时间序列分析预测在线视频

在上一节我们学习了系统预测的一般的步骤

从这一节开始

我们来学习几种具体的系统预测的方法

前面那个步骤

我们就不会把每一个环节都照顾到了

只介绍其中的方法的内容

首先看4.2节

“时间序列分析预测”

什么叫做时间序列呢？

它指的是

系统中某一个变量或者指标的数值或者统计观测值

按照时间的顺序排列成一个数据

的序列

就称作为时间序列

是说

系统有一个量

是我们非常关心的

需要研究它的发展变化情况

需要去对它进行

未来发展的预测

我们现在手头上有的条件呢

是关于这一个变量或者指标的历史数据

按照时间的顺序

排列好了

成为一个数值序列

把它称做为时间序列

因为我们所观察的是一个量的变化情况

所以又称作为动态数据

这里给出来的是一个例子

是某一个城市六年来的汽车货运量

单位是亿吨公里

我们可以看到 总共有24个点

把它描绘在散点图上

就呈现出这页的幻灯片下面的那一部分

那么时间序列分析预测要干什么呢？

就是要在这个基础上

对所观测的这个量的未来的发展情况进行预测

包括几个内容

第一个是

找出时间序列的有关的特征

第二个是选择最佳的数学模型

第三个

根据数据本身

来估计模型的参数

第四

要检验模型的预测精度

然后再用于预测

那么第一步就是要找出时间序列的特征

时间序列具备什么特征呢？

我们还是来观察这一页

对于这个时间序列来说 具备什么特征呢？

好像比较容易地可以看到

它首先具有一个趋势性

对吧？

总体来说是呈现出一个上升的趋势

虽然

局部的地方

有所下降

但是就像我们爬山坡一样

在局部的地方好像要往下走一走

但是整体趋势是往山坡顶上爬的

所谓的趋势性

就是指时间序列在总体上

持续上升或者下降的总的变化趋势

其间的变化幅度有可能

有时会不相等

第二个

我们观察这个时间序列

它可能会具备一定的周期性

所谓的周期性

是指决定于系统内部因素的周期性变化规律

具体是不是存在这个周期性呢？

现在我们只是从

数据的直接观察来得到

是不是具备 需要进行一定的检验

第三个

是季节性

这是指一种典型的周期变动

是以一年

或者四个季节为周期的

这个时间序列是不是具备一定的季节性呢？

这个也需要进行专门的检验

第四个特性

是不规则性

其中又包括两种

是指突发性

和随机性

其中突发性是难以研究的

随机性

是可以

对它的统计特性进行研究的

对于这个时间序列的例子来说

它是不是也具备一定的随机性呢？

我们可以看到 随着时间的发展

这个变量

不仅是有一定的趋势性

好像有一定的周期性

好像还有一定的抖动

这有可能就是由于随机性所造成的

具体来说具备哪种特性需要进行专门的检验

但是由于时间的关系 我们就不在这里介绍了

感兴趣的同学可以参考

咱们的教材和参考书

任何一个时间序列都可以表示为几种变动的

不同组合的

结果

并且可以表示成

两种之一

加法模型

或者乘法模型

比如说

刚才我们看到的例子

就是那个城市的六年来的汽车货运量的时间序列

就可以分解为

趋势项

周期项和随机项

并且它们满足加法模型

就是说

这三个曲线

的叠加

就等于原始的时间序列

时间序列分析预测

需要根据时间序列的变动方向和程度进行外延

和类推

预测下一个时期或者若干个时期可能达到的水平

我们将会学习两种方法

一种是平滑预测法

一种是趋势外推预测法

平滑测试法是指运用算术平均

或者加权平均的方法

来对未来的趋势进行预测

又包括

移动平均法和指数平滑法两种

趋势外推预测法呢

则需要根据预测对象的历史发展的统计资料

来拟合成某种时间函数

用来描述预测对象的未来的发展趋势

我们首先看

平滑预测法

它的第一种

移动平均法

先要给出定义

什么叫做移动平均值

假设有一个时间序列x1到xn

对其中连续N个数据点

进行算术平均

就得到

t时点的移动平均值

记为Mt

它是这样做平均的

就是假设我们现在站在t时刻点

那么就取xt

再往前取一个

再往前取一个

一直往前取 总共取了

N个时刻点

的样本数据

对它取做平均

这个平均值就是Mt

是t时刻的移动平均值

那么移动平均法进行预测 就是要采用

移动平均值作为预测值

意思是说

对t+1时刻的

这个变量应该怎么预测呢？

就是采用t时刻

就是我们现在站的这个时刻点的移动平均值

Mt

下面这个等式 给出来的是

这个移动平均值公式的一个变形而已

可以看到

移动平均法

相当简单

但是不是经常有效

它的有效性受限于以下两个方面

一个是时间序列的发展变化要比较平坦

趋势不明显

才能够使用移动平均法

这是为什么呢 如果

一个时间序列具备一定的增长特性的话

假设它具备增长特性的话

移动平均法不断地向旧数据取平均

就会使得预测值

或者移动平均值

比现实值

实际上会更低

第二个方面 是指

要与以往的 远期的数据

联系不多的情况

这样的系统的观测量

才能够适用于移动平均法

为什么呢？

因为在做移动平均的时候

因为在做移动平均的时候

只是在

t时刻点往前取了N个时刻点的数据来做平均

更老的数据已经没有了 全都舍弃了

这就是移动平均法

平滑预测里面第二种

叫做指数平滑法

意思是说

对时间序列的各个数据

都进行加权平均

就是说不管你是比较近的数据还是比较老的数据

都要考虑

不能是说旧数据全都不管了 全都舍弃了

所有的数据都要考虑

并且加权系数呢

是呈指数变化的

所以称它为指数平滑法

表达出来是这个式子

就是对t+1时刻的预测值

xt+1

等于

a0xt+a1xt-1加上等等等等

一直加到at-1 x1 就是老数据全都来了

Σai=1

i=0到t-1 这种方法

注重了时间序列的长期数据

对未来预测值的共同影响

而且

对于指数平滑法来说

采用加权平均

需要重视的是

近期的数据

时间越近的那些新数据

就应该让它的权值越大

时间越久远的那些老数据

它的权值就越小

因此它的权值的取法是这样的

a0取个α

aj取做α乘以(1-α)的j次方

这样的取法就能达到上面的要求

α越大

就表明

新的数据

越重视

α越小

就表示相对来说老的数据

越重视

当然它再重视也重视不到哪里去

因为它数据越老

aj就越小

它等于α乘以(1-α)的j次方

因为j越大了

我们来看看一次指数平滑

这是我们前面得到的式子

按照我们的权重取法

就会有

xt+1

实际上可以整理出来 它就等于α乘以xt

加上(1-α)乘以

xt

这个式子其实可以这样去理解它

对t+1时刻的系统的这个观测值怎么预测呢？

它其实就是拿

t时刻的

就是上一个时刻

它的真实值

和t时刻的预测值

两者之间做了一个加权平均

权重分别为α和(1-α)

从这个式子

不就可以这么理解吗？

按照这样一个公式 已经可以进行预测了

不过只能预测一期

不能预测多期

只能t+1 t+2

这样预测下去

怎么来进行多期预测呢？

我们来重新给出术语

我们把

xt+1记做St(1)

就称做为

在t时刻做的一次指数平滑值

其实

按照一次指数平滑的话

就是拿这个一次指数平滑值

t时刻的一次指数平滑值作为下一个时刻的预测值

那么上面这个公式就可以改写了

St(1)等于α乘以xt加上(1-α)乘以

上一个时刻的

一次指数平滑值

α

我们这个时候就可以把它称做为

平滑系数

这样的话

给了你一个原始的时间序列你就可以做出一个

一次指数平滑系列出来

对吧？

关键是取出

S0(1) 就是在0时刻的

一次指数平滑值作为初始值

然后这个递推公式就有了

在有了一次指数平滑序列的基础上

再对它做一次指数平滑处理

就会得到二次指数平滑序列

把它记作为

St(2)

它就等于α乘以St(1)加上(1-α)乘以

St-1(2)

其他的概念

都和一次指数平滑是平移的

就不再做解释了

利用二次指数平滑就可以进行

多步预测

可以证明

经过前面的公式整理

可以得到这样一个预测的模型

xt+T就等于at加上bt乘以T

这里面所谓的T是指预测的步长

t是指预测的起点 就是我们现在站在xt

这个时刻点上

xt

再往前的样本数据

这个时间序列里面都是有了的

要预测

t+T那个时刻点的

这个观测值的发展变化就等于

at加上bt乘以T

at和bt它的表达式在下面已经给出来了

是依赖于

一次指数平滑序列和二次指数平滑序列

只要有了原始的时间序列数据

就可以计算出一次和二次指数平滑序列

再取t时刻的一次

指数平滑值

和t时刻的二次指数平滑值

就可以

计算at和bt

然后这个预测公式就确定了

就可以进行预测了

这里面平滑系数α的实际意义

是非常重要的

其实前面我们也已经提过了

α的取值越大

也就是说它越接近于1

就表示越重视近期数据的作用

这个时候

对过程的变化反应越快

α的取值越小

就是它越接近于0

就表示越重视离现实更远的

老的历史数据的作用

但是对过程变化的反应

就越迟钝了

α的取值应该在两者之间取折中

一般的取值原则是

如果对老的数据越没把握

或者越需要反应新数据的变化

那么α就应该取得比较大

否则α就应该取得稍微小一点

一般的做法是

选择不同的α

分别去

进行指数平滑预测

然后对预测的结果进行一个评价

来判断

到底取的哪个α比较合适

对预测结果的评价

它的准则是

平均绝对误差

对这个时间序列

进行一个事后的预测

所谓的事后预测就是说x1到xt这段时间里面的

所有的时间序列的真实值都已经观测得到了

但是我依然对它去进行一个预测

就是拿

真实值和预测值

做一个差

再取绝对值 再求平均

这个就称做为平均绝对误差

MAE

MAE越小的

对应的那个α值就是预测应该取的那个

平滑系数α

根据经验

一般来说

α总是取为0.01到0.3之间

前面我们介绍了平滑预测方法

接下来我们再来介绍

趋势外推预测法

这种方法针对的是什么样的时间序列呢？

是指如果一个时间序列

具有某种长期的趋势

那么

我们可以用适当的方法来测定这个趋势

从而用合适的趋势曲线

作为外推预测的依据

这就是趋势外推预测法

事实上对于很多时间序列来说

它都是具备一定的长期趋势的

比如说 某些社会和经济系统的渐变

像GDP

等等

趋势外推预测法基于两点假设

第一个是预测对象的发展趋势是不变的

第二个是预测对象的发展过程是渐变

而不能是突变

核心问题是两个

第一个是

找到合适的趋势曲线

第二个是确定趋势曲线方程中的有关的参数

这样的话模型就确定了

就可以用来进行预测

可以用的

趋势曲线

有这样一系列

包括多项式曲线

指数曲线

和生长曲线

下面我们给出了几个图

大体地给出了在一些参数的取值方式下

这几种类型曲线的模样是什么样子

这里我们主要针对多项式曲线的

模型参数估计方法进行讲解

对于多项式曲线

主要采取最小二乘法

进行参数估计

假设有时间序列样本数据

(t1, y1) (t2, y2) 一直到(tn, yn)

而我们选取的是

多项式曲线

yt等于a0加上a1t加上...

一直到akt的k次方

这样的话就有k+1个待估计的参数

最小二乘法的思想是

要使得

误差的平方和达到最小

就是

你所确定的这个趋势方程

无论是采取什么样的

参数的取值

拟合的目标是使得误差的平方和达到最小

就是这个式子

minQ

等于min Σ(i)等于1到n

(yi-yi)2

这就是误差平方和达到最小

yi是

时间序列的真实值在i时刻点的观测

yi是

在i时刻点的

预测值

那么把它整理为矩阵形式的表达

就是

Y写为一个列矩阵

B

就是要估计的那个参数向量

k+1维的 也写为一个列矩阵

T

是写成这样一个

n行

k+1列的形式

每一列

其实是对应着

一个

待估计的参数

每一行

对应着一个样本

那么

误差平方和可以表达为这样一个

矩阵相乘的形式

Q等于

Y-TBT乘以Y-TB

那么为了使Q达到最小

就需要使得偏Q除以偏B等于0

可以证明

这个时候可以得到B

就是

对于这一系列待估计参数的估计值

B等于TT乘以T

再求逆 乘以TT乘以Y

这就是最小二乘法

但是对于一些

阶数比较低的情况

k小于等于3的时候

采用原始的最小二乘法

会归结到一个求逆矩阵的过程

手算比较麻烦

可以给出一些简便的方法

可以将趋势曲线的模型

分别乘以t

乘以t平方乃至t的立方

再对n个样本点去求和

继续令

等号成立

这样的话就可以得到联立方程组

来手工求解

比如说

在k=1的时候

预测方程就是yt=a+bt

你当然不能认为每一个样本点代到这个方程里面去

等号依然成立

但是你可以认为

把一系列的样本点代进去以后

左右都Σ求和

令它等号相等

第二个是

在上面这个预测方程的左右

分别乘以时间t

再令它Σ求和

认为等号依然成立

这样的话就会得到两个方程

可以求解得到a b

在k等于2的时候

它的情况是类似的

不再说了

可以做一个小结

时间序列分析预测

是基于惯性原理 这个我们前面介绍了

我们主要学习了两类方法

一个是平滑预测 一个是趋势外推

平滑预测里面我们介绍了移动平均和指数平滑

移动平均方法

它的适用性是

适用于发展变化比较平坦

并且与往期的

比较早的数据联系不大的那些时间序列

因为它在进行移动平均的时候

把旧的数据已经全部舍弃了

指数平滑法呢

它适用于那些趋势不明显

虽然有可能有一定的

比较小的趋势

但是趋势不明显

并且和

以往的时期的状况有一定的联系

老的数据不能完全舍弃

但是

老的数据

没有那么重要

近期的数据相对来说更加重要

适用于这种情况

在指数平滑法里面

平滑系数α的选择影响非常大

一般情况下我们都是多试几种取法

然后再去拿

MAE去判断

哪种α的选取

更加合适

趋势外推预测法呢

它是适用于

时间序列的发展有一个比较明显的趋势

并且要求趋势不能忽然发生改变

并且发展的过程中是渐变

而非突变的

那一类时间序列

一般是

按照这个时间序列的特性

选取一定的

比较适合的

趋势曲线

去做拟合

得到趋势参数

从而构造出那样一个趋势模型来

再做预测

经常做的是

也是选取

几类形状比较相似的

趋势曲线

分别去拟合

然后

再去判断平均绝对误差

看看哪个曲线

相对来说是比较合适的

工程上往往需要进行这样的处理