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同学们

这节课我们来学习

平面与圆柱体相交

我们首先来学一下

圆柱面上的曲线

这是一个水平横放的圆柱体

在它的表面上有一条曲线

从前往后看正面投影是直线a’e’

我们注意它是曲线

我们想确定这条曲线的水平投影

因为是曲线我们强调一下

曲线的时候

我们要求出所有的特殊点

什么是特殊点呢

就是以中心轴线和轮廓素线相交的点

我们来说一下

这个中间的点划线

我们管它叫中心轴线

C’点就是

我们线以中心轴线的交点 特殊点

这条线是最上面的轮廓线

就是我们所说的轮廓素线

所以 A’也是特殊点

曲线必须要求出特殊点

这个圆柱还有一个特殊性

因为我们这个都是水平横放

只要是在圆柱表面上

任何东西从左往右看投影都在这个圆周上

这叫集聚性

打个比方说

我们在圆柱表面上画一圈龙

从左往右看投影还是圆就是这个意思

所以说这个曲线的侧面投影

肯定在圆周上

我们现在主要确定它的的水平投影

水平投影用长对正

a点对下来以后

注意对于上面的轮廓线

从上往下看

在这个点划线上

a可见

c特殊点从上往下看 长对正

注意这面是正中间

其实它代表是圆柱体的最前面

在这条线上可见了

我们看这个e点在圆柱上不是特殊点

因为它不在轮廓素线

也不在中心轴线

但是对曲线来说 它的端点

我们求一下 长对正

可是e点不在这个点划线

也不在轮廓线上怎么办呢

先用高平齐

e点的侧面投影肯定在圆周上

就在这

这个以后 这面怎么办

我们利用宽相等

就是这段距离 中间往前 中间往前

就在这里

这个点对应就是e点的水平投影

为啥是不可见的呢

因为e点在圆柱体的下半面

这样画以后

强调一下

我们这个曲线

和我们刚才讲的平面立体平面多边形

有一个区别

要是直 平面多边形都是直线

我们可以这么一连就行了

强调一下 a c特殊点

e点是端点

光靠这三点画曲线是不准确的

打个比方说 曲线就是歪的

直的可以这么一下 答案唯一的

曲的我可以这么歪

有人说我这么歪

有人说我这样歪

这不都是曲的

可是答案是不一的

那怎么办呢

我们求一般点来一下

我这列好了一般b 一般点d

b对下来以后 注意不在这

c的位置才在这 怎么办呢

我们和e点的方法是一样的

先来把高平齐

b点的侧面投影在圆周上

然后再来把宽相等

这是中间往前

这也是中间往前

注意b点的水平投影是可见的

它和e点有区别

因为b点在圆柱体的上半面

然后我们再来把d

d点和b的方法是一样的

长对正 找不到具体位置

高平齐在圆周上 然后把宽相等

中间往前 中间往前

注意d点的水平投影还是不可见的

因为它在圆柱的下半面

这找完点以后

我们就要开始连接了

连接的时候

a跟b b跟c c跟d d跟e

就按这个顺序连

可是连的时候我们还要先思考一下

判别一下可见性

因为有时候是看见的

有时候是看不见的

有时候一段看见 一段看不见

那怎么判别呢

我们这来分

圆柱的上半面

从上往下看都是可见的

圆柱的下半面

从上往下看是不可见的

上半面就a b c

就是从a到b到c

注意是曲线 要光滑连接 看得着的

c d e是看不见的

看不见的我们用虚线给连过来

曲线要找它的特殊点还有一般点

现在我们开始学一下圆柱的截交线

平面跟圆柱相交时

根据平面圆柱轴线的相对位置不同

截交线有三种情况

圆

我们用一个水平面横着一切竖立圆柱

切出来这个截交线是 圆

矩形

用一个竖立的截交线这么一切

切完以后切出来的截交线是 矩形

横的竖的再来一个斜的一切

切出来的截交线是椭圆

就是我们再举个例子

这是我们斜着截切产生的椭圆

比较完整 这个好看一点

这个就看着有点

这个也是斜着一切

注意我们这边没圆柱了

这个我们管它叫椭圆的一部分

经常用到

看这个 我们刚才说了

横着一切 截交线是圆

可是我没都切掉

这是圆的一部分

竖着一切是长方形

没切到底

这是长方形的一部分

我们经常用到

切到底是最简单的

经常是没有完全切掉

我们先看一个简单的

一个水平横放的圆柱

斜着给切一下都切掉了

这就是它的左势图

我们继续分析

我们这个截平面是正垂面

注意 截交线在侧面投影是圆 为啥呢

因为我们的截交线在圆柱的表面上

只要在圆柱的表面上

对于水平横放圆柱来说

从左往右看投影就是圆

注意 这面投影是圆

但是从上往下看

投影是椭圆

椭圆我们要先求交线上的特殊点

什么特殊点

因为椭圆有长轴 短轴

我们求这个长短轴的特殊点

比方说 1点

其实就是这个位置 长轴

正面投影 侧面投影水平投影我们就

长对正 在正中间

这还有一个8

跟1的道理是一样的 正中间

这个长轴切完以后注意还有短轴

是1 8

短轴啊

正面投影应该在这个位置

4 5 它的水平投影

我们就长对正

应该在圆的最前面 最后面

侧面投影在圆柱的圆的这两个位置

最前最后

在轴的地方就是这个地方 4还有5

这是截交线的特殊点

因为是曲线

我们还要求

若干个一般点

一般点就是在两个特殊点的中间

我们再来一个点

比方说我这是2 3

高平齐在圆周上

然后宽相等

我这次又用了另外一种方法

这是过两个点画线交点

画了一个45度线

直接对过来的

长对正

交点2 3

在轴的上面就这两个位置

然后我们在这两个点中间

再来一个投影点 6 7

在圆周上水平投影就这样一对下来

就是这是6还有7

在轴侧图上就是6还有7

我们找完点以后

我们要光滑顺次连接各点

注意因为是曲线 用手勾的光滑一些

不要勾出直线来

注意这个面从上往下看都是可见的

所以我们用粗实线

这个椭圆是我们截交线的水平投影

我们圆柱被截切后的水平投影

除了这个椭圆以外还有圆柱

轮廓线那些没有被切掉的

要整理轮廓线

圆柱的水平投影应该是一个长方形

一定注意从这往左就切掉了

这是轮廓线 4还有5

所以水平投4 5往左就不要画了

往右画

圆柱的右端面圆是完整的

所以这条线也是完整的

整理轮廓线

注意容易出错的地方

对应8这点

没有一条粗实线

8这点就是一个点 不是直线

下面我们来看一下

截平面与圆柱轴线倾角β

在改变的时候

水平投影椭圆的变化

截交线的H投影为椭圆

注意椭圆的长短轴

所以β是变化的

最特殊的这 到45的时候

虽然我们说空间是椭圆

但投影是圆

再变的时候 空间是椭圆

投影也是椭圆

但是长短轴变了

竖的是长轴

横的是短轴

我们举这个例子

是想告诉大家

注意一个事情

截平面与圆柱轴线成45度的时候

投影是圆

为什么是圆呢

课下可以好好的证明一下

下面我们再举一个复杂一点的例子

完成圆柱体被截切后的侧面投影

分析是用什么样的平面截切的立体

我原来是一个竖立的圆柱

上面这 这有一个水平面

两个侧平面把圆柱体中间

给挖掉了一个槽

这是一个水平面 一个侧平面

把圆柱体左面挖一个角

注意这个图左右是对称的

右边也挖掉一个角

然后截交线是什么形状

我们讲了如果竖着一切

切圆柱产生的截交线是长方形

横着一切产生的截交线是圆

现在我们画一下截交线

就是宽相等

我们仍然采用比较省事的一种方法

延长这个线和这个线的交点

做一个45度线

我们先高平齐过来

接着我们做宽相等 这样

过这个交点竖着

过这个交点竖着 这两条竖线

竖直切圆柱

产生的截交线是长方形

注意我们当时说的是

从上一直切到下是长方形

如果我们只切到这部分

那个长方形高平齐过来以后

就不能都画了

因为我们没切到最上面

只切到了长方形的这部分 截交线

然后 红色的是什么形状

红色的就不是长方形了

我说过整个切掉的是截交线是圆

我们只切到这应该是圆的一部分

对下来以后

这段圆弧

这段圆弧从左往右看投影是一条直线

但是不能画到投影外面

只这两之间的距离就行了

接着看 上面

竖着一切仍然是长方形

我先高平齐

不能画到最下面了

这个长方形两边是实的

这为啥是虚线呢

因为切线里面产生的截交线在里边

从左往右看是看不见的

不往下画了

因为下面没有切

看我们水平面

红色的它一切是什么形状的

从头到尾切掉应该是我们这个整个的圆周

只切这一部分

让我们这个圆周这一部分就行了

只这一部分

前面 后面所以说往这

后面深一点 前面也深一点

我们还要有一个问题要检查一下

和我们刚才一样

两个截平面在这个位置有一个交线

这个交线长度是这么长

我这有粗实线就不要画了

这是为啥有一个虚线呢

我们先把它切掉 再想一下

这个虚线就是这两个截平面产生的交线

这个交线从圆柱的前面穿到后面

从左往右看是虚的

这些画完以后

我们要整理轮廓线

哪些轮廓线被切掉了

哪些轮廓线还在

这是啥意思呢

我们不能简单的

把圆柱侧面投影就画一个长方形

那样应该是有问题的

但是我们可以先画上后擦也行

宽相等

圆柱侧面投影是这么一个长方形

长方形画完以后

要注意哪些被切掉了

怎么想呢

圆柱的长方形

我们可以认为是下底面上底面

还有轮廓线

先看下底面

下底面不是完整的圆周

因为两边被切掉了

只剩中间这部分了

中间这部分从左往右看

投影的长度没有变这条线

所以就不用它了

上底面呢 上底面也不是完整的圆周

是中间没了

只剩两边这一部分了

它从左往右看

投影是直线

但是直线变化短了

这小点应该是没有了

说这段用不用也擦掉呢

这段是圆柱的轮廓线

这个轮廓线最前面

这个轮廓线最后面

正面投影在正中间

一看 中间上面已经给切掉了

所以说总结一下

这个图就是把这个竖线切掉了

横线也切了

前后是对称的

下面还是存在的

然后这就是我们刚才这个题的轴侧图

注意 这个棱从左往右看是虚的

这个有一段圆弧从左往右看这段是实的

前后是对称的

这题比较难

课下大家好好练习一下

这节课就讲到这里

谢谢大家