量的冲激函数
但其强度还未确定
要求冲激函数的强度就对它进行积分
求得结果为2pai所以1的2πδ(ω)
符号函数同样不满足绝对可积条件
观察奇双边指数函数α越小指数函数曲线变化越平坦
当α =0时就变成了符号函数
利用奇双边指数函数及其傅里叶变换结论
当α→0时域变成了符号函数频谱函数取极限
当ω≠0时为2/jω当ω=0时结果为0
即sgn( t) 2/jω
阶跃函数可以看做是二分之一的直流信号
加上二分之一符号函数来构成
那么相应的其频谱函数就是
冲激函数导数的傅里叶变换可以直接利用定义来求得
结果为jw将这一结论可以推广到高阶导数
本讲内容主要介绍了非周期信号的频谱分析方法
即傅里叶变换
重点掌握傅里叶变换的定义
以及这些常用信号的傅里叶变换对
本讲内容就到这里
谢谢大家
-1-1 绪言
--视频1-1 绪言
--课件1-1 绪言
--讨论题
--讨论题
-1-2 信号的分类
--讨论题
-1-3 信号的基本运算
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- 1-4 阶跃函数和冲激函数
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-1-5 系统的描述
--讨论题
-1-6 系统特性和分析方法
--讨论题
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-画图题
-2-1 LTI连续系统微分方程的经典解
--讨论题
-2-2 LTI连续系统的响应
--讨论题
-2-3 冲激响应和阶跃响应
--讨论题
-2-4 卷积积分
--讨论题
-2-5 卷积积分的性质
--讨论题
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-单选题
-填空题
-讨论题
-3-1 LTI离散系统的描述及经典解
--讨论题
--讨论题
-3-2 LTI离散系统的响应
--讨论题
-3-3 单位序列响应和阶跃响应
--讨论题
- 3-4 卷积和及性质
--讨论题
-判断题
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- 4-1 信号分解为正交函数
--讨论题
-4-2 周期信号的傅里叶级数
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-4-3 周期信号的频谱
--讨论题
-4-4 傅里叶变换
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-4-5 傅里叶变换的性质I
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- 4-6 傅里叶变换的性质II
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-4-7 周期信号的傅里叶变换
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-4-8 连续系统的频率响应
--讨论题
-4-9 LTI连续系统的频域分析
--讨论题
-4-10 无失真传输与低通滤波
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-4-11 取样定理
--讨论题
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-5-1 拉普拉斯变换定义与收敛域
--讨论题1
--讨论题2
- 5-2 单边及常见信号的拉普拉斯变换
--讨论题
-5-3 拉普拉斯变换性质Ⅰ
--讨论题
-5-4 拉普拉斯变换性质Ⅱ
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-5-5 拉普拉斯逆变换
--讨论题
--讨论题
-5-6 LTI连续系统的复频域分析
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-5-7 拉普拉斯变换的应用-电路的S域分析
--讨论题
-5-8 拉普拉斯变换的应用-LTI系统的S域框图
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-6-1 Z变换定义与收敛域
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-6-2 Z变换的基本性质I
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-6-3 Z变换的基本性质II
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-6-4 逆Z变换
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-6-5 LTI离散系统的Z域分析
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-6-6 Z变换的应用----LTI系统的Z域框图
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-7-1 系统函数与系统特性
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- 7-2 系统的因果性和稳定性
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-7-3 信号流图
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-7-4 系统结构
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-8-1 基于MATLAB的信号表示与可视化
-8-2 信号时域运算的MATLAB实现
--讨论题
-8-3 卷积和与卷积积分的MATLAB实现
- 8-4 LTI系统时域分析的MATLAB实现
-8-5 连续信号频域分析的的MATLAB实现
-8-6 连续系统频域分析的的MATLAB实现
-8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--视频8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--课件8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
-8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--视频8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--课件8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
-讨论题