当前课程知识点:现代图像分析 > 第五章 图像恢复 > 5.3 图像有约束最小二乘恢复 > 5.3.1 有约束最小二乘恢复学习视频
同学们好 今天我们介绍图像恢复的有约束最小二乘方法
在图像的无约束恢复方法中
退化函数的响应值是受到约束的 不能为0或者太小
为了克服这个问题我们引入了有约束最小二乘恢复方法
其基本原理是引入Q算子即f估计的线性算子
那么要使Qf的二范数最小 那么这类的最小化问题
我们可以引入拉格朗日算子来进行处理
设阿尔法为拉格朗日乘子
寻找使下面准则函数最小的f尖 也就是估计图像
那么解这个极值问题 也就是对目标函数
求f尖的偏导便使其为0 就可以得到其估计表达式
在这个式子中 伽马等于阿尔法分之一
阿尔法是上面所说到的拉格朗日乘子
适当选择这一常数使约束条件满足就能够求得最佳估计
那么不同的Q就可以得到不同的恢复方法
在这里 我们来介绍维纳滤波法
那么维纳滤波法的Q算子的设计是引入了Rf和Rn
其中Rf是原始图像f的相关矩阵,Rn是噪声n的相关矩阵
具体的表达式像这两个式子
我们设计Q为这样一个式子
这样的话 原始图像f在最小均方误差准则下的最佳复原解释
变成这样一个表达式
其中Rf可以用循环块矩阵R来表示这样两个矩阵
可以看出Ri本身是一个循环矩阵
而R的元素正是Ri,它本身也是一个循环矩阵
利用R的特征向量可以组成一个W矩阵对其进行对角化
其中对角阵A中的元素为相关矩阵Rf中的各元素的傅立叶变换
那么可以得到Rf的对角化
同理 那么噪声的相关矩阵也可以进行对角化
B中的元素为Rη中各元素的傅立叶变换
带入到刚才的恢复公式中就可以得到这样一个表达式
可以看出这个表达式还是比较复杂的
对其进行整理 就可以得到这样一个公式
那么在这里我们将理想图像和噪声图像功率谱密度
来表达矩阵a和b中的元素
由这个式子所示
那么f的频域最佳估计值就可以表达成这个样子
好,我们仔细来分析一下这样一个表达式
和无约束恢复方法相比 在分母上它是有两项来构成的
这样的话就可以避免退化函数的取值不能为0
或者很小这样一个问题
当r等于1的时候这个滤波器就是一个标准的维纳滤波器
但不能说利用上式在约束条件下就可以取得最佳估计
当r是一个可变量的时候 我们就称之为变参数维纳滤波器
如果没有噪声 也就是Sη(u,v)等于0
这个时候他就退化为逆滤波器 也就是这样一个表达式
因此 反向滤波器可以看作是维纳滤波器的特殊情况
第三点 在有噪声存在的情况下
相对于反向滤波器来说,由于维纳滤波器存在这一项
因此会对噪声的放大具有抑制作用
同时也不会在H(u,v)等于0的时候出现被0除的特殊情况
第四点 在实际应用中图像和噪声的功率谱密度经常是未知的
因此 我们可以用常数k来表示噪声和信号的功率谱密度比
如这个式子,这个式子可以使退化图像得到一定程度的恢复
但不一定是最佳恢复
在实际运用中 k可以通过已知的信噪比来获得
我们看一下维纳滤波法和反向滤波法的恢复效果的一个对比
a图是被高斯噪声污染的一个图像
b是逆滤波恢复图像 可以看到恢复效果比较差
而c是维纳滤波恢复的一个图像
那我们可以看到这个图像得到了一定的恢复
那么d e f它是为噪声方差比图a小一个数量级的
降质图像所得到的恢复结果
图像质量有一定的提高
g和i是噪声方差为小五个数量级的图像得到这样一个结果
这个效果就要好得多
下面我们来看一下,另外一种有约束恢复方法
约束最小平方滤波法
由于反向滤波器的病态性质会导致退化函数的在零值附近
它的数值有一个剧烈的变化
使得恢复后的图像产生多余的噪声和虚假边缘
而这些噪声的强弱和虚假边缘的多少
可以用图像的二阶导数来表示
这样的话我们可以通过选择合理的Q值或者Q算子
对Qf的二范数进行优化
就可以将这些噪声和虚假边缘降至最小
也就是让该二阶导数降为最小
这个方法的推导过程在这里我们不做详细介绍
请感兴趣的同学自己阅读
-1.1 图像及图像的基本概念
--1.1.2 图像及图像的基本概念作业
-1.2 数字图像处理的起源
--1.2.2 数字图像处理的起源作业
-1.3 数字图像处理的步骤和方法
--1.3.2 数字图像处理步骤和方法作业
-1.4 数字图像处理系统的组成
--1.4.2 数字图像处理系统的组成作业
-1.5 数字图像处理主要应用领域
--1.5.2 数字图像处理主要应用领域作业
-2.1 色度学基础
--2.1.3 色度学基础作业
-2.2 人的视觉特性
--2.2.1 人的视觉特性作业
-2.3 图像数字化
--2.3.2 图像数字化作业
-2.4 数字图像特点
--2.4.2 数字图像特点作业
-3.1 图像变换的基本概念
--3.1.2 图像变换的基本概念作业
-3.2 图像的几何变换
--3.2.2 图像的几何变换作业
-3.3 图像的离散傅立叶变换
--3.3.2 图像的离散傅立叶变换作业
-3.4 图像变换的一般表示形式
--3.4.2 图像变换的一般表示形式作业
-3.5 图像的离散余弦变换
--3.5.2 图像的离散余弦变换作业
-3.6 图像离散沃尔什-哈达玛变换
--3.6.2 图像离散沃尔什-哈达玛变换作业
-3.7 K-L变换
--3.7.2 K-L变换作业
-4.1 图像的对比度增强
--4.1.2 图像的对比度增强作业
-4.2 直方图修正
--4.2.3 直方图修正作业
-4.3 图像平滑
--4.3.4 图像平滑作业
-4.4 同态滤波
--4.4.2 同态滤波作业
-4.5 图像锐化
--4.5.2 图像锐化作业
-4.6 图像的彩色增强
--4.6.2 图像的彩色增强作业
-5.1 退化模型及常见退化模型
--5.1.2 退化模型及常见退化模型作业
-5.2 图像的无约束恢复
--5.2.2 图像的无约束恢复作业
-5.3 图像有约束最小二乘恢复
--5.3.2 图像有约束最小二乘恢复作业
-6.1 概述
--6.1.1 概述作业
-6.2 图像编码基本理论
--6.2.2 图像编码基本理论作业
-6.3 无损编码理论
--6.3.2 无损编码理论作业
-6.4 霍夫曼编码
--6.4.2 霍夫曼编码作业
-6.5 算数编码
--6.5.2 算数编码作业
-6.6 预测编码
--6.6.2 预测编码作业
-6.7 正交变换编码
--6.7.2 正交变换编码作业
-7.1 图像分割的定义及依据
--7.1.2 图像分割的定义及依据作业
-7.2 边缘点检测
--7.2.2 边缘点检测作业
-7.3 边缘线跟踪
--7.3.3 边缘线跟踪作业
-7.4 门限化分割
--7.4.2 门限化分割作业
-7.5 区域分割法
--7.5.2 区域分割法作业
-7.6 聚类分割法
--7.6.3 聚类分割法作业
-8.1 像素间的基本关系
--8.1.2 像素间的基本关系作业
-8.2 目标物的边界描述
--8.2.2 目标物的边界描述作业
-8.3 目标物的区域描述
--8.3.2 目标物的区域描述作业
-8.4 图像的几何特征
--8.4.2 图像的几何特征作业
-8.5 特征描述子
--8.5.4 特征描述子作业
-9.1 图像匹配
--9.1.2 图像匹配作业
-9.2 图像分类
--9.2.2 图像分类作业
-9.3 图像识别
--9.3.2 图像识别作业
-9.4 模式识别分类专题
--9.4.4 模式识别分类专题作业
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