3.4 伪随机序列（PN）和扩频码的理论基础与分析在线视频

最后这一部分

我们给大家讲一讲

伪随机序列设计

还有地址码设计

它的一些理论的成果

我们做一些简单的概念性分析

大家看

前面我们讲过了CDMA系统当中

有各种各样的地址码

有识别基站的

有识别用户的

尤其是有识别信道的

那么CDMA系统它是一个正交多址系统

要求像信道地址码

要求各个信道之间必须正交

只有正交

才能够保证各个信道互不干扰

一般而言

像前面我们提到过的OVSF码

或者是Walsh码

在收发同步的情况下

就各个用户都相互同步的情况下

确实是正交的

因为Walsh码确实是正交码

可是实际的通信系统

我们有一个问题

假如说

我们这是一个基站

这

是两个移动台

因为这两个移动台离基站有远有近

比如说

这是U1

这是U2

这两个用户离基站

U1离基站近

U2离基站远

那么

即使是U1和U2同时发数据

但到了基站端

所收到的数据就会有时延

假如说有时延的话

哪怕是U1用到的码

和U2用到的码

它们在同时发送的时候是对齐的

也就是说它们相互正交

但是有时延以后的话

在基站这头来看的话

这两个用户的码字

就因为有时间差就没对齐

因为有时间差的话

那两个码字之间如果设计得不好

就会有互相关

那互相关就会相互干扰

也就是由于相对时延

就用户间有相对时延会引入

多用户间的干扰也就是多址干扰

这种干扰

它主要就是因为异步造成的

因为各个用户它们时序对不齐

就是异步CDMA系统当中

就会因为码字的特性不理想

会引入

相互间的干扰

会导致严重的多址干扰

这种干扰

会限制用户的容量

也就是说到我们前面提到过

说CDMA系统的容量实际上是受限制的

但是它这种限制

不像TDMA或者是FDMA

TDMA FDMA

前面我们提到都是硬容量

它是资源就这么多

1000个 你用满了

再有新的用户

其实

没办法再占用了

但是CDMA它不一样

CDMA实际上远远没有用满的时候

就由于用户间它有相互干扰

就已经不能用了

假如说

我们还想再接入新用户

你就得想办法

去减少系统内部的干扰

也就减少用户间的干扰

只要你能够把多址干扰减少了

那系统容量就能够提升

所以CDMA系统当中容量

一般我们就称它为是

软容量

所谓软容量

大家注意这个地方的软

就指的是说

容量不是硬性的

它不是个完全绝对的绝对量

你只要够减少

码字之间或者用户间的干扰

那我这个容量就能够提升

那如何去减少

用户间的干扰

减少多址干扰

那么你可以有不同思路

至少我们可以从两方面入手

一方面就

我能不能设计一些更好的码字序列

那么我们让这些序列间的互相关

能不能想办法让互相关处处为零

同时我自相关的旁瓣也处处为零

假如说有这样序列

这不是挺好吗

也就是意味着说我不管移动台

这两个用户离基站是远还是近

时延差是大还是小

因为如果它俩同步

那么就是直接是正交的

如果它俩异步有时间差

但是我那个互相关处处为零

不也可以满足正交性互不干扰

所以这就是我们从发端来考虑

是不是我们够设计好的扩频序列

地址码序列

能够让它的自相关互相关

自相关的旁瓣和互相关的处处为零

那可以消除

多用户间的干扰 多址干扰

那么另外一方面思路

就是从收端想办法

就说你不是有多址干扰吗

那我想办法

我在收端联合检测

把这些多址干扰让它能够消除掉

那么这类技术

我们称为是多用户检测

在第九章我们再来给大家展开介绍

下面我们就先给大家介绍一下说

能不能从发端考虑

设计处处为零

互相关处处为零

自相关的旁瓣处处为零的

理论上这是最好的

一种扩频序列或者地址码序列

经过多年研究之后

人们认识到是这样的序列

就我们所谓的理想化的这种扩频序列

它是不存在的

这个是在1974年

由一位数学家叫Welch

我们称为是

韦尔奇** 韦尔奇定理

一位数学家首先证明的

他告诉我们说

我刚才提到这种互相关处处为零

自相关的旁瓣处处为零的理想化的

这种地址码序列是不存在的

是不可能的

就是这样的相关特性是相互矛盾的

那下面我们给大家看一点这种结论

给大家做一些理论上的结论性分析

我们先给出来这两个指标

一个指标就是θc

另外一个指标是θa

这个θc的含义指的是说

是互相关的最大值

θa是自相关的旁瓣的最大值

那么对于扩频码序列来讲

我可以给任意的扩频码序列

那么最终我们可以证明下面这个定理

这个最早是Welch定理证明的

那么它说是

自相关的旁瓣的最大值 这个θa

和互相关的最大值θc

它满足下面这个关系式

这个N是这扩频码的码长

明显能看到这个关系式

实际上是一个平方和的关系式

它其实是个椭圆方程

那么我们把θc的平方除以N

以及θa的平方除以N

我把它归一化了 作为自变量

这就可以看作是一个线性方程

我们取大于等于1

我们取个等号

我们可以把这个区域画出来

大家看胶片

胶片上给的这就是一个几何约束关系

大家看这个横坐标

这个横坐标是互相关

归一化的互相关

是归一化的互相关的最大值

纵坐标

是归一化的自相关

旁瓣

最大值

我们看在这个图形当中

刚才我们给那个Welch定理

它是一个临界

边界条件就是这条直线

大家看这条直线

这条直线

那么它是大于等于1

也就意味着说

其实我们不管怎么设计序列

都得在这条直线右上侧

也就这个地方区域1

只有这个区域才是可以达到的区域

换言之

你不管怎么设计编码序列

扩频码序列

其实是不可能自相关的旁瓣和互相关处处为零

因为要满足这个条件的话

其实是要包含原点的

因为原点 这个O点

原点处这才满足自相关旁瓣处处为零

那么互相关处处为零

显然这个原点是没有包含在区域1当中

换言之

这就给我们泼了一盆冷水

根本达不到

就没有这样的理想序列出现

那么理论上来讲

最佳的序列在哪个位置呢

我们可以取边界这条直线上有个点

就这个点

这个点叫A点

在这个点而言大家看

横坐标和纵坐标是一样大的

那也就是说

自相关和互相关

自相关的旁瓣最大值和互相关相等

那这个点就是最好的点了

这就是它们自相关的旁瓣和互相关最大值

能取到的最小点

最佳点我可以算一下

它就应当是N(k-1)

k是序列的个数

N是序列的长度

N(k-1)除以(NK-1)

在这个k充分大的时候

那我们可以把它们约等于也就是

N

K

除以NK

其实就等于1

就等于1

然后我们看这个值实际上应当是

θc的平方除以N等于这个值

当然也等于θa的平方除以N

都一样

所以我们可以归约下就可以知道

化简一点

就相当于等于说θc

等于θa应当大于等于

根号下N

换句话讲

对于最好的序列而言

它的旁瓣自相关

旁瓣最大值

或者互相关的最大值

它其实

至少应当是序列长度N的平方根

这就是我们做到的基本结论

你想让它为0是不可能的

最小最小也得是

根号下N

那韦尔奇定理就给我们泼了一盆冷水

就理论上证明了

从发端这种角度去设计最佳序列

把这种多址干扰完全消除掉

是不太可能的

所以我们必须得采用

多用户检测从收端想这个问题了

另外一点我也给大家做一点启发

虽然说

我们刚才提到的

这种理想化的地址序列是不存在的

因为处处为零不可能

做不到

但是实际系统当中我们没有必要要求

地址码序列

它的自相关的旁瓣和互相关处处为零

其实一般来讲我们只要求

它在一个窗口当中处处为零就可以了

这个τ是在一个窗口

在一个W窗里面处处为零就可以了

这种序列

最早是由北京邮电大学的一位老师

叫李道本老师他所发明的

后来我们在国内也有不少学者

还有国际上一些学者也深入研究这类序列

这类序列后来叫李码

那么它也做过一些这种原型的系统

叫LAS-CDMA

这类序列

我们现在在学术界叫做是

零相关窗序列 叫ZCZ序列

这类序列它相当于是

绕过了Welch界的这种约束

我们不要求每一个位置上就

处处互相关或者自相关的旁瓣为零

我们只要求它在

一个窗内部为零就可以了

所以这是一个很有意义的

这种设计思想

只要我们把做系统设计时候

W这个窗长

它是大于等于最大多径时延

或者说我们是小区中心和小区边缘

这种传播时延

那就可以满足这个要求了

那么这样的一种

这种ZCZ序列的设计

对于CDMA系统来讲

也是很有意思的一个前沿技术

如果大家有兴趣

可以做些深入的研究

最后我们把这一章的内容

做一下总结

这一章我们重点给大家讨论了

介绍了多址接入技术的一些基本概念

主要包括

频分 时分 码分 空分

还有个OFDM OFDMA的一些技术

那么在CDMA系统当中

我们重点给大家讲授了

CDMA系统的一些地址码

它的一些特点包括基站地址码

信道地址码

用户地址码

最后我们也从理论上

来给大家介绍了一下扩频码

那么它的一些理论特性

那理想的处处为零的

就互相关处处为零

自相关的旁瓣处处为零

这样的理想的扩频序列

实际上是不存在的

因为Welch界已经告诉我们

这样的序列是没有的

但是至少我们可以放松一些条件

从利玛的角度出发

来再做一些进一步的扩展研究

这是一个挺有意义的方向

以上就是本章的所有内容

谢谢大家 再见