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同学们

这节我们来学习平面与平面立体相交

平面与立体相交产生截交线

先看一下

什么是截交

截交就是

平面与立体相交后将立体的一部分截去

这有一个棱柱

然后我们用一个平面把它给切掉一部分

这就叫截交

先看一下截平面

截平面就是用以截切物体的平面

就是说就这个面

第二 截交线

截交线是截平面以立体表面的交线

例如这种线

与立体表面的交线叫截交线

我们这堂课主要的学习任务就是学习

截交线的画法

这里原来是个四棱锥

用一个面把它给切掉以后

产生的红色的部分是截交线

下面我们来解释一下截交线的性质

第一 截交线既在我们这个蓝色的截平面上

也在立体的表面上

是截平面与立体表面的共有线

第二 平面立体的截交线的形状

注意我们因为是平面立体

所以截交线都是直线

是由直线段围成的平面多边形

有的是三角形 四边形 五边形等

而我们这个多边形的顶点

正好是我们这个立体这个棱

以截平面的交点

我们多边形这个边

正好是我们这个截平面与立体表面的交线

这在我们画图中非常有用

下面来举个例子

四棱锥被正垂面P切割以后

求其截切后的投影

我们这原来是一个四棱锥

四棱锥顶点是S

正面投影

水平投影

侧面投影

四棱锥有四条棱

我们主要先看正面投影

这地方是一条棱

这虽然是一条直线但是在空间是两条棱

前面一个棱后面一个棱这个位置是一条棱

特别我们一个截平面

就是正垂面这个红色的线给切掉了顶部部分

空间分析

现在想

我们这个红色的截平面

切掉了我们这个棱锥的几个棱面

因为我们这个稍微简单一点

这个红色的截平线一下子从前往后

全部给切掉了

所以说它切掉了四棱锥的四个棱面

也就是说每个棱面都切掉了

我们接下来分析

这个截交线是什么形状

因为我们截平面以四棱锥的四个棱面都截切了

所以产生了四条截交线

而我们这几个截交线又是完全截掉的

所以正好构成了一个封闭的四边形

空间是四边形

因为我们这个截交线组成的四边形

是在我们的截平面上

截平面的正面投影正好是这条线

所以我四边形的正面投影就是红色的这条线

四边形有四个顶点

我们来确定一下四个顶点

这个地方是一个顶点

为什么这个地方是一个顶点呢

因为我们刚才讲了

多边形的顶点正好在我们这个棱锥的棱上

这个地方是一个棱

顶点1

这个地方是一个棱

顶点3

注意这虽然是一条线但是前后两个棱

所以是顶点2还有4

我们确定四个顶点以后

开始求它的水平投影和侧面投影

这次我们就利用

我们要来讲的

长对正 高平齐 宽相等

开始求截交线

高平齐

注意这个棱的侧面投影在正中间1

水平投影也在中间

2 4注意2 4是两个顶点

高平齐在四棱锥的最前面最后面的棱上

2还有4

水平投影我们长对正下来以后

这个位置好像看不见

不是随意的

我们利用宽相等这样

中间往前中间往后

中间往前距离相等的

这个距离是2

中间往后对应的是4

3我们也是长对正

在中间3

高平齐的中间也3侧面投影

四个顶点求完以后

我们把它进行连接

这是水平投影

这是侧面投影

到现在为止

我们把截交线的水平投影侧面投影画完了

但是我们求的是截切后的投影

也就是说

把我们上面的顶部切完以后

画这部分的投影

我们在截交线画完以后

还要补全四棱锥棱线的投影

这个什么意思呢

我们四棱锥的底面没有动

在原题中已经给画好了

但是四棱锥还有四个棱

我们四个棱在截切的时候

上边被切掉了

下面没有切掉

所以说我们还要补全棱线的投影

具体补哪呢

我们有一个方法

在本题中正面投影是已知的

我们通过这来推

这个一个棱

1到顶点S之间被切掉了

那我们对应的水平投影中

1到顶点S之间就不要再画了

那就1到底边

这边给画上

侧面投影相同1到S之间不要画了

我们把下面给画上

接着看这个3

3也是

3到S之间我这就不能画了

因为已经被切掉了

侧面投影小心一点

3从左往右看

应该是看不见的

我们用虚线

可是在这部分

3的这部分

正好被这个棱给挡住了

这是实线

所以我们上这个是虚线

现在看2 4

2 4是2到S

4到S这段给切掉了

水平投影是2到S

4到S

这段是没有棱的了

我们把这两边给描上

同理侧面投影也是

2到S之间不描了

4到S之间不描了

把这给你描绘上

这就是四棱锥被正垂面P切截后的投影图

下面我们再练习一个比较复杂一点的

五棱锥被两个截平面截切后的侧面投影

这里原来是一个树立的五棱柱

它被一个正垂面还有一个侧平面

把左上部分给切掉了

现在我们画它的截切后的侧面投影

它包括截交线还有五棱柱没有切掉的部分

空间分析

想想啊

这些截平面一体的几个棱面相交了

先看这个这个正垂面切完以后

与五棱柱的你看位置没

看一下前面一个面 两个面

后面三个 四个

最左的还有一个面

这个正垂面与五棱柱的五个面相截切了

但是还有一个比较难一点的

注意这个面还没有都切掉

只切了这个面的一部分

还有与五个面截切

肯定产生了五条截交线

这是一个侧平面

侧平面从上往下一切

它首先把五棱柱的上底面给切了

然后切它的两个侧棱面

它以三个面相交产生了三条截交线

然后我们进行这个投影分析

我们先分析这个红色的截平面

红色的截平面我们刚才说了

与五个侧棱面相截切

产生了五条截交线

可是五条截交线在哪呢

我先标上一个1 2 3 4 5 6

为啥这么标呢注意啊

五棱柱有一个特殊性

竖立五棱柱

这个五棱柱的五个侧面德水平投影

就是我们水平投影这个外边的完整的五边形

我们的截交线既在截平面上

又在五棱柱的表面上现在我们只想

现在 我们只想

因为截交线在五棱柱的表面上

所以截交线水平投影就应该在这五边形上

但是我们不能取全部

因为我们这个截平面只切到了这部分

再往后没有切

所以因为我们截平面只切到了这部分

再往右没有切

所以我们切完以后

只要了1 2 3 4 5 6

剩下这个三角形就不要了

这产生了五条截交线

在这还有一个和原来有点区别就是

五条截交线

可是我们一看

1 2 3 4 5

这不是6条边吗

5条截交线怎么会6条边呢

注意我们截交线的定义是以立体表面的交线

1 3是这个面的

3 5是这个面的

6 4是后面的

4 2还有2 1是左面的

5 6是从五棱柱里面穿过去的

水平投影确定以后

我们来画正面投影

正面投影我们来对一下投影啊

1 2长对正是1 2

3 4这是5 6

到这步我们就简单了

已知截交线的正面投影

水平投影求它的侧面投影

我们就利用我们所学的

长对正 高平齐 宽相等

求截交线高平齐

那1 2在什么位置呢

用宽相等这样

中间往前是1

中间往后是2

1 2 3 4同理

高平齐注意3 4在宽相等

比1 2要靠外了

用圆规量一下

3往后是4

然后5 6同理也是高平齐 宽相等5 6

6点求完以后

我们怎么连线啊

比方说想1 6连不连

1 5连不连

如果不好确定呢

我们可以通过

因为我们水平投影已经确定了

通过这来判断

看着啊

2和1连 1和3连 3和5

因为我们刚才讲了

5 6不算截交线

就不要连了

6和4 4和2 2和1

2和1连

1和3连

3和5连

5 6暂时不连

6和4连

4和2连

这样我们画了红色的截平面产生了截交线

这还有一个蓝色的

这个就简单一点了

竖着一切

它首先这个侧棱面产生一个交线

这个交线是竖直的

过前面的这个面相交是过5点

竖直产生一条线

下面是5

上面端点是7

7在5的正上方

这是从上往下看

7把5给挡住了

后面这个面

也产生了一条线竖直的

6的上面是8

8在6的正上方

从上往下看

8把6给挡住了

7跟8的正面投影就是这个点

注意现在我们画出了

这个截平面与五棱柱前后两个棱面的截交线

它跟上一面切完以后产生了一条横线再给连上

这样我们画完了两个截平面的截交线

现在还没画完

因为我们是两个截平面

比我们上头这个多了一下

两个截平面在这个转弯处这个点有一条交线

我们要求两截平面的交线

这个交线就是5 6两点之间

产生了一个正垂线

把这个给连上

这个画完以后

我们开始要补全投影

我们把切掉的画完了

还有五棱柱原来那些投影没有被切掉的

那我们怎么补呢

五棱柱包括下底面

上底面

五个棱

我们先一步一步来

还通过已知的

正面投影已知补侧面投影

怎么办呢

一看下底面完全没有弄高平齐

那就是还画一条线

线的长度应该是3到4这么长

再看

上底面高平齐

是不是还画这么长呢

注意啊

上底面把左面给切掉了

上底面不是五边形

上底面应该是这个小三角形

从左往右看

投影线就应该画到这么长

我这已经有线了

就不要再画了

下底面上底面画完了

还有五个棱

这五个棱怎么找呢

还通过已知来对应

注意这个地方是1 2两个棱

从这点往上就没有了

你看我这个图啊

1 2往上没有了

那我们就往下画

这是3 4两个棱往上没有了

看这 3往上没有了

我们就往下画

现在千万注意啊

这个5 6不是我们五棱柱的棱

那五棱柱五个棱我只画了4个

这个棱在这呢

五棱柱的棱我们称为9

这个棱从左往右看应该在正中间

而且这个棱还有一个问题就是从左往右看

它应该是看不见的

可是原题这先给了一个点划线

我们在图中

在画图的时候经常有这么一个规定

有点划线又有虚线

我们就不画点划线了

我们给画上虚线

这就是五棱柱被截切后的立体图

这堂课就讲到这里

谢谢大家