当前课程知识点：系统工程原理 > 第四章 系统预测 > 第五节 回归分析预测法应用 > 回归分析预测法应用
接下来第五节
我们通过两个例子来具体地理解一下
回归分析预测的应用
首先看一元线性回归分析预测的例子
这个表格里面给出来了
阿尔卑斯山和苏格兰的17个地方
沸点以及大气压的数据
其中第二列
是17个地点的沸点数据
第三列是
以英寸汞柱为单位的
大气压的数据
把这一列数据做一个转换以后
得到最后一列的以
100乘以log英寸汞柱为单位的气压的数据
那么令
因变量是大气压
自变量是沸点x
我们把它先描在散点图上一看
大体上呈现出一个
线性相关的关系
y是随着x的递增而递增的
我们采用
一元线性回归模型
去进行预测
按照最小二乘法
可以求解到a和b
两个回归系数
分别是-42.138
和0.895
那么
预测方程就是y= -42.138+0.895x
然后进行统计检验
根据
所给出来的样本点值可以计算
y和x的相关系数rxy
计算得到rxy=0.997
而给出显著性水平是0.01的时候
α取0.01 然后查相关系数表 得到临界值rc
在样本点数是17的情况下
等于0.606
很显然这个检验是通过了的
于是这个一元线性回归方程是可以用于预测的
第二个例子
我们来看一下多元线性回归分析预测的例子
这个问题的背景是
有一个部队维修厂
它的固定资产x1 维修工人数x2
和维修的总产值y
它的统计数据在这个表格里面给出来了
总共10个点
现在请建立以x1、x2为自变量的
总产值的回归预测模型
现在我们看到的这个表
除了刚才给出的信息以外
还增加了很多列
这都是在计算回归系数的时候需要用到的一些
我们先把它算好放在这里
根据上一节我们所介绍的
回归系数的最小二乘法进行估计
= (XTX)-1 XTY
可以最终得到
a0 a1 a2
分别是最后这个结果向量中的有关的元素
那么这样的话回归模型就已经得到了
就是y=-106.7218+0.498921x1+1.34047x2
我们现在
只有一个因变量和两个自变量
因此还是可以画图的
把它画在一个三维坐标系上来观察一下
是不是大体上呈现一个线性相关关系呢？
现在我们看到的这个图
是不太看得清楚的
把这个坐标旋转一下
可以看到y与x1、x2
确实大体呈现出一个线性相关关系
但是
光这样观察散点图
还是不足以
进行检验
所以接下来要进行的是
上一节我们介绍的一系列的检验
第一个检验是标准离差检验
按照标准离差的计算公式可以算到S等于4.3776
标准离差S除以y的
样本平均
等于0.0160
低于阈值10%
因此标准离差检验是通过的
第二个检验是相关系数检验
根据样本点值计算出来相关系数r
等于0.9897
取α=0.05
自变量有两个
n就是样本点数是10个
去查相关系数表
等于0.666
这是阈值
计算出来的相关系数r是超过这个阈值的
因此相关系数检验通过
第三个检验是F检验
将样本点数据代入F统计量的公式
算到F=167.17
然后取α=0.05
自由度分别为
2和7
2就是自变量的个数
7就是n-k-1
就是
样本点个数减去自变量个数再减1
那么查到临界值等于4.74
计算出来的F值是超过这个临界值的
因此 F检验通过
第四个检验是t检验
这里面要进行两次t检验
是说
相对于两个自变量而言 分别要进行t检验
我们首先看t1
它的计算式里面a1
其实就等于
x1所对应的那个回归系数
的估计值0.498921
S是标准离差
4.3776
c11呢？
现在我们回过头来看矩阵C
我们目前看到的
就是
回归系数矩阵它的估计式以及它的计算过程
C矩阵就是(XTX)-1
那么c11呢
就是在这个矩阵上的第2行第2列元素
为什么是第2行第2列元素
因为只有这个元素
才是
对应于第一个自变量的
c22呢
是C矩阵上的第3行第3列元素
因为这个元素是对应于第二个自变量的
t1和t2两个量值都可以计算出来
接下来我们取α=0.05
去查t表得到了阈值是2.365
发现
t检验不能通过
如果取α=0.1的话
阈值等于1.895
检验通过了
第五个检验是DW检验
根据这个公式可以计算出来
DW值是1.9636
去查DW表
得到du等于1.32
dl等于0.879
然后去
对查我们的DW检验的表格
发现检验是通过的
接下来可以给结论了
预测的区间估计
如果取
x10等于350 x20等于190
进行一个系统预测的话
把x10等于350 x20等于190 分别代入
预测方程
可以得到y0=322.5899
这就是一个点估计
又已知S=4.3776
在90%的置信度下的
预测上下限分别为y0 + 1.645S
和y0 - 1.645S
结果分别为
预测上限为329.7911
预测下限为315.3887
最后给出的结论是
预测模型为y = -106.7218+0.498921x1+1.34047x2
其中
还需要给出一些其他的信息
S标准离差等于4.3776
复相关系数r等于0.9897
F量值等于167.17
DW
等于1.9636
当x10等于350 x20等于190时
90%的置信区间为
315.3887到329.7911
这样的话
一个多元线性回归分析预测就做完了
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