当前课程知识点:信号与系统分析 > 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 > 4-9 LTI连续系统的频域分析 > 视频4-9 LTI连续系统的频域分析
大家好本讲介绍LTI连续系统的频域分析方法
分别讨论激励为非周期信号和激励为周期信号
在频域求解响应的方法并研究系统对输入信号的作用
虚指数信号通过系统的响应为同频率激励乘上频率响应
那么当激励为一般非周期信号时系统的响应是什么样的
我们来进行分析
将f(t)表示为傅里叶逆变换的形式
ejwt作为激励的响应为H(jw)ejwt
按照系统的线性得到响应y(t)的表示
符合傅里叶逆变换的形式
类似于f(t)的傅里叶逆变换表示中F(jw)是f(t)的频谱函数
y(t)的频谱函数Y(jw)=F(jw)H(jw)
也就是说输入为激励的频谱F(jw)输出就给输入乘频率响应
(1)式表示出了激励 系统 响应在频域的关系
因而称作频域分析
激励为非周期信号进行频域分析的基本步骤包括4步
第1步对激励取傅里叶变换得到频谱函数F(jw)
第2步确定系统的频率响应H(jw)
第3步F(jw)乘H(jw)得到响应的频谱函数Y(jw)
最后第4步对Y(jw)取傅里叶逆变换得到时域的响应y(t)
频域分析的核心就是Y(jw)=F(jw)H(jw)这一关系
下面我们通过举例说明频域分析的方法
例1已知LTI连续系统的微分方程和激励求系统的响应
首先第1步求激励的频谱函数
按照单边指数函数傅里叶变换的结论得到F(jw)
第2步确定系统的频率响应
已知系统的微分方程
对微分方程取傅里叶变换得到激励和响应在频域满足的方程
按照频率响应的定义响应的频谱函数
比上激励的频谱得到H(jw)
第3步F(jw)乘H(jw)得到Y(jw)
为了便于求逆变换进行部分分式展开
最后第4步对Y(jw)取傅里叶逆变换得到时域的响应y(t)
再看另外一个典型例题
例2已知如图1所示系统激励系统的频率响应求输出y(t)
首先我们分析求解思路
要求得响应y(t)需要求其频谱函数Y(jw)
对于低通滤波器输出Y(jw)=X(jw)H(jw)
低通滤波器的频率响应H(jw)是已知的要先确定X(jw)
从图1看到x(t)=f(t)s(t)而s(t)为cos(1000t)
信号在时域乘cos(w0t)频域里频谱幅度减半搬移正负w0
则求X(jw)转化为求F(jw)f(t)是已知的
取傅里叶变换即可得到F(jw)则依次求解最终得到响应y(t)
下面进行具体的求解
f(t)=pai t分之sin(t)乘cos(1000t)
这里pai分之一Sa(t)的傅里叶变换是g2(w)
信号在时域乘cos(1000t)则频谱
在g2(w)的基础上幅度减半左右搬移1000
x(t)=f(t)cos(1000t)则X(jw)是在F(jw)的
基础上再次幅度减半左右搬移1000
Y(jw)=X(jw)H(jw)H(jw)已知如图2所示
是一个门函数g2(w)给X(jw)这样3个门函数再乘一个门函数g2(w)
从表达式上难以求得结果
我们辅助的来画出频谱图进行分析
根据X(jw)的表达式画出它的频谱图
这是三个门宽为2的门函数一个中心在-2000幅度为四分之一
一个中心在零幅度是二分之一一个中心在2000幅度是四分之一
低通滤波器的频率响应H(jw)已知
X(jw)和H(jw)相乘看到只有-1到1之间相乘不为0
得到响应的频谱如图
是门宽为2门高为1/2的门函数写出表达式为1/2 g2(w)
对Y(jw)取傅里叶逆变换得到y(t)=2 pai 分之一Sa(t)
对这个系统我们再进一步的分析
f(t)=pai t分之sint乘cos(1000t)用乘法器来构成f(t)
f1(t)的频谱如图这是一个低频信号
乘上cos(1000t)得到f(t)则F(jw)是将F1(jw)幅度减半
左右搬移1000频谱图如图
f(t)再乘上cos(1000t)得到x(t)
则X(jw)是将F(jw)幅度减半左右搬移1000
频谱如图所示
低通滤波器的频率响应如图所示
两者相乘得到输出的频谱如图
系统的这一部分是对输入信号乘上高频载波信号
将低频信号搬移到高频处实现了信号的调制
后面这一部分对已调信号又乘上一个同频的载波信号
再次进行了频谱搬移再通过低通滤波滤除掉高频成分
最后得到的输出恢复出了原来的信号这一部分就是解调
这个系统就是一个基本的通信系统原理框图
最终接收到的信号和发送的信号是一样的
再来研究激励为周期信号频域分析方法
类似于非周期信号的分析
虚指数信号ejnΩt通过系统的响应为同频率的激励乘频率响应
那么当激励为一般周期信号时系统的响应是什么样的
我们来进行分析
将f(t)表示为傅里叶级数的形式
ejnΩt作为激励的响应为H(jnΩ)ejnΩt
按照系统的线性得到响应y(t)的表示符合傅里叶级数的形式
f(t)的傅里叶系数为Fn
相应的y(t)的傅里叶系数Yn=FnH(jnΩ)
也就是说输入为激励的频谱Fn输出就给输入乘频率响应
(2)式表示出了周期信号激励 系统 响应在频域的关系
激励为周期信号进行频域分析的基本步骤包括4步
第1步求激励的频谱Fn
第2步确定系统的频率响应H(jnΩ)
第3步FnH(jnΩ)得到响应的频谱Yn
最后第4步将Yn代入傅里叶级数展开式得到时域的响应y(t)
分析过程利用了傅里叶级数的概念
这种方法称为傅里叶级数法
引入广义函数概念后周期信号也可以求傅里叶变换
类似于激励为非周期信号频域分析的方法
求解步骤如下
第1步求激励的频谱函数
第2步确定系统的频率响应
第3步求响应的频谱函数
最后第4步求得时域响应
求解过程利用了傅里叶变换的概念
这种方法称为傅里叶变换法
我们以一个典型的例题说明激励为周期信号进行频域分析的基本方法
例3已知系统的幅频响应和相频响应对给出的激励求系统的响应
解法1利用余弦信号的响应相关结论
输入为余弦信号通过系统的响应为同频率的余弦信号
响应幅度的改变由系统的幅频特性确定
相位的改变由系统的相频特性确定
则有输入为2时可以看做cos(0t)而H(jw)在0频率的幅度为1
相位为0所以输出仍为2
输入为4cos(5t)时Hjw)在w=5处的幅度为1/2相位为-pai/2
则输出是对输入的幅度乘1/2相位加-pai/2
输入为4cos(10t)时H(jw)在w=10处的幅度为0相位为-pai
则输出是对输入的幅度乘0相位加-pai结果为0
综上系统的响应就是这三项加起来
最后的响应y(t)=2+2 cos( 5t-π/2)
输入信号的周期为2 pai/5角频率为5
看到输入信号包括直流一次谐波和二次谐波
通过系统以后的输出信号直流分量不变
一次谐波幅度减半相移pai/2二次谐波消失
我们从频谱图上来分析一下系统对激励的作用
输入f(t)是三角形式傅里叶级数展开式
根据Fn与An的关系得到Fn在n从-2到2的值都为2
画出输入的频谱如图
通过给定的系统后的输出为y(t)
画出输出的幅度谱和相位谱如图所示
从频谱图上看出输入通过系统后直流分量保持不变
一次谐波幅度减半相移pai/2
二次谐波被滤除所以系统对输入进行了滤波作用
对例3再利用傅里叶变换法来求解
首先对f(t)取傅里叶变换得到F(jw)
用si ge ma求和符号表示成更简洁的形式
Y(jw)=F(jw)H(jw)代入n从-2取到2H(jnΩ)的值计算
当n=-2也就是在-10频率处频率响应幅度为0
当n=-1也就是在-5频率处频率响应幅度为1/2相位为pai/2
当n=0在0频率处频率响应幅度为1相位为0
当n=1在5频率处频率响应幅度为1/2相位为-pai/2
当n=2,在10频率处频率响应幅度为0
进一步整理取逆变换利用傅里叶变换的频移特性
得到响应y(t)与解法1的结果是一致的
傅里叶变换分析法更具有一般性
本讲主要研究了LTI连续系统频域分析的方法
主要通过以下4步求得响应
注意激励为非周期信号和激励为周期信号的区别
特殊的激励为余弦信号的输出为同频率的余弦信号
由系统的频率响应确定输出信号的幅度和相位的改变
这是对于激励为余弦信号这一类周期信号的简便分析方法
本讲内容就到这里
谢谢大家
-1-1 绪言
--视频1-1 绪言
--课件1-1 绪言
--讨论题
--讨论题
-1-2 信号的分类
--讨论题
-1-3 信号的基本运算
--讨论题
- 1-4 阶跃函数和冲激函数
--讨论题
-1-5 系统的描述
--讨论题
-1-6 系统特性和分析方法
--讨论题
--讨论题
-判断题
-单选题
-填空题
-讨论题
-画图题
-2-1 LTI连续系统微分方程的经典解
--讨论题
-2-2 LTI连续系统的响应
--讨论题
-2-3 冲激响应和阶跃响应
--讨论题
-2-4 卷积积分
--讨论题
-2-5 卷积积分的性质
--讨论题
-判断题
-单选题
-填空题
-讨论题
-3-1 LTI离散系统的描述及经典解
--讨论题
--讨论题
-3-2 LTI离散系统的响应
--讨论题
-3-3 单位序列响应和阶跃响应
--讨论题
- 3-4 卷积和及性质
--讨论题
-判断题
-单选题
-填空题
-讨论题
- 4-1 信号分解为正交函数
--讨论题
-4-2 周期信号的傅里叶级数
--讨论题
-4-3 周期信号的频谱
--讨论题
-4-4 傅里叶变换
--讨论题
-4-5 傅里叶变换的性质I
--讨论题
- 4-6 傅里叶变换的性质II
--讨论题
-4-7 周期信号的傅里叶变换
--讨论题
-4-8 连续系统的频率响应
--讨论题
-4-9 LTI连续系统的频域分析
--讨论题
-4-10 无失真传输与低通滤波
--讨论题
-4-11 取样定理
--讨论题
-判断题
-单选题
-填空题
-讨论题
-综合题
-5-1 拉普拉斯变换定义与收敛域
--讨论题1
--讨论题2
- 5-2 单边及常见信号的拉普拉斯变换
--讨论题
-5-3 拉普拉斯变换性质Ⅰ
--讨论题
-5-4 拉普拉斯变换性质Ⅱ
--讨论题
-5-5 拉普拉斯逆变换
--讨论题
--讨论题
-5-6 LTI连续系统的复频域分析
--讨论题
-5-7 拉普拉斯变换的应用-电路的S域分析
--讨论题
-5-8 拉普拉斯变换的应用-LTI系统的S域框图
-讨论题
-判断题
-单选题
-填空题
-讨论题
-6-1 Z变换定义与收敛域
--讨论题
-6-2 Z变换的基本性质I
--讨论题
-6-3 Z变换的基本性质II
--讨论题
-6-4 逆Z变换
--讨论题
-6-5 LTI离散系统的Z域分析
--讨论题
-6-6 Z变换的应用----LTI系统的Z域框图
--讨论题
-判断题
-单选题
-填空题
-讨论题
-7-1 系统函数与系统特性
--讨论题
- 7-2 系统的因果性和稳定性
--讨论题
-7-3 信号流图
--讨论题
-7-4 系统结构
--讨论题
-判断题
-单选题
-填空题
-讨论题
-综合题
-8-1 基于MATLAB的信号表示与可视化
-8-2 信号时域运算的MATLAB实现
--讨论题
-8-3 卷积和与卷积积分的MATLAB实现
- 8-4 LTI系统时域分析的MATLAB实现
-8-5 连续信号频域分析的的MATLAB实现
-8-6 连续系统频域分析的的MATLAB实现
-8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--视频8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--课件8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
-8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--视频8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--课件8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
-讨论题