当前课程知识点：心理统计 > 18 回归与预测 > 18.6 回归方差的有效性检验 > 18.6 回归方差的有效性检验
同学们 你们好
今天我们来学习第18章
回归与预测这一章中的最后一节
回归方程的有效性检验
我们往往无法获得总体数据
当我们有样本数据的时候
我们可以计算样本回归直线
y∧等于
b0加b1X
比如说我们有一个样本
我们获得的回归系数b1呢等于0.3
但是有这个b1
我们能否知道真正的回归系数
这个斜率B1等于多少呢
我们需要进行假设检验
也就是说我们需要建立H0
B1等于0
H1 B1不等于0
这样的假设检验
我们看一下能否推翻H0
如果能够推翻H0
我们就能够说回归方程
总体的回归方程是有效的
也就是说X跟Y呢存在线性关系
它有两种方法
第一种呢叫方差分析法
我们说回归直线呢是这样的
Yi=b0+b1xi+ei
我这里有一个残差e项
有两个因素呢会影响Y值的变异
一个是Y值会随着Xi的改变而改变
我们叫能够被回归线所解释的变异
另外一个呢是回归线无法解释的变异
所以我们再来回忆一下之前的一个概念
SST总变异等于回归变异加上残差变异
也叫解释变异和未解释的变异
这是具体的公式
大家可以再回忆一下
其中这个R的平方也叫决定系数或者叫解释率
我们可以由b1的平方也就是回归系数的斜率
来计算得到
基于F检验的也就是做方差分析
我们可以首先整理一张方差分析表
最左侧是变异的来源
包括回归 误差和总和
那么它的平方和呢就是我们刚才讲的
SSR SSE和SST
SSR呢我们叫解释变异
它的自由度呢是1
它是一个线性的一个关系
当只有一个自变量的时候
它的自由度是1
那么这个误差呢
我们在讲估计标准误的时候也讲到了
这个误差的自由度是n-2
也就是说至少要多过两个点
才能提供自由度
总和n-1
因为我们用到了一对平均数
所以呢样本量减去1
那么这边呢是均方
也就是说平方和除以自由度
这个是F值
我们用回归的均方除以残差的均方
这个呢我想大家都非常的熟悉
在讲方差分析的时候呢
这张表是一定要列出来的
所不同的是这个呢我们叫自变量
对吧
这个也是残差
这个也是总和
那么这个F值所代表的含义
也就是说我们的回归啊
也就是由自变量所造成的影响
和误差所造成的影响相比
它是否显著的大于误差所带来的变异
那么我们也可以看到
我们的F检验的假设就是H0和H1
B1等于0和B1不等于0
像这个例子股利和股价的这个例子
我们有这个是一元的线性回归方程式
我们可以求R的平方
有这个呢我们其实在上一节也讲了
可以知道SST总变异
SSR回归变异就SST乘以R的平方
也叫解释的变异
还有SST减去SSR叫未解释变异
也叫残差的变异
我们把它整理成这样的一张表
回归的平方和呢就等于这个式子总平方和
还是6122.5
我们的样本量呢是10
所以它的自由度呢是9
F值是这样的一个取值
那么对于我们做F检验来说
是要基于这个F分布去做的
α呢我们取为0.05
那么这个取值我们的值呢
临界值是5.32
它的自由度分子自由度是1
分母自由度是8
这个时候它的临界值是5.32
这个183.580是大于了这个临界值
落在了拒绝域内
所以我们的H0被推翻了
H0被推翻也就意味着
我们的总体回归方程当中那个B1
也就是它的斜率不为零
也就是说我们它X跟Y呢
存在这样的一个线性关系
我们也叫回归方程是显著的
好这是我们第一种方法
也就是基于方差分析的方法
用F检验来做
那么我们来看第二个
我们直接来检验回归系数的显著性
也就是说我们基于样本获得一个样本的斜率
b1呢它不为0
比如说是0.3
我们这里呢要进行一个推断
那么总体的B1到底是为零还是不为零
为零
我们可以假设H0就是b1为零
H1呢就是B1不为零
由于总体参数呢B0跟B1都是未知数
我们必须要用样本来推估
所以大家可以看到这是总体回归直线
这是样本回归直线
有样本的回归直线
这个b1我们要去推估B1
大B1是一个什么样的一个情况
在回归直线上呢
当所有的自变量X所对应的
各组因变量Y的残差都服从正态分布的时候
也就是满足方差齐性的时候
由XY来估计的标准误SEb
等于这样的一个式子
其中这个式子我们还有一个符号就是叫Se
就是估计标准误
这个估计标准误除以根号下这个地方叫
X的离差平方和开根号
那么这个b呢代表是什么呢
就是回归系数斜率啊
这个b的抽样分布的标准误
抽样分标准误
这个b呢也是服从正态分布的
那么它的标准误就是这样的一个式子
当我们知道它的标准误的时候
其实就很方便进行假设检验了
当样本量比较大的时候呢
回归系数的标准误
还可以表示成这样的一个式子
就是Sy除以Sx直接的代入
不用再去计算估计标准误了
这是零假设
那么当我们知道
计算出来b的估计标准误以后呢
我们就可以有b的取值减去β0
β0是我们所假设的
我们这里假设β等于0
所以就等于b除以自己的标准误了
这是他的T值
然后来检验计算统计量
T是否是落在了临界之内
因为一般的统计软件会直接输出
B的这个估计标准误以及T的取值
还有它是否是显著的
所以我们这里呢不详细讲解了
一般你基于软件去输出就可以了
因为它计算量太大
下面我们来看一个例子
1987年的一项研究发现
母亲在怀孕时候吸烟
他们的孩子在三岁时候的智商
也就是IQ
比那些不吸烟的母亲所生的孩子
平均少五分
研究者想印证上述的假设
也就是说孩子的智商是否受他吸烟量的影响
研究者呢得到了一个样本
也就是说样本容量是20
计算样本回归线呢是这样的一个回归方程
这里Xi呢就是它的吸烟量
那么104-.60xi
那么这个代表是他子女的预测的智商
下面1.2这个是截距的标准误
这个.60呢是斜率的标准误是.15
R的平方呢代表的是
智商能够有吸烟量所解释的比例是.17
Se呢是那个误差的
我们叫估计标准误
我们说怎么来看待这个结果呢
斜率为负的0.60
该如何解释呢
它代表的含义是什么
它代表样本中母亲每吸一根烟
她的小孩的智商减少0.60分
我们说X 比如说X是1的时候吸一根烟
和不吸烟的0
你看不吸烟时候为零
那么他的智商是多少呢104
一旦吸一颗烟呢智商是多少呢
就104-.60乘以1
对吧
所以吸一根烟
那么孩子的智商就会减少0.60分
这个就是斜率的意义
那截距为104又该如何解释呢
我们刚才已经说过了
它代表的是X为零的时候
你看是零的时候
它等于Yi等于104
也就是说如果妈妈不吸烟
那么孩子的平均智商是多少呢
是104
我们还来看这样的式子
因为我们这个样本回归直线
仅是基于一个样本来的
它的样本容量呢是20
也就20户家庭
我们能不能推论到总体呢
如果我们把所有的家庭都调查一遍
我们总体的回归系数会是什么样子的呢
我们只能做假设检验
我们必须检验母亲的吸烟对子女
有无影响的这个假设
也就是说我们可以建立零假设
B1等于0以及研究假设B1不等于0
我们可以做T检验
用B1呢除以它自己的估计标准误
获得的是.60除以.15等于-4
我们再来看t的临界值
那么自由度呢还是n-2
在这个时候它的临界值是-2.1
这个-4的绝对值大于了这个2.1
所以我们说H0被推翻了
拒绝H0
也就是说对总体来说
母亲的吸烟对子女的智商确实有影响
我们再来看
R的平方等于0.17
说明什么呢
说明母亲的吸烟的数量
可以解释17％的儿女智商的变异
也就是说孩子呢与孩子
他们之间的智商的差异有17％
可以说是因为母亲的吸烟造成的
吸烟的越多
孩子的智商下降得越厉害
所以我们说母亲的吸烟呢
是孩子智商的一个非常重要的影响变量
或者说除了这个以外
我们有83％的智商的变异呢
是无法由吸烟来解释的
所以我们进行一个小结
在这一章里面我们主要讲了
回归方程的有效性检验
它包括方差分析的方法
以及回归系数的有效性检验
感谢大家收看
谢谢
-1.1 统计学的意义
-1.2 心理统计简介
-1.3 基本概念介绍1
-1.4 基本概念介绍2
-1.4 基本概念介绍2--作业
-1.5 研究方法
--1.5 研究方法
-2.1 统计表和统计图简介
--2.1 统计图表
-2.1 统计表和统计图简介--作业
-2.2 频数分布表
-2.2 频数分布表--作业
-2.3 频数分布图
-2.3 频数分布图--作业
-2.4 百分位数和百分等级
-2.4 百分位数和百分等级--作业
-3.1 平均数
--3.1 平均数
-3.1 平均数--作业
-3.2 中数
--3.2 中数
-3.2 中数--作业
-3.3 众数
--3.3 众数
-3.3 众数--作业
-4.1 全距和四分位距
-4.1 全距和四分位距--作业
-4.2 标准差和方差
-4.2 标准差和方差--作业
-4.3 差异系数
--4.3 差异系数
-4.3 差异系数--作业
-5.1 Z分数介绍
-5.1 Z分数介绍--作业
-5.2 Z分数的分布及转换
-5.2 Z分数的分布及转换--作业
-6.1 概率的基本概念
--6.1 概率与二项分布--作业
-6.2 概率与二项分布
-6.2 概率与二项分布--作业
-6.3 概率与正态分布
-6.3 概率与正态分布--作业
-6.4 抽样分布与推论统计
-6.4 抽样分布与推论统计--作业
-7.1 假设检验的一般原理
-7.1 假设检验的一般原理--作业
-7.2 假设检验的一般过程
-7.2 假设检验的一般过程--作业
-7.3 假设检验的不确定性和误差
-7.3 假设检验的不确定性和误差--作业
-7.4 有方向的假设与单侧检验
-7.4 有方向的假设与单侧检验--作业
-8.1 t统计量与t检验
-8.1 t统计量与t检验--作业
-8.2 单样本t检验的方法
-8.2 单样本t检验的方法--作业
-8.3 有方向的检验和单侧检验
-8.3 有方向的检验和单侧检验--作业
-9.1 独立样本t检验
-9.1 独立样本t检验--作业
-9.2 独立样本t检验的应用
-9.2 独立样本t检验的应用--作业
-10.1 相关样本t检验方法
-10.1 相关样本t检验方法--作业
-10.2 有方向的假设和单侧检验
-10.2 有方向的假设和单侧检验--作业
-11.1 效应量的测量
-11.1 效应量的测量--作业
-11.2 均值检验效应量
-11.2 均值检验效应量--作业
-11.3 统计检验力及其影响因素
-11.3 统计检验力及其影响因素--作业
-12.1 参数估计的基本内容
-12.1 参数估计的基本内容--作业
-12.2 用t统计量作参数估计
-12.2 用t统计量作参数估计--作业
-12.3 假设检验和参数估计
-12.3 假设检验和参数估计--作业
-13.1 方差分析的逻辑
-13.1 方差分析的逻辑--作业
-13.2 方差分析的计算
-13.2 方差分析的计算--作业
-14.1 完全随机单因素方差分析
-14.1 完全随机单因素方差分析--作业
-14.2 方差分析的测量效应和事后检验
-14.2 方差分析的测量效应和事后检验--作业
-15.1 重复测量单因素实验设计
-15.1 重复测量单因素实验设计--作业
-15.2 重复测量单因素方差分析的逻辑和计算
-15.2 重复测量单因素方差分析的逻辑和计算--作业
-16.1 完全随机两因素实验设计
-16.1 完全随机两因素实验设计--作业
-16.2 完全随机两因素方差分析的逻辑和计算
-16.2 完全随机两因素方差分析的逻辑和计算--作业
-16.3 简单效应检验
-16.3 简单效应检验--作业
-16.4 完全随机两因素方差分析的效应值和事后检验
-16.4 完全随机两因素方差分析的效应值和事后检验--作业
-17.1 相关概述
-17.1 相关概述--作业
-17.2.1 皮尔逊相关1
-17.2.1 皮尔逊相关1--作业
-17.2.2 皮尔逊相关2
-17.2.2 皮尔逊相关2--作业
-17.3 等级相关
-17.3 等级相关--作业
-17.4 点二列相关和二列相关
-17.4 点二列相关和二列相关--作业
-17.5 φ相关
--17.5 φ相关
-17.5 φ相关--作业
-18.1 简单线性回归
-18.1 简单线性回归--作业
-18.2 回归模型和回归系数
-18.2 回归模型和回归系数--作业
-18.3 线性回归的基本假设
-18.3 线性回归的基本假设--作业
-18.4 变异的分解
-18.4 变异的分解--作业
-18.5 回归方程的估计标准误
-18.5 回归方程的估计标准误--作业
-18.6 回归方差的有效性检验
-18.6 回归方差的有效性检验--作业
-19.1 二项检验
-19.1 二项检验--作业
-19.2 卡方检验
-19.2 卡方检验--作业
-19.3 四格表及列联表
-19.3 四格表及列联表--作业
-20.1 非参数检验概述
-20.1 非参数检验概述--作业
-20.2 单样本非参数检验
-20.2 单样本非参数检验--作业
-20.3 两独立样本非参数检验
-20.3 两独立样本非参数检验--作业
-20.4 多个独立样本非参数检验
-20.4 多个独立样本非参数检验--作业
-20.5 两个配对样本非参数检验
-20.5 两个配对样本非参数检验--作业
-20.6 多配对样本的非参数检验
-20.6 多配对样本的非参数检验--作业
