11.1 多天线信息论简介在线视频

同学们大家好

我是牛凯

今天我们开始介绍

第11章的内容

某公司处理技术

这一章

我们重点来给大家介绍的是

从第三代移动通信开始的

多天线技术

所谓这个地方的MIMO

实际上我们指的是多入多出技术

那么在3G之后

像3G4G

以及未来的5G技术当中

多天线空时信号处理技术

是非常关键的技术

它也是这种高级信号处理的一个

基础

那么这一章的内容

我们分为6个部分来介绍

首先先给大家介绍

这个多天线信道下的

信息论的一些基本知识

我们重点给大家讲讲的MIMO

信道容量

第二部分

我们来给大家介绍一下

我们怎么用多天线

来与编码进行结合

实现获得分集的增益

那么这类技术

我们称为是空时块编码

STBC技术

第三部分我们介绍

如何用多天线来获得呢

频带利用率的提升

我们称为是分层空时码技术

第四部分

我们给大家简单的介绍一下

如何实现分集编码的联合优化

那么这类技术

我们称为是空时格码

叫STTC技术

第五部分

我们来给大家重点讲一讲

怎么样在发端来进行

多天线信号处理的优化

也就是所谓的预编码

或者是波束成形

Be forming技术

第六部分

我们来介绍一下MIMO技术

在这种宽带移动通信系统当中的

应用

主要是在3G

还有在4G移动通讯体制当中的

应用

首先我们先给大家介绍

第一部分

我们先看一下

什么是MIMO系统的基本配置

同学们看胶片上给的示意

如果说我们在发射机会配置多个

天线

那么类似的接收端

我们也配置多个天线

那么多个天线发送和接收

大家看

这样的话

构成了一个多发多收的系统

这个我们就称为是

MIMO系统

那么所谓的MIMO就指的是

M

Output

也就所谓的多输入多输出系统

在这个系统当中

同学们观察

每一个发天线

其实它的信号

会向所有的收天线的发送

那么类似的

每一个收听线

也会收到

所有发电线的信号

因此在这个系统当中

各个天线之间

都是有相互干扰的

也就是说脉络系统当中

实际上是存在天线间干扰的

那么到目前为止

关于技术的研究

是成为了我们在移动通信信号

处理技术方面

最热门的一个方向

也是最重要的一类技术

那么在一数据库里面

有非常多的论文

大概保守估计也得有

快接近10万篇的论文

研究这类技术

那么具体化而言

我们可以把MIMO空时处理技术

划分为这样的三大类

第一类技术

我们称为是空间复用技术简称

叫作是sm

像

SM技术

第二类技术

我们称为是空间分析技术

那么这两类技术有什么区别呢

对于前者

空间复用技术

它的主要目的

是靠这个多个天线

那么每路天线的承载不同的数据

那么靠多个天线获得

复用增益

提高传输的效率

我们提高吞吐率的

通俗讲就是提高吞吐率

那么对于第二类技术

空间分析技术

那么他这类技术的主要目的

是靠我们

多发多收的

这样的一种机制

能够通过信号的设计

获得了分集增益

发分集和收分集的增益

来提高我接受信号的可靠性

因此第二类技术

我们可以称为

空间分析技术

那么还有第三个技术

第三类技术

我们称为是预编码技术

空间预编码技术

这类技术

它是在发射机

要做这种波形的优化

那么我们在每个天线上

乘上一个矩阵

或者是一个抽头的系数

这样的话去改善呢

发端

或者说整个脉络信道的特性

从而获得整个系统性能

可靠性

或者是吞吐率的提升

所以大致上

大的分类技术

我们可以把它归结为这三类

也就是所谓的空间复用技术

空间分析技术

和预编码技术

我们就按照这样的一个顺序

来给大家介绍

好

在具体介绍

实用化的

信号处理技术之前

我们先得给大家讲一讲

理论的问题

那么按照经典信息论的观点

我们来分析一下

发多收这样它的信道容量

多天线的信息论

这一类工作其实是

最近这20年才发展起来的

那么早期的工作

可以追溯到

在上个世纪

上个世纪末

就上个世纪

90年代末的时候

那么有两个研究团队

我们分别提出来了多天线的

信息论的一些基本概念

一个团队

Telatar

那么这位学者非常有名

他是最早得到了呢在高斯

多天线信道

也就是高斯MIMO信道下的信道

容量的

误差指数函数的一位著名学者

那么另外一组学者

就是贝尔实验室的两位知名学者

是Foschin和Gans

他们是得到了

在这种准静态衰落信道响应

就Block Fading信道响应

这种截至容量

也就是Outage Capacity

那么因为他们这两个团队的

先驱性的工作

我们现在知道

采用多发多输这样的系统

能够极大地提升系统的容量

那么从而也就成为3G 4G 5G

这样的一些移动通信系统

提升数据传输的速率

支持宽带通信的最核心

和最关键的技术

所以他们的这些工作

是非常基础的

是非常重要的

我们先看一下

MIMO系统

它的信号模型

我们看

首先假设

我们这是一个单小区

的基站

它有很多个天线

我们假设说

它应当有NT个发送天线

我们再看看这有个移动台

移动台

它也应当是有多个天线的

假设说我们这儿移动台

它应当有N个

接收天线

这样的话

那么在基站和移动台之间

就构成了一个

NT个天线

NR个天线收

这样的一个MIMO系统

为了分析的方便

我们再假设

发射的信号

请大家注意

发射的信号

实际上是一个向量X是个向量

我们假设说

X向量它的协方差矩阵

是这样的形式

一般情况下

我们都要求

这个信号

向量的能量

它应当是规划的

好

我们看

总的发射信号的功率

因为我们有NT个发天线

那么总信号的功率

是大P

也就是说

是我这个协方差矩阵的计

它的对角线元素的和

它应当等于一个大P

这是一些矩阵的基本知识

那么具体而言

我们看

我们给出一些MIMO信道

它的这种数学模型的假设

大家看我们这儿有NT个发天线

NR个收天线

每一个发天线

我们假设说它发送一路信号

比如说第一个天线发X1

第二个天线发X2

第N个天线

发送了XNT 那么有NR个接收

天线

每一个收天线的收到的信号

我们表示为是

而比如说第一个收天线

收到的是R1

第二个天线收到的是R2

第NR个天线 收到的是RN

然后我们看大家想

显然这是一个有交叉链路的

全连接网络

对吧

在网络当中

我们得把每一对天线的植入

它所经历的衰落

都应当用数学符号表示出来

不妨我们就假设

第一个发天线

到第一个收天线

这一对儿天线对儿

而它所对应的信道衰的系数是H

11

对吧

类似的第一个发天线

到第二个收天线

那么它所经历的衰落

我们就可以称为是H21

那么相应的

比如说第二个发天线

到第一个收天线

那么它所经历的衰落

我们就称为是

H

1

2

那么相应的

比如说

一般意义上来讲

HJI那么它就对应的是

第I个发天线

第J个收天线

所经历的衰落系数

好

这样的话我们就给出来了

一个基本的模型

那么大家想想显然在这个模型

当中

信道响应不再是标量

也不再是向量

因为我们是多发多收

那么信道响应

显然应当是一个矩阵

对吧

我们可以把这个矩阵写出来

这个举证

我们就称为是H举证

那显然这个矩阵

我们可以写成

NR行

NT列

然后形成这样一个矩阵

那么它的第一行的元素

我们可以写出H11

H12

以此类推H13等等

对吧

类似

那么写成矩阵以后的话

我们可以把整个MIMO信号的模型

表示为矩阵向量的模型

这就是我们表示出来的结果

大家观察

核心公式就这一个

是R等于HX加上N

H就是我们刚才给出来的

信道响应矩阵

那么X请大家注意

这是我发送的信号向量

那么X向量

它应当是NT行

一列它是一个列向量

H矩阵它是NR行

NT列

这样构成的一个矩阵

我们再加上白噪声向量

N向量是白噪声向量

那么最终就得到了

接收信号的向量

而向量它是

因为我们知道它是有

有这个系统里面有NR个接收

天线

所以向量应当是N行

一列

这就是我们得到的基本的信号

模型

在这个模型当中

我们再给一点解释

请大家注意

我们要定义一个信噪比

因为为了衡量系统的性能

我们需要定义信噪比

信噪比我们定义为是单个

接收天线的信噪比

信噪比

也就我们定义为SNR这单个接收

天线

比如说不妨我们设

第一个接收天线

它显然可以收到

N T个发射天线的信号

对吧

NT个天线

都会向它发信号

它收到的是多个天线的信号之和

NT个发天线信号

经过了不同的衰落之后

都要叠加

那么得到我们接收天线的

第一个接收天线的信号

那么因此我们可以看到呢

单个接收天线的信噪比

就应当是把

多所有的发射天线的

信号功率

求和也就是总功率

我这单个接受天线的噪声方差的

比值

因此

单个接收天线的

信噪比的分子上

就应当是整个系统

发送的总功率是大O

那么接收到的噪声

它的方差应当是∑

所以这就是单个收天线的信噪比

我们以它为基准

来进行系统性能的衡量

第二个问题

我们来说明一下

信道响应矩阵

信道响应矩阵

请大家注意

H矩阵

它里面的每一个元素

HJI表示的是第二个发天线

到第二个收天线

那么这一对天线对

所经历的空间衰落的衰落系数

那么在我们做理论分析的时候

一般而言

我们可以假设所有这些

信道响应的衰落系数

全都是相互独立的

那么空间上

他们是互相独立的

一般而言

我们可以假设

在这种

不存在直射径的条件下

那么中间在发射机

到接收机

多个天线对儿之间构成的MIMO

信道上面

全都是多径

全都是散射体散射的

多径

不存在

直射径分量

在这样的讲

这个前提下

那么HJI其实服从的是

复高斯

随机变量

或者说我们也可以认为

是复高斯随机过程

那么HJI它的均值应当是0

方差是1

请大家注意这是复的

复高斯

复高斯随机变量

它不是矢的是复的

它有I路有Q路

那么相应的

我们也就知道

它的IQ两路

它的实部和虚部

其实都是均值为0

方差是0.5的

10

高斯随机变量

这就是这个信道响应矩阵

做出的一般性的假设

我们给出来上述假设

我就可以推导出来

接收信号的协方差矩阵

那么接收信号的协方差矩阵的话

我们可以把它写出来

实际上是这样的一个矩阵

在这个矩阵当中我们观察

它实际上是两部分之和

第二部分

这是加性噪声

向量

它本身的协方差

矩阵

因为白噪声向量

它都是独立同分布

随机过程

它是独立高斯随机过程

所构成的独立高斯向量

因此它的协方差矩阵

应当是个单位阵

所以前面乘上一个∑方差

噪声方差

前一部分是发射信号的

协方差矩阵

发射信号向量

与信道响应矩阵的乘积

HX这样的一个乘积得到的

向量

换而言之

也就是发射的信号向量

经过了MIMO信道响应举证以后

或者率信道以后

所对应的

向量的协方差矩阵

向量的协方差矩阵

我们可以展开表示

为下面这样的形式

前面这个 P÷NT这实际上是

一个所有的天线

发天线上都是等功率的

一般如果我们不进行

Beforming

或者功率分配的话

咱们都假设

NT个发天线

它都是等功率分配

那么每一个天线分配的功率

就是1/NT

也就是NT分之P那么后面的这

部分内容

H×H的H 上标H

我们称为是

Himiter算子

它的含义指的是共轭转制

共轭转制

那么把信道响应矩阵H与它的

共轭转置相乘

那么这个矩阵

我们后面会给一个专有名词

这叫做Gram矩阵

矩阵本身

它的特点是一个实对称矩阵

请大家注意 H矩阵

它实际上每一个元素全都是复数

实际上是个复随机变量

就我们刚才提到的

HJI是复高斯随机变量

这样的矩阵

我们就称为是

这个随机矩阵

并且这个H矩阵

它必然是一个

复随机变量

所构成的随机矩阵

它是一个复矩阵

但是它在Gram矩阵

也就是 H与它的共轭转置相乘

矩阵

它不是复的

它应当是实的

这是一个实对称矩阵

这是对称矩阵

好

我们根据矩阵的形式

大家可以分析一下

我们给一点深入的分析

应当等于HX+N

我们从两个

方面来分析

一方面请大家看

H矩阵

其实是 H11 H12 等等

H1NT对吧

然后 H21

H22等等

H2NT

等等
H2NT

等等

最后应当是HNR1 等等等等等

HNRNT对吧

这样的形式

显然每一个分量

全都是随机变量

不完全为0

因为它是随机取值的

都是高斯随机变量

因此我们就能看到了

矩阵

它其实是不全为0的矩阵

它都是随机的

大家想一想

我们发送的信号

就是X1X2

我们把列向量展开等等

我们得到 X12

一直到NT 对吧

我们看接收的向量是 R1 R2

等等

然后到RNR

对吧

这样的形式

好

我们看

显然对于第一个接收信号而言

第一个天线接收信号而言R1

其实应当可以写成是

X1乘上了H11

+X2

乘上H12++++

加到了XNT乘上了H1NT

对不对

当然还会加上噪声

就是噪声样值是N1

大家观察显然

我们所谓的天线之间有相互干扰

就指的是这个含义

假设说第一路

天线是真正

我要发送的有用信号

我们不妨可以做假设

X1

H11相乘

这是有用分量

那么大家看

因为是叠加的结果

那显然X2

第二个天线发送的信号

那么第三个天线发送的信号

以及第NT个天线发送信号

这对第一个天线就是干扰

对不对

为什么会有这个干扰呢

显然我们观察是因为 H12

H13 一直到了H1NT

这些

衰落系数不为0

所以这些衰弱系数

乘上发送的信号

那么就叠加了

叠加到一起去

这就变成干扰了

如果我们再回到

原来的矩阵当中来看

除了主对角线元素

H11 H22

一直到HNTNT等等

以外

那么上面的部分

上三角

或者下面这些部分

因为它们不完全为0

因为它都是随机矩阵

因此就会有干扰

如果说我们想办法

可以让 H矩阵

变成是一个对角矩阵

只有对角线上

是有值的

而上三角和下三角

其实都是0

也就是说这些

相邻的这些系数

除了对角线以外的

其他位置的系数全是0

假如这样的话

你想一想

显然就无干扰了

对不对

这就是我们在进行

某信道分析的时候

我们看一个理想化的条件

因为MIMO信道它的性能受限

就是受限于天线间的干扰

假如我们采用一些方法

能够把天线间的干扰给消除掉

这样的系统就太理想化了

就可以变成一个纯粹的

无干扰并行传输了

现在我们有NT个天线

那么就可以NT个数据流的并行

传输

并且互不干扰

那么如果我们传送的

有NT个天线

那么还互不干扰的话

我传输的能力

就能够比原来单天线的

提升了NT倍 具体化而言的话

如果两天线

那就可以提升了两倍

那4天线就是4倍

那么8天线就8倍

这是我们的理想化条件

所以系统

它能够提升

整个无线通信的传输效率

提高传输的数据速率

这就是我们终极追求的目标

希望理想化的要求

就是成倍数的线性增长

你多少天线

我就能成比例

就能增加多少倍

这是一个理想化条件

那么第二个

我们再来把这个信号模型

与前面我们介绍过的

内容

我们做一下联系

大家还记得在第8章和第9章

还有第10章

我们分别介绍了

分集域均衡

多用户检测

OFDM技术

尤其是在讲均衡的时候

我们当时就说过

均衡

算法实际上呢是后续的

高级信号处理技术的一个出发点

很多均衡算法的设计思想

可以应用于其他领域

我们讲第9章

多用户检测的时候

我们又重新做过比较和分析

大家还记得吗

同步多用户检测

它的信号模型

和均衡的信号模型

是很像的

所以多用户检测当中的很多算法

可以直接对均衡算法

做改造和扩展来应用

用 OFDM那一章内容

第十章的内容

我们也做了一些比较

OFDM其实可以

看作

也是类似的一种信号模型

那么到这我们再看一下

比如说我们把多用户检测

多用户检测的模型

大家还记得吧

应当是RAX加上N

那么这个模型

和MIMO模型的也很像

那么上面这个模型

是同步用户端检测的模型

下面这个模型

是多天线的模型

那么大家看

如果我们把 RA矩阵

就看做一体

它和 H矩阵

就没有什么本质区别

换言之

同步CDMA系统当中

我们看到的是每一个用户的信号

你现在在多天线系统当中

看到的是每一个天线的信号

假如说我们把每一个天线

看着

或者等下为一个虚拟用户的话

在数学本质上

或者在信号模型上来看

多天线的模型

合同部CDMA的信号

模型就是类似

那么有鉴于此 很多多天线

或者说是能MIMO检测的算法

都可以借鉴的

多用户检测的算法

来进行扩展和设计

所以我们在第9章

给大家深入介绍了

多用户检测是非常重要的

因为虽然说你多用户检测

尤其是最优多用户检测很多算法

没有最终

在实际的移动通信系统当中应用

但多用户检测

在20多年的发展

里面很多一些关键的设计思想

和设计的一些核心算法

都被推广到了OFDM

还有MIMO系统当中

并且今天在3G

4G

以及未来的5G系统当中

但广泛使用

有效的提高了

移动通信的传输系统

好

下面我们就来沿着理想化的思路

想一想

有没有什么样的数学方法

我们现在理论上分析

能够把整个信道

响应矩阵的对角化

我们看看这个理想化的情况下

信道的最大传输能力能达到多少

那么经过分析

我们发现

H矩阵

是可以考虑进行对角化的

假设说我们采用的是一种

这种奇异值分解的方法

那么依据根据一般的矩阵

理论呢我们可以知道

到任意的一个矩阵H能够分解为

三个矩阵的成绩

那么这种方法

我们就称为是奇异值分解

这三个矩阵是这样的

有这样的特性

U矩阵 左面 U矩阵

和右面的V矩阵

当然V对应的是V的

H 也叫它的共轭转置

UV矩阵

都是有据证

都是uniteri的矩阵

所谓U矩阵

其实就是复数意义上的正交矩阵

换言之

U和它的共轭转置

等于单位阵V和它的共轭转置

等于单位阵

所以UV都是两个有矩阵

那么中间的D很重要

这个D

它是一个对角矩阵

也就是说这个D

它只在对角线上有值

λ1 λ2

等等

λ

比如说

N等等

那么其他地方就全是0了

大家看到第一矩阵

就变成了一个很理想的矩阵了

我们刚才提到的那种理想化条件

它就只在主对角线上有值

那么其他的

上三角下三角上就全是0了

这样我们就能够把A矩阵做了

分解

能利用这个分解的结果

咱们可以把原来信号模型

进行的一些变化

原来信号模型

等于 H乘X加上N

我们把它做一点变换

把这样的一个矩阵

它的 H展开

展开就应当是 U乘上呢D

乘上的VH这就是它的奇异值

这样奇异值分解

那么再乘上X加上N

那么我们把奇异值分解的

这样的形式的矩阵

再做一点有变化

或者也就是我们做这种复的正交

变换

假如我们把这个矩阵

两端

都做成上

它的一个U矩阵

也就是说把U的共轭转置

组成过来

显然这个Y就变成了

U的H乘上Y 我们可以令它

等于R撇

对吧

然后我们再看呢

右端

右端显然应当写成是U的H乘上

U再乘上D

再乘上的V的H乘X再加上 U

的

H乘上了N

对不对

我们写成这个形式以后

大家想U矩阵

它是一个有矩阵

所以它自己共轭转置乘以

它本身

实际上应当等于单位阵

所以这一部分我们就不考虑了

因为它变成了单位阵了

我们再看后面

U的H乘上N

我们不用管它

不用关心它了

因为N是白噪声向量

那么U矩阵它实际上是个有矩阵

把一个高斯

向量随机向量

并且它是一个白噪声向量

进行这种有无变化

也就是这种复的正交变化

它还是一个高斯随机向量

所以我们就不用考虑

它的具体形式

因为它还是一个高斯型的

好

我们看到 V的H乘X这部分

内容

我们可以把它看作是

做了一次有变化

或者是预编码

我们用又又矩阵用V矩阵

与发射信号X向量的相乘

这实际上是一种正交变换

或者是复述空间当中的一种旋转

我们可以令它等于 xp2

这样的话

最终我们

可以把原来的信号模型

写成一种对角化的模型

这种对角化的模型

应当等于D矩阵

公式见图

公式见图

大家观察

我们在胶片里面给的公式

公式见图

公式见图

这个公式就非常的重要

因为这个公式

比原来的那个公式要简单多了

原来的公式是

公式见图

由于 H矩阵当中

它的元素

除了主对角线之外

不是全为0的

所以原来的信号模型当中

天线之间是有相互干扰的

而我们现在进行了奇异值分解

以后

得到的变换的信号模型

在变换信号模型当中

这个的矩阵是对角矩阵

因为D矩阵

比原来的 H矩阵

要简化得多

所以就导致了

我们最终得到的信号模型

就极大的简化

我们可以把矩阵向量的这种模型

进行展开

我们看看具体的

这个信号的表达式

那么其实D矩阵

我们一般不妨假设D矩阵

它的质RANK

等于小R

这个含义指的是说

D矩阵未必是满质

假设说你D矩阵

它其实

其一直对角线上元素

是应当是

这个特征值的

λ我们讲述的是特征值

所以奇异值应当是这个特征值的

开方

第一个应当是

公式见图

第二个应当是

公式见图

公式见图

那么第R个

就应该是

公式见图

那么这些元素

主对角线上有

小R个元素

是非零的

公式见图

公式见图

那么剩下的元素

主对角线全是0

并且其他地方也都是0

我们把这样的一个矩阵

与发送的信号

公式见图

公式见图

公式见图

大家想想

显然这样的一个矩阵

根据D矩阵的形式

我们可以把它拆分成两个

两组

或者说我们可以拆分成4个分块

矩阵

前面的这一个小r

乘以小r的矩阵

它是一个对角矩阵

并且主对角元素的O为0

对吧

它所对应到向量上

X撇量上来讲

我们把X撇向量也要进行拆分

X撇向量的前面的小r的向量

那么是需要与小r乘小r

分块矩阵相乘的

并且是各乘各的

因为只有主对角线上有非零元素

其他地方全是0

右上矩阵

是全0的一个矩阵

什么都没有

左下的躺着的矩阵

也是全0矩阵

什么都没有

那么右下的矩阵

也是全0矩阵

什么都没有

所以最终我们就可以把

接收信号的表达式分为呢两组

两组

第一组大家看

如图所示

如图所示

如图所示

如图所示

如图所示

第二组我们写成是

如图所示

如图所示

请大家观察

第一组

第一组

假设说第I个信道

那么发送的信号是XI撇

那么它所经历的信道增益

如图所示

发送的信号是XI撇

而加上噪声NI撇

这就得到了接收信号

I撇

第一组信号所对应的信道有小r个

在这小r个信道上

每一个信道

各自发各自的信号

对吧

第一个信道发送X1撇

而第二个信道发送的X2撇

第三个信道发送X3撇以此类推

第R个信道的发送XR撇

所有这些信号各发各的

我们看到的其他的干扰全没有

对吧

相当于这R个子信道

是互不干扰的

并行传输的

子信道

我们再看剩余的

因为我们知道

总的接收信号的维度是二维

你刨掉这

小r个子信道之外

那么剩下还有Nr阶小r个子信道

这些子信道上面我们看

就只有噪声了

叫Ni撇

没有信号

换言之

第二组这些信道

其实是纯噪声信道能行

写一下是纯噪声

信道它没有任何的信号

既然是纯噪声

信道

就没有发信号

那么它的信道容量

其实就是0

我们再看第一组

这些信道

是互不干扰他

我们观察的每一个子信道

每一个子信道

它只有一路噪声没有干扰

对吧

每一个子信道所对应的噪声

其实都是高斯噪声

实际上

就相当于

经过了奇异值分解以后

我们把原来有相互干扰的NT发

NR收的MIMO信道模型

就分解为小r个

不干扰的

独立的

高斯信道模型了

大家回忆一下

在经典性训练当中

我们都学习过

高斯信道模型

它的信道容量

我们是可以算出来的

而现在我们得到的是

小r个互不干扰的并行高斯信道

那么它的总的信道容量

显然就应当是这

小r个高斯信道的容量的和

这就是

我们进行MIMO信道容量推导的一个

基本思路

通过奇异值分解的方法来进行

信道分解

我们得到了互不干扰的变形信道

那么经过这样的分析

我们就可以写出来

那么现到的容量表达式

大家看它的容量表达式就是

这样子的

我们现在得到的是个

互不干扰的子信道

每一个子信道都是高斯信道

而高斯信道现在我们都讲说是

复高斯信道

那么复高斯信道的容量

我们假设

我们用仙农信道容量公式

可以带进去

我们假如说它的信号带宽是W

那么每个子信道

它的信道容量

它都应当等于是

如图所示

如图所示

如图所示

加上信噪比

大家看看这个地方的信噪比

这个我们要用平均信噪比来带

那么我们知道

它发射的信号功率

每一个天线上的

我们都是等功率分配的

所以发射信号的功率

在单个天线上

就应当是P/NT 同时每一个

子信道

它的信道增益

也就是幅度上的衰减

如图所示

那么功率上的衰减

就应当是幅度增益的平方

也就应当等于λI

因此它的信号的功率

就应当是

如图所示

噪声的方差

因为我们做的有变化

它不放大噪声

噪声方差是不变的

所以噪声方差是

如图所示

所以第I个子信道

有用承载信号的

第I个子信道

它的用

先从信道容量公式来表达

其实就应该是

如图所示

如图所示

这样的话

我们单个子信道的信道容量

表达式

我们就写出来了

现在这样的子信道有多少个

因为互不干扰

一共有二个

所以我们求和

就这个地方

要∑求和

α求和

这就是我们最终得到的表达式

下面的内容我们得看一看

希望能够把数学公式

把它的本质跟进一步做一些揭示

实际上到此为止

信道容量的求解

已经做出来了

但是我们不是特别满意

因为在这样的一个基本公式

当中

必须要对信道响应的矩阵

要进行奇异值分解

或者等效的来讲

我们需要对Gram矩阵

也就是 H×H的H 进行特征

分解

那么才能够得到这个特征值

λI

这个是不方便的

我们想能不能直接把 H矩阵

或者是它的Gram矩阵

H×H的H共轭转置

带入到这个信道中来表达式里面

这是有可能的

因为我们可以利用的矩阵理论

来进行一些变化

首先我们先观察

这个求和是对数求和的

所以我们可以把对数

求和交换顺序

好多个对数求和

把∑号

放在对数里面

那就变成了的连乘积了

对吧

大家想想

这是好多个Π的连乘积

而每一个Π的连乘积

我们猜测

我们看这个形式

其实都是个特征值

有关的

我们现在知道他的特征值那么大

其实是有小r个

不为0的特征值

根据矩阵的基本理论

大家知道

这个特征值

实际上是这个特征方程的根

也就是说是

Gram矩阵

减掉这个λ

乘以单位阵

那么这样的一个再取行列式

那么这就是它的特征方程

我们是求这个特征方程

等于0的根所得到的

所以我们可以利用这样的关系式

因为

这实际上是一个一元高次方程

那么其实可以进行

这种因式分解

做完因式分解以后

显然就是好多个

一次因式的连乘

不就是这的

连乘积对不对

那么由此

我们做一点数学变换

咱们把这样的一个特征方程

咱们假设说它有小M个

这个特征值

那么显然对于一个多项式

或者我们给的就是一就特征方程

它可以表示为一个一元高斯方程

或者我们可以称为

是一元的高阶多项式

那么这样的一元高阶

多项式显然可以

因为我们能求出根来了

假设说用M个

显然可以表达为

这M个一次因式的连乘

也就是

如图所示

这就得到了它的特征方程了

那么现在我们稍微做一点变化

咱们把这个λ代换成

如图所示

那么最后我们就得到了这样的

一个

特别简洁的表达式

也就是我们刚才给的

需要用特征值

表达的连乘式

实质上讲

就是一个行列式

这个行列是应当是单位阵

如图所示

然后再乘上Q这个Q就是我们

刚才讲的

Gram矩阵

如图所示

那么左面的对应的

实际上是一个

连乘多项式的

因式的连乘

右面就不再是一个多项式了

而直接表达为一个行列式

就是我们在矩阵线性代数当中

学过的行列式

那么右边这个表达式

比左边要看的舒服

并且也容易计算

所以最终

我们得到的

信道容量的公式

MIMO信道容量的公式

就表达为这样的形式了

大家看这就是

如图所示

如图所示

如图所示

实际上是

从发端来看的信噪比

那么再乘上

Gram矩阵

Gram矩阵

其实是信道响应矩阵的共轭转置

相乘

所以

我们由此

你就能够得到MIMO信道容量

其实和仙农信道容量公式

我们看它的形式

实际上讲的是一个推广

但是它还是有自己的特色的

因为它是有信道响应矩阵

来决定的

下面我们把这两个容量公式

再给大家做一点说明

你们这个说明非常的重要

我们再好好的给大家分析一下

一般意义上的MIMO信道容量公式

它就是依赖于信道响应矩阵的一个行列式

这样的表达

那么我们从两方面来看这个公式

首先我们先给出来

仙农信道容量公式

也就是

如图所示

如图所示

大家观察这两个公式

仙农公式

其实是个标量版本的公式

就单个发天线

单个收天线的标量版本

而MIMO信道容量公式

实际上是一个矩阵版本的公式

但是它们之间

其实是有非常紧密的联系

可以看到的信道容量公式

是仙农信道容量公式

从标量到矩阵的一个推广

在推广过程当中

W是不变的

带宽还是一样的

对数形式也一样

都是log以2为底

但是这个标量版本里面的1

推广到了矩阵版本当中的

单位阵

对吧

第二版本当中的括弧

因为它是个标量

变到了矩阵里面

就变成了

行列式

那么标量当中

其实我们只是涉及到

单个接收天线的信噪比

矩阵里面

其实就是变成这样的平均信造比

这还是类似的

特别重要的一个

是因为仙农信道容量公式

它其实是横穿线道

也就是白噪声信噪的

信道容量

所以我们不考虑信号的

时变特性衰减特性了

而到了MIMO信道容量公式表达

里面

我们需要考虑信道响应的变化

信道响应矩阵的特征

那么这需要引入

H乘上H的共轭转置

这就是它们的一个区别和联系

我们可以看得出来

那么下面我们再做一些深入的

分析

咱们还是回到

刚才给的表达式

信道容量的公式

实际上可以表达为是小r个高斯

信道容量之和

对吧

咱们把这个公式做一点缩放

大家观察这个缩放

因为是小r个容量的

和

咱们不妨假设说

我们取

这小r个容量当中的

小r个信道容量里面的最小的

那一个

也就是说

我们把λ智能==只能

排个序 λ1

这个大于等于λ2

大于等于的点点点大于

等于λ我们取个幂

也就是信道增益最小的信道

那么这样取的话

信道容量

我们就可以取一个下阶

对吧

C就可以取得下阶

一共有二个子信道

每一个子信道

我们都有一个容量

现在我们只考虑把它求个下阶

所以每一个子信道的容量

都应当比最小的

信道的容量要大

所以我们现在把它求和

那必然是大于等于二倍的

最小的线段容量

之和的

二倍

你这r个都一样

所以我们就乘个2就行了

这样的话大家想

信道容量表达式

就可以简化为

如图所示

如图所示

如图所示

最小的信道

信道容量所对应的容量表达式

对吧

最小的信道

当然应当就是

如图所示

如图所示

对吧

也是这样的形式

大家观察这个表达式

和仙农信道容量

表达式

信道容量表达式

如图所示

比如说

我们这用的是SNR

SNRβ

大家观察

变成这个形式以后

你看对数部分

都是log1

加上SNR

都一样

还真没有本质区别

那么前面的W也都是一样的

我们观察

MIMO信道容量表达式

和仙农信道容量表达式

有什么区别呢

最本质的区别在这

MIMO信道容量表达式

多了一个小r

得了一个小r

这个小r是啥东西呢

前面我们讲过了小r实际上是

信道响应矩阵H它的质 质又是

啥东西

大家在线性代数都学过

因为 H矩阵它实际上是NR行

NT列

对吧

也就是行的数目是NR

列的数目是NT

质我们从名词的解释来讲

我们知道它应当是

矩阵当中互不相关的

最大的行数

或者是列数

或者互不相关的

如果我们把它表示的话

可以表示为小r

显然可以表示为应当是min

也就是小r应当

小于等于min

NRNT也就是发射天线

数

接收天线数的最小值

也就是质

以H矩阵的质

不可能超过它的行数列数的最值

或者说也就发射天线

是我们接收天线

是我们的最小值

因此我们就能看到

MIMO线道的容量

实际上

除了对

有类似于仙农信道容量公式的

表达之外

那么本质上来讲

是额外引入了一个比例系数

也就是小r

而这个比例系数

它其实本质上来讲

是和发天线数目收天线数目的最小值是

有关系的

如果我们给定最小值的话

随着你发天线数目

收天线数目或者换句话讲

也就是MIMO信道的

规模的增长

那么大家观察

显然信道容量

它应当随着

收发天线数目的增长

而比例或者是线性增长

比如说我们发天线

是我们的增加一倍

那么信道容量呢就会增加一倍

发天线数目如果增加10倍

那么信道容量则会增加10倍

所以这就是

技术为什么得到的

普遍应用

和成为最重要的

移动通信的

核心技术的关键原因

正因为呢

我们要追求高速传输

要提升传输的效率

那么像这种线性比例的增长

它是非常快速的

可以很好的满足

4G之后的宽带

移动通信

高速数据传输的需求

所以才成为了

我们现在最重要的技术

我们就讲讲它的数学本质

上述我们推导

实际上是根据它的推导方法

我们得到的

另外一种推导方法

是

弗齐尼和Gans他们推导的

那么主要涉及到的基本思路

是

采用矩阵求逆引领来进行分析的

那么这两个方法有所差别

但最终的结论是类似的

我们就不再详细介绍了

同学们可以看一看

这个书上的具体分析

那么下面我们再来说一说

另外一个重要的定义

上面我们给的

MIMO信道容量的表达式

其实是假设H矩阵给定的情况下

那么一般来讲

H矩阵其实是随机矩阵

那么这个随机的行为

我们可以把它划分为

这样的几种行为

主要有三类

第一类我们假设说

它是一种快速的矩阵

也就是 fast faing

也就是说它是在每一个符号上

信道响应矩阵都会变化的

那么对于这样的快衰的矩阵而言

我们可以对这种条件的

这种容量

或者互信息

我们可以求它的数学期望

那么所对应的

其实这个MIMO信道容量

我们就称它为是

遍历信道容量

所谓遍历可以

在时间平均的等价于统计平均

它可以求数据平均

第二类信道

我们称它为是

块衰落信道

块衰落

信道英文就是Blocking fading

Blocking fading指的是说

这个信道响应

它不是主符号

变化是一块儿一块儿的变化

块内它是一个信道衰竭系数

或者一个信道衰落矩阵

块之间是独立的变化

是另外一个衰落矩阵

这种我们就称为是Blocking fading

那么Blocking fading

如果再进一步扩展

假设说我们在整个时间

整个发送时间里面都不变

那么这是一种长期的

信道衰弱

那么这样是一个

特别典型的

慢衰落心道

我们就称它为是慢衰落

或者是准静态的衰落性的

对于后两者

就是Blocking fading

或者是准静态衰落信道

我们不能够求它的遍历容量

因为这阵他不遍历

如果你严格意义上

去求它的遍历容量的话

它应当为0

那么对于后者而言

我们就只能够去求他的概率性的

容量

这就是所谓的中段容量

或者是截止容量

那么大家简单来看一下

我们后面的一些分析

第一个对于fast fading

我们可以求它遍历容量

遍历容量比较简单

就这样求

那么中括号里面

这实际上是顺势的容量

给定一个

信道响应的样本矩阵

我们就能求一个顺势容量

然后我们对所有的样本空间

进行统计

平均

就得到了遍历容量

对于快衰的信道来讲

我们可以求解遍历容量

在天线数目非常大的时候

遍历容量还能够进行近似

计算

我们可以采用

所谓的Laguerre多相式

把它进行展开来做计算

同学们有兴趣

可以查阅相关书籍

我们不介绍

那么另外一类

我们称它为是

截止容量

所谓截止容量

请大家注意就是

刚才我们讲的是Blocking fading

这种快衰的信道下

它没办法求遍历容量

每一种衰落信道响应

矩阵所对应的都是一个

信道容量

都是个随机变量了

我们只能够考虑说90%

可能性下

那么信道所达到的最高吞吐率是

多少

那么这个我们就称为

是

10%的outage容量

outage

或者我们称它为是戒指容量

我举了个例子

大家看看

这就是一个截止容量的定义

那么也就是说

顺势

容量就是一个随机变量

它应当有一个上限

不等式

成立

它其实是有概率的

这就是它的概率

我们给定概率的条件下

求出来上限

我们就称为是截止容量

截止容量一般来讲

我们没有办法进行解析表达

可以通过蒙特卡洛仿真的方法

来去评估

那么下面我们给了一些

CCDF

也就是误差

累积分布函数

那么在天线数目比较多的时候

我们可以看到截止容量

可以显著的增长

它仍然也具有我们刚才提到的

性质

也就随着天线是我们的增长

我不管是遍历

容量还是截止容量

总而言之

那么MIMO

做天线系统

它的信道容量

或者相应的评估效率

快速的增长

能够满足

宽带移动通信

高速数据传输的需求

以上就是我们对

多天线信息论的一些初步介绍

那么这个内容

是最重要的理论基础

希望大家深入了解

可以查阅一些相关的书籍