12.4 无限资源的最优分配在线视频

在前面我们这部分介绍当中

需要给大家强调一点

功率控制它的主要目的

链路不管你好的链路

距离

基站比较近的

在小区中心的用户

还是差的电路

也就是距离基站比较远的

再想去边远处的用户

不管你是距离近还是距离远

我都把你拉平

都拉到了同一个量级上

打一个比方讲

相当于是说

我们在这个班上教课

不管你学习好的

还是学习差

我都把你拉到同一个水平上

我们只追求平均

虽然从平均价角度来讲

功率控制

它可以满足最大的公平性

换言之也就相当于

我不管你是链路质量好

还是差我都能提供你最基本的

服务

你在什么情况下

你都能够打个电话

可是

这样的一种方式

其实并不是优化的

刚才我举的这种

在班上教课的一种方式

显然班级的水平

就由最差的

或者学习成绩最差的学生

决定了整个班级的水平就比较低

如果我们想

这种追求更好的成绩

显然应当是有差异化的服务

比如说学习成绩好的同学

就应当多让他鼓励他

就多指导我们学得更好

达到拔尖水平

那么中等的学生

让他应当进一步提升他的能力

高分看齐

差等生呢

就应当给他设定一个第一目标

然后像及格分看齐

这样做

整个班级的水平

才能得到进一步的优化

我们通过生活当中这个例子

就告诉我们说

其实这种纯粹的功率控制

不是最佳方案

我们对有线的无线资源

要做最优的分配

那么也就是下面我们要介绍的

内容

就所谓的无线资源的最佳分配

方案

那么首先我们先看一看

什么叫做无线资源

无线移动通信当中的资源

我们可以能给大家做一点归类

比如说能量

或者说是功率

当然这个功率

就是一类很重要的资源

还有比如说时间

我们在实际上来看

它都有帧格式

一个一个的时期 子帧

那么这就是时间资源

那么从频率上来看

有子载波或者频率

这就是频率

资源

那么我们现在都采用多天线

那么有MIMO

迈色迈蒙

有空间资源

所以

这都是一些资源

功率

时间

频率

空间

这都是一些资源

并且这些资源都是稀缺的

因为频段是有限的时间

也是比较少的

功率总功率总是受限的空间

天线寿命都是有限的

我们怎么在满足有约束的条件下

最高效的利用这些资源

这就是我们下面要研究的

资源的最优分配问题

这类问题实际上是有一个统一的

方法

这个方法

我们就称为是注水定理

注水定理

注水定理

是来自于信息论的经典结论

我们先看一下

注水地理的基本内容

注水定理讲了个什么事呢

好

我们先看看定理的复述

它讲的是说

在这种加性

高斯噪声信道当中

这个信道是限时限频的

但是这个信道它也就是说

信道我们在下面画个图

它不平坦

对

比如说带宽是这么宽

嗯这

这是F对吧

那么它的整个信道的传递函数

有高有低

有很差的

但是也有很好的

那么它的功率谱

噪声功率谱

我们就列为是NF那么噪声

总功率

我们认为是它的功率谱

积分就是∑方

F就是带宽

然后我们在给出来

信号的功率谱是gf

并且信号总功率受限

就gf

然后积分

S 总功率

那么

我们现在问的问题就是

说

在这样的一个不平坦的信道

现平的高斯加性信道当中

什么样的信号的功率分配

最佳的分配方案

那么最佳分配方案是样子的

给大家看一下

就相当于是说

你可以把这样的一个频段

想象为就是一个杯子

那么这个噪声

你就会认为是

杯子里面

我们撒了很多的沙子

但是不同区域上的

沙子的高度

就有高有低

而我们这个信号的功率

就相当于是往这个杯子里面倒水

大家想倒进水之后的话

显然最终我们会形成一个呢

水平面

对吧

是什么水平面

如果我沙子的高度

低于水平面

因为那么他与沙子到水平面之间

有一个差值

这个差值

我们分配的信号功率

有一些沙子

它的高度已经超过水平面了

那么这个信道你就不能用

这就是纯粹的差信道

那么所谓的最佳功率分配的方案

就是这样的一种分配方法

这就是我们所谓命名的注水定理

也就是说

在每一个子频道上面

噪声的功率

再加上信号的功率叠加

它应当是个常量

这个常量就是水平面

也就是说信号的功率谱密度

叠加噪声功率和密度

应当是个常数

这就是注水地理

那么采用这种方式

我们理论上可以严格证明

信号总功率受限的条件下

采用注水功率分配的方式

可以让整个系统的容量

达到最大化

这就是最佳的功率分配方法

那么它的证明过程

我们简单的说一下

不给大家详细推导了

因为这是新修正的经典结论

那么这个证明过程呢

其实是一个条件极值问题

也就是在给定约束条件下

我们求极值的问题

那么它的代价函数

其实容量

容量最大化

容量大家看

实际上是我们在每一个子频道上

求出来一个相同容量公式

然后我们一共有多少个子频道

其实是

在整个带宽上进行积分

现在我们考虑是连续情况

也就是说我们求一个

无限窄的子频道上的容量

我们看到一个容量分布

然后我们在整个带宽上

再进行积分

这就得到了总容量

我们再来看这个约束

约束

大家看前面

我们胶片给约束条件

也就是说我的发射功率谱

在整个带宽上积分

也就是我的总功率

不能够超过的

我的最大功率是S在这种总功率

约束的条件下

我们让整个信道的加性

非频噪声信道

它的容量要达到最大

这就是一个总功率受限

有约束条件下的最优问题

这个问题

理论上可以证明

在约束条件

这个约束条件

本身

实际上是个不等式约束

那么这个极值应当是在

不等号去等式的时候

达到了

最优

所以我们可以把这个约束

就改成是等式约束

也就是说我们总功率

等于最大的

就信号总功率

就应当等于

允许发射的最大功率

在等式约束的条件下

我们来求极值

这个时候机制问题比较简单

我们可以直接把它简化为

是一个拉格朗日乘子法

也就是说

我们引入一个乘子拉姆达

把这个约束

带入到呢

代价函数当中

去变成一个无约束的代价函数

然后进行梯度运算

等于0

最终我们就给求出来了

满足这个条件约束的最优解

而最优解就是注水解

那么具体的推导

我们不介绍了同学们有兴趣

可以查阅呢

信息论的专著

上面有详细的介绍

那么下面我们主要来给大家分析

一下

这种注水定理

信息论当中的注水定理

在各种特殊场景下的应用

那么主要有这样几类场景的应用

第一类我们看看在多载波

信道条件下的最优分配

最优功率分配

多载波信道下的最优功率分配

其实是一个直接的简化

前面我们讲的是一个连续功率

分配

如果变成多载波信道的

最功率分配的话

就变成离散性大了

因为相当于是有很多个载波

每一个子载波就是一个新的

这个时候

这个信道容量

就变成了求和了

就不再是积分了

那么还假设说

有K个子信道来进行求和

然后满足的总功率

信号总功率受限条件

你就变成了每一个子信道上

发射功率的求和

不得超过你最大的发射功率

那么一样的道理

我们可以采用拉格朗日的乘子法

就能够得到

最佳的功率分配方案

显然是一个注水方法

那么细节我们就不介绍了

因为它直接的推广

那么我们可以考虑

多个载波上进行功率分配

下面我们再换一个场景

也可以考虑

多个用户之间

来进行功率分配

或也就意味着说

我们看

这是基站

这是好多个移动台

对吧

每个移动台

我们有一个不同的上行

我们考虑上行链路

每个移动台

有一个不同的发射功率

比如是P1

比如说是PN这是PK K个

用户

我们现在问的问题是说

每一个用户的分配

多大的功率

可以让基站测

就这个多址接入信信道

它的基站侧看到的叠加的核容量

能够达到最大的

这个问题

实际上

仍然还是个注水问题

这个问题

我们在采用

拉格拉维城市法之后

也能够得到最优解

那么最终解出来的结果

也是一个注水解

那么细节

我们在课本上

有详细的说明

就不给大家进行推导

我们主要的要给大家说明的

是这样的一个功率分配方案

它的物理含义

大家想一想

刚才我们给的

这样的一个功率分配的方案

显然也是一种注水方案

如果是个注水方案呢

按照我们刚才的分析

每一个用户链路

就可以看作是一个子信道

那么用户链路质量越好的

相当于是说它噪声越低

那么就多注一些水

就水的深度就越大

也就是说链路质量越好的

信号功率就越大

列入质量越差的

那么信号功率就越小

如果链路质量非常差

这个链路根本就不分配公理

就不用正常通信

就直接把它剔除掉

所以通过这样的方式

这是一个助多用户

功率分配的方法

可以让系统总的容量

达到最优

这种方式

和我们前面讲的功率控制

是完全相反的

这一点我需要给大家想着重强调

一下

同学们想一想

我们刚才讲的功率控制

它的目的

是通过调整发射功率

让基站所接收到的

各个用户的接收功率

不管你是列入质量好的小区中心

的用户

还是电路质量差的小区

编译的用户

大家

在接收端所受到的功率

大致是一样的

我们刚才提到过的

就是这一个班里面

我就去

向最差的学生看齐

大家都向他的学习能力

看起

这样的话

班里水平都是最差的

呵呵

而我们这儿讲的

这种多用户功率分配的方法

显然是列入质量好的用户

多分配功率

链路质量差的用户就少分配功率

最差的用户

干脆就不分配功率了

这样做

显然用户之间的差异性

会越来越大

不过带来的优点

系统的总容量

或者总的吞吐率

得到了显著的提升

所以

这种方式

我们就称它为是功率

分配

而不是功率控制

功率控制是让大家的功率要平衡

功率分配并不是达到平衡

实际上是完全不平衡的

而功率分配的目的

是让容量要最大化

因为这样的效果

我们把这样这种功率分配

多用功率分配

能够获得的增益

我们就命名为叫多用户

分集

这种技术

我们就称为

是多用户分集技术

它所获得的增益

我们就称为是多用户分集增益

这种方式

广泛的应用于

3G4G和5的数据业务传输当中

那么能够显著的提升

通过功率分配的方式

体现显著的提升

吞吐率或者容量

但是我要声明一点

这种方式不能应用于

实时的话音业务

如果这样做的话

很多话音业务就要断

掉话或者断线了

就不能够保证最基本通信链路的

是的

所以这种方式

主要应用于数据业务

不应用于话音业务