3.5.1 图像离散余弦变换学习视频在线视频

同学们好，我们这节课给大家介绍图像的离散余弦变换

之前我们已经学过二维离散傅立叶变换

从这个里边我们知道，由于变换核是一个虚指数的形式

所以离散傅立叶变换 它是一个复数的形式

那么这个计算过程有复数运算，运算量大不便于实时的处理

我们可以借助于虚指数和三角函数之间的关系

把F(u,v)写成实部加上虚部的形式

然后通过构造这个函数 使之变成一个偶函数

这样偶函数就不含有这个虚部

这时候得到的这个二维离散傅立叶变换就仅含有实部

实部都是余弦项

那么所形成的这个变换就称为离散余弦变换

离散余弦变换又简称为DCT变换

DCT变换又不含有复数 所以它的计算复杂度适中

又因为它是离散傅立叶变换的一种，所以它还有可分离性

因此被广泛的应用于图像数据压缩编码中

比如当前的JPEG压缩 MPEG-1 MPEG-2

这种压缩编码的国际标准中都采用了离散余弦变换的算法

那它的变换核是实数 是实的余弦的形式

因此 这个DCT的计算要比DFT的计算要简单的多

我们首先来看一维的离散余弦变换

一维离散余弦变换的这个定义是这样给出的

当这个u等于0的时候F(0）是等于根号下大N分之1

m从0到n减1 f(m）的求和

当u大于零的时候f(u）就等于根号下N分之2 m从0到N减1

f(m）cos2N分之2m加1 乘1个uπ

这地方m和u都是取从0到n-1的整数

从这个里面可以看出它的基向量或者是它的变换核

我们可以用这个集合来表示

如果u等于0的时候是根号下N分之1

如果u大于0的时候

是根号下N分之2 cos2N分之2m加1乘以uπ

那么这里边我们可以借助于之前学的余弦函数和

切比雪夫多项式的这个性质可以得到

这个变换核或者说是这个这一组向量其实是正交的

相关的知识大家可以去参考高等数学里边的内容

那有了一维离散余弦变换之后

我们给大家给出二维离散余弦变换的变换公式

二维离散余弦变换的就是将我们构造的偶函数带入到

二维的离散傅立叶变换中整理得到二维离散余弦变换公式

这个结果就是 F(uv)等于c(u)乘一个c(v)

然后是m从0到N减1 n从0到N减1的f(mn)

乘以cos 2N分之2m加1 uπ cos 2N分之 2n加1 vπ

这个求和就是离散余弦变换的正变换

那么这个式子中m n u v是取从0到N-1

前面的这个系数项c(u)和c(v)呢

都是等于当这个u等于0或者是v等于零的时候

它是等于根号下N分之1

当它们大于零的时候，是根号下N分之2

有了它的正变换 我们也可以给出它的反变换的定义

也就说，从f(uv)变换回原函数

或者是原图像f(mn)的这个变换公式

它是等f(mn)等于u从0到N减1 v从0到N减1 c(u)乘以c(v)

乘以F(uv)cos 2N分之2m加1uπ 乘以cos2N分之2n加1 vπ

这样一个求和项

那么式子中的这个m n u v同样是从0到N减1的

里边的这个c(u)和c(v)仍然是当u等于0或者v等于零的时候

是取根号下N分之1

当它们大于零的时候，取根号下N分之2

那么我们知道离散余弦变换

既然是离散傅里叶变换的一种特殊情况的话

那么它应该也可以由二维转成一维实现

就是先对这个二维的离散余弦变换

我们也可以采用分离的形式

先对行做一个一维的离散余弦变换

再对列做一个一维的离散余弦变换

或者是先对列做余弦变换，再对行做余弦变换来实现

我们之前把离散傅立叶变换写成了矩阵的表示形式

那么这时候离散余弦变换呢

我们也可以得到它的矩阵表示形式

因为它的核是可分离的

所以我们可以它的变换核分开写

并且这两个变换核其实是对称的

我们可以通过刚才的这个定义中得到

mn大家可以看一下mn其实是求和

包括这个里边的表达式都是完全一样的

所以得到的这个变换矩阵是一个对称阵

用矩阵表示之后，这个离散余弦变换的正变化就是

大F等于C的转置，c乘以f乘以C

小f 等于C的转置 乘以大F乘以C转置

这个是逆变换 这个是正变换

那么给出它们的这个矩阵形式

接下来我们看一下这个C到底等于什么呢

可以根据它的尺度N的大小去得到这个变换矩阵C

因为它的正变换逆变换 这个变换里边只有一个矩阵C

我们就可以根据我们前面的那个基函数

把这个C给构造出来

C是等于根号下n分之2，然后是一个前面的系数相

然后里边第一行是根号下二分之一

第二行是cos 2N分之π 和cos2分之3π

以及到cos2N分之2N减1 π

最后一行是cos2N分之N减1 π

cos2N分之3倍的N减1 π

以及cos2N分之2N减1 乘以N减1π

二维离散余弦变换的矩阵表示形式

接下来我们通过一个例子来看一下离散余弦变换它的作用

比如说我们给出这样一幅图像 是一个4乘4的

它的像素值是在周围的地方是1 中间是0

那这个时候对它进行离散余弦变换的时候

我们那个C矩阵的大小应该也是4乘4的

也就是这个地方是N等于4， 所以得到这个C矩阵是

根号下二分之1乘以这样一个4乘4的矩阵

那我们利用我们刚才说的那个离散余先变换的矩阵表达式

就可以计算得到它的离散余弦变换的结果

f等于C的转置乘以f乘以C

那么等于这样一个4乘4的这样一个结果

因为它是一个变换后的结果

所以它这里边的每个值代表的是幅度值

从这个结果里边可以看出

在左上角的这一部分 它的值都是比较大的

右下角的这一部分的值都是比较小的

而且如果要对这个量化的话很多地方都量化为零

这说明什么呢，说明离散余弦变换它有一个能量集中的作用

它把我们刚才这个分布比较分散的这样一个图像的能量

集中在它的左上角上

接下来我们再看第二个例子是一个实例

这是一个原始的丽娜图像

这是对这个丽娜图像做离散余弦变换之后的它的频谱图

从这个地方可以看出来，这个亮的地方在左上角

其实也是相当于它的能量集中在了左上角

那么这样的话也就说是验证了我们刚才那个例子里给的结果

就是离散余弦变换它有能量集中的作用

并且变换之后的这个能量集中在头像的左上角

那里离散余弦变换中 我们一开始说它经常用在图像压缩中

我们看一下这个图像压缩的这个结果

这是一个原始的未经压缩的图像

右边这个图是用JPEG压缩的之后的结果

大家看 在视觉上这两个是没有本质的区别的

但是实际上存储的话

这个已经比第一个原始图像要大大的降低了

好，离散余弦变换就给大家介绍到这，谢谢大家