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同学们大家好

我们已经给大家已经介绍了这门课的一些

目的和任务以及

咱们这门课要掌握的一些基本知识

这次课我们来讲具体的内容

就是从空间最简单的投影元素

点的投影来开始

因为我们这门课的研究对象是工程图样

工程图样当中这些图全都是投影图

那我们从空间最基本的投影元素

点的投影来开始讲

首先我们给大家介绍一下投影的概念

什么是投影呢

一般情况下我们狭义的投影指的是

投射线穿过物体

在选定平面上得到的阴影或者影子

在生活当中大家可能都有这样的概念

比如说白天或者晚上你在行走的时候

在地面上会有你自己的影子

这个影子就是最初意义上狭义的投影

投影它需要投射线

选定平面

但真正意义上的工程图样

它实际上已经摆脱了投射线以及平面的限制

投影面是我们自己想象出来的

而投射线可以把我们的观察物体的视线

作为投射线

那投影方法都有哪些呢

根据投射线之间的相对位置关系

我们把投影方法分成两大类

第一类叫中心投影法

就是投射线最终是汇聚于一点的

还有一种叫平行投影法

就是投射线互相平行

再根据投射线和投影面之间的位置关系

把平行投影法可以分成两大类

就是投射线互相平行

而且投射线与投影面互相倾斜的时候

我们把这种投影方法叫斜投影法

还有一种就是投射线互相平行

而且投射线与投影面垂直的这么一种投影方法

叫正投影法

中心投影法一般在建筑视图当中用的比较多

可以用来画建筑的透视图

可以表达建筑的一个效果

正投影法是用来绘制二维工程图样的一种方法

这个工程图样也就是我们本课程的研究对象

刚才我们给大家简单介绍了一下投影的概念

以及投影法的概念

那接下来我们来看一下空间最基本的元素

点的投影

我们如果不加特殊说明的话

这次课以后我们讲到的投影全都是正投影

因为我们这个工程图样

全都是用正投影法绘制出来的

所以我们只分析它的正投影

首先我们来看一下

点在一个投影面上的投影

也就是点的单面投影

如果我要得到

这个空间点A在P这个投影面的一个投影的话

我们一般是怎么得到它的投影呢

过空间点A做一条投射线

因为我们是正投影法

所以投射线和投影面是垂直关系

那这个投射线和这个P投影面的焦点

就是我们要求的空间点A的在P面上的一个投影

在P面上的一个投影

由于投射线是唯一的一条

所以线和面的焦点也只有一个

那就是空间点A

在P这个投影面的投影是唯一的

这是一一对应的

那反过来

我们想一想

如果我把空间点拿掉

能不能通过空间点在P面的投影

来得到空间点A的准确位置呢

当然是不可以的

因为如果你过b’做P面它的的垂线

在这个上面你可以找到很多点

它的投影都在b’这个点上

所以不能够保证一一对应

那如果投影和空间元素不能一一对应的话

那这个投影对我们来说意义就不太大

因为我们的工程图样

最终都是通过二维的平面投影

来得到空间的元素的准确的形状和大小

那这样的话

我们就得想办法

让空间点的投影和空间点之间

有一个一一对应关系

那解决办法是什么呢

我们可以增加一个其他位置的投影面

得到空间点在不同位置投影面的多面投影

这样的话

我就能在空间确定空间点的位置

就是通过投影来确定它的位置

那如果我们要得到空间点的多面投影的话

我们首先得建立一个投影体系

国家标准规定

投影体系把它定义成三面投影体系

投影面一共有3个

正面投影面简称V面

水平投影面称为H面

侧立投影面把它定义成W面

这三个投影面之间位置关系是两两互相垂直

三个投影面两两互相垂直相交

那就有三个投影轴H面和V面的交线是OX轴

H面与W面交线是OY轴

V面和W面的交线是OZ轴

那这样的话

我们三面投影体系

大家要注意

有三个投影轴

大家看这个投影体系的话

可能跟我们高中的解析几何

里面涉及到的三维的坐标系非常的像

但是它不是坐标轴

现在叫投影轴

我们看一下空间点

在三面投影体系当中的投影

既然现在有三个不同位置的投影面

那我要得到它的三面投影的话

就是过空间点A分别做三个投影面的垂线

过A做V面垂线得到投影呢叫a'

过A做H面的垂线得到的投影是a

过A做侧立投影面的投影得到的投影是a''

因为三个投影所以呢

我们用它的上角标

来对空间点的三面投影来进行区别

大家一定要注意

我们空间点在表示的时候

都是用大写英文字母来表示

而投影都是跟它对应的小写字母

不同的投影它的角标有点不一样

水平投影没有角标

A'这个正面投影有一撇

侧面投影有两撇

投影面的展开

我们来看一下这个图

如果空间点的三个投影我们这样来画的话

是非常麻烦的

因为你得把这个投影轴和投影面全都画出来

然后还得画这个投射线非常麻烦

为了方便起见

我们在画完投影之后

都需要把三面投影体系进行展开

就是保证V面不动

其他两个投影面分别绕两个投影轴旋转

H面绕OX轴向下旋转90度

W面绕OZ轴向右后方旋转90度

这样的话

旋转90度以后

这三个面就放在了一个面上

那这样的话

我们去画这个投影的话

就比较简单

a'、a和a''

相应的位置变成了这样的位置

大家一定要注意

展开过程当中

OX轴和OZ轴并没有改变

它的位置没有变化

改变最大的是一个OY轴

OY轴原来H面和W面是相交的

这有一个OY轴

那在旋转过程当中

Y轴分成了两部分

一部分随H面旋转

一部分随W面旋转

所以有两个Y轴

OYH轴和OYW轴

大家在做投影的时候一定要注意

Y轴的关系

有两个OY轴

接下来我们给大家介绍一下

空间点的三面投影规律

就是空间点的三个投影之间

它有什么样的关系呢

我们来给大家介绍一下

投影面展开以后

我们看到这个投影是这样的这个位置

对应的看这个图

我们看一下

a'和a它与OX轴之间的关系

在这个图当中

我们可以看到a'和az这段线的长度

和a到ay这段线的长度是相同的

那旋转完了以后

这两个面固面以后

a'ax和axa变成了一条线

原来是两条线

旋转90度以后

变成了一条线

那最后A和A'的连线和OX轴是一个垂直关系

和OX轴是一个垂直关系

这是OX轴之间的关系

也就是水平投影和正面投影之间的关系

再看一下OZ轴

OZ轴方向

OZ轴旋转过程当中并没有动

A'AZ

和a''和az

旋转完了以后变成了一条线

原来是两条线变成了一条线

那a'a''和OZ轴就是垂直的

我们再来看一下

水平投影和侧面投影之间的关系

我们看这个图

a ax都等于OAY

和ax和a''az都等于OAY这段长度

那把它展开以后我们看一下

就是A到OX轴距离

等于a''到OZ轴距离

这两段距离相等

就是空间点A到H面的距离

ax和a''

az这是空间点A到V面的距离

a'ax

a''ay都是空间点A到H面的距离

然后A

ay和a'az

是空点A到W面的距离

这是我们给大家介绍的空间点的三面投影规律

就是水平投影和正面投影连线垂直于OX轴

正面投影和侧面投影连线垂直于OZ轴

而且水平投影到OX轴的距离

等于侧面投影到OZ轴的距离

就是有两个垂直

一个距离相等

这节课我们给大家介绍了

空间点的投影

这节课就介绍到这里 谢谢大家

我们把这样的点叫特殊位置点

我们来看一下

现在在这个三面投影体系当中

我们得到了

空间点ABC的两个投影

空间ABC三个点的两个投影

那我们现在看一下

空间点ABC它都处于什么位置

而且让把空间点的另一个投影要求出来

我们看一下a撇和a两撇这两个投影的话

我们看一下

a两撇是OZ轴上

也就是a两撇到OZ轴的距离是零

那也就是

如果一个空间点距离V面的距离是零的话

那这个空间点肯定是在V面上

也就是空间点H是在V面上

那我们根据点的投影规律

它的另一个投影

a撇在哪呢

a撇肯定是在OX轴上

因为水平投影到OX轴距离

等于侧面投影到OZ轴距离

现在这个距离值是零

那就直接在投影轴上

那我们做的话

直接可以把这个投影做出来

这是空间点A的三面投影

B这个空间点也给出了两个投影

一个是b撇一个是b

我们要求它的另一个投影的话

我们这么做大家看

对不对

正面投影b撇在OX轴上

如果B撇在OX轴上的话

大家想一想

b撇距离OX轴的距离是零

空间点距离H面的距离是零

那这个空间点一定是在H面上

那我们去求这个b两撇的话

如果我这么做

大家看对不对

如果B两撇在这的话

大家注意一下

现在在这个H面当中

就有了b和b两撇这两个投影

那这样很明显是不正确的

就是一个空间点

在一个投影面当中

不可能存在两个投影

那就是B两撇肯定是有问题

这个地方

而且我们点的三面投影规律里面

水平投影距OX轴距离

等于侧面投影距离到OZ轴的距离

那现在这个是个Y轴

所以b两撇肯定是有问题

那我们看一下这个b两撇肯定是位置不对了

主要是跟这个Y轴有关系

因为我们在展开过程当中

Y轴分成了两部分

现在这个b两撇是一个侧面投影

侧面投影即使是在Y轴上的话

它应该是在YW轴上

不应该在YH轴上

这个YH轴是属于H面的

所以大家注意一下

这个肯定是不对

那我们要求的话

b两撇是在这

b撇b两撇的连线应该垂直于OZ轴

你要是连b撇和b两撇这么连的话

它和OZ轴没有垂直关系

这样的话

才符合我们讲的点的三面投影规律

再看一下c

c这个点其实更特殊

它有一个投影c撇是在投影原点上

那我们要求它的另一个投影的话

根据点的投影规律

c撇c两撇连线垂直于OZ轴

根据这个关系

然后再根据c和c撇连线垂直于OX轴

然后还有一个c到OX轴的距离

等于c两撇到OZ轴距离

根据这两个长度相等

来把c两撇求出来

相当于c两撇到OZ轴距离

等于c到OX轴距离

这是点的三面投影里面的一个距离相等关系

刚才我们给大家介绍的

这是特殊位置点的投影

我们怎么来确定它的位置

以及怎么来求它的另一个投影

接下来我们给大家介绍一下

两个空间点的相对位置关系

如果现在空间不是一个点

而是两个点的话

那这两个点之间就有一个相对位置关系

我们一般指的相对位置关系

是这两个点的上下前后和左右位置关系

这是一个相对的值

不是非常准确

大概能描述出

它的相对位置关系

我们看一下

ab这两个点

空间点a和空间b

左右位置关系和上下位置关系

我们是比较直观的

因为OX轴方向坐标值越大

越靠近左边

坐标值越小

越靠近右边

OZ轴方向高度值越大

就是上下方向

OZ轴这个坐标值越大越靠上

坐标值越小越靠下

上下和左右这个关系

我们是比较直观

而前后位置关系一定要注意

沿这个Y轴方向

坐标值大的是在前面

坐标值小的是在后面

就是这样的位置关系

我们可以根据它的坐标值来判断

就是根据XYZ三个方向的坐标值来判断

X坐标值大的是在左边

Z坐标值大的是在上面

Y坐标值大的是在前面

是这样的一个关系

接下来我们给大家介绍一下

投影和坐标之间的关系

因为我们刚才用到了坐标值的大小

那投影和坐标之间有什么样的关系呢

我们来看一下

如果空间点的三个坐标值已知

那也就是在三维的坐标系里面

这个空间点的位置是确定的

那空间点的投影如果是知道了空间点的位置的话

如果是知道了空间点的位置的话

它的三个投影也是已知的

那空间点的其中一个投影

可以确定其几个坐标值呢

我们看一下

水平投影实际上可以确定它的两个坐标值

就是X和Y坐标

正面投影可以确定它的两个坐标值 X和Z

侧面投影可以确定它的两个坐标值 Y和Z

我们可以看一下

它的这个坐标值之间都是有一定关系的

因为这三个投影是属于同一个空间点的

所以他们的坐标值之间是有关系的

水平投影a和a撇

它有一个坐标值相等

是X坐标相等

正面投影和侧面投影与Z坐标相等

而侧面投影和水平投影是Y坐标相等

这样的

那这样的话

我们看一下如果知道了空间点的两个投影的话

实际上可以确定这个空间点的三个坐标值

那可以确定

也就是对于一个空间点而言

如果我们知道了它的的两个投影的话

它的第三个投影实际上是确定的

就是知道两个投影我可以确定它的三个坐标值

那就是空间点的位置是完全确定的

这样

三个投影所确定的坐标之间有什么规律呢

刚才我们说了

就是他们之间有一个坐标值肯定是相等的

那这个本质就是我们前面刚讲过的

点的的三面投影规律

其中有一个值相等

空间点刚才我们讲了它的相对位置关系

那如果空间两个点

它处于一个比较特殊位置的话

也就是我们看一下这个图

如果空间两个点它一上一下

然后它们的某一个投影重合的话

那这两个空间点的位置就比较特殊了

我们把这两个点叫重影点

就是空间两个点在某一个投影面的投影

重合为一点时

就是投影重合的时候

我们把这两个空间点称之为

该投影面的一对重影点

就是只有两个点的时候

才有重影点这个概念

它这两个点的投影在某一个投影面上重合了

我们把这两个空间点称之为

这个投影面的一对重影点

我们可以看一下

空间点的A和C的水平投影A和C重合

所以空间点AC为H面的一对重影点

因为小于AC是水平投影

所以这两个空间点是H面的一对重影点

沿投射线方向被遮挡的点的投影不可见

AC这两个点它的水平投影重合的话

那也就是说如果我把AC这两个点连起来的话

这两个点连起来的线

正好是和H面垂直的一条线

那就是沿投射线方向去观察的话

我先看到的是上面的这个点

就是先看到了A点再看到了下面的C点

那就是A把C遮挡住了

那我们在标注它的投影的时候

一定要注意不可见的投影加一个小括号

这是这个重影点的标注

注意

它只适用于描述空间点的相对位置

一定是得有两个点

才能有重影点这个概念

一般是成对出现

重影点是相对于投影面存在的

是这样的一个意思

就是重影点它只可能在某一个投影面上投影重合

如果有两个投影面上的投影都重合的话

那这个就不是两个点了

在空间就是一个点了

完全重合了

是这样的

某一个投影面上的投影重合

其他的投影面上的投影不重合

这个时候才叫重影点

如果有两个投影面上投影重合的话

就是重合的点

就是一个点了

不是两个点

三 重影点的重合投影必须判断其可见性

因为它有一个互相遮挡

所以把可见的投影正常画出来

不可见投影加一个小括号来表示

这次课我们给大家介绍了

空间点的投影以及空间点的相对位置关系

这次课就介绍到这里

谢谢大家