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同学们

大家好

上次课我们给大家介绍了点的投影

以及直线的投影

那如果现在空间有一个点

同时也有一条直线

那这个点和空间直线之间有什么样的相对位置关系呢

我们这次课就给大家来介绍一下

点与直线之间的相对位置关系

只有两种可能

要么是空间直线在空间直线上

就像b

要么空间点不在空间直线上

只有两种可能

那么如果空间点在空间直线上

则空间点的三面投影

必然位于直线的同面投影上

这是肯定必须有这样的投影关系

那如果反过来

如果空间点的三面投影

都在空间直线的同面投影上

那也是成立的

就是空间点肯定在空间直线上的

但是必须保证三面投影都有从属关系

空间点和空间直线的从属关系

实际上与他们的同面投影

之间的从属关系是对应的

下来我们看一下定比关系

就是如果空间点在空间直线上

那这个空间点

就把空间的这条直线段分成了两段

空间点把空间直线分成这两段

长度之比等于他们对应的投影长度之比

我们简单看一下空间直线a、b的单面投影

就是在H面的水平投影

我们简单看一下图

如果空间点C在空间直线A、B上

那空间点C就把A、B分成这两段

B、C和C、A这两段

那对应的在水平投影上

空间点C的水平投影

就把空间直线A、B的水平投影分成两段

小b、c和小c、a

如果我们把投射线画出来的话

我们去看一下

这样的话

空间直线段的这两段和投影的这两段线

是在一个直角三角形的两条边当中

空间直线段的长度之比

等于投影长度之比

我们简单推导一下的话

这里面会涉及到

空间直线段和投影面的倾角α、β、γ

bc比ca实际上等于

空间直线段的长度乘以夹角

就是空间直线面和H的倾角α的余弦值

乘起来就是bc的值

这两段线是相等的

这个是一个直角三角形

因为投射线是垂直于投影面的

这是一个小直角三角形

那同样道理

ca就等于大CA乘COSAα

这也是另一段线当中也存在这样的关系

这样的话

那一比就把α这个角给消掉了

水平投影长度之比

就等于空间直线段的长度之比

同样的道理如果是针对不同的投影面

如果不是H面是V面

或者W面的话依然有这样的性质

因此我们得到这样一个等式

就是空间点把空间直线段

分成两段长度之比

等于他们对应的空间点的投影

把空间直线的投影分成两段长度之比

三面投影都具有这样的性质

都是相等的

我们把这样的性质也叫定比性

也就是点在直线上

分割而成的两端直线段长度之比

等于其投影长度之比

我们简单来看一个例子

在空间有这样一条直线

它的H面投影和正面投影都知道了

我们看一下这条线

在两面投影体系里面可以得到

它的空间直线ab的两个投影

现在b’和a’和ab两条线比较特殊

它是垂直于OX轴的

像具有这样投影特性的

空间直线是什么位置线呢

根据我们刚才给大家介绍的

直线的投影特性

我们可以来简单分析一下

a’b’ ab垂直于OX轴

那也就是说这条空间直线上

任意一个点的X坐标值是相等的

那体现在空间就是这条空间直线

距离W面的距离

是固定的

是一个确定的值

那也就是空间直线和W面是平行关系

那这条空间直线

就是一条侧平线

由于侧平线侧面投影具有真实性

而正面投影和水平投影没有真实性

所以没有侧面投影的话

实际上对我们做题是不利的

所以我们做题的时候

可以把正面投影做出来

把a’’ b’’投影做出来

但是这样的话就比较麻烦

我们完全可以不做侧面投影

来求一下空间点c

如果它在空间直线段ab上

c’的投影就是把

空间点c正面的投影可以求出来

那么怎么来做

实际上就是根据我们刚才讲过的

如果空间点位于直线上

那空间点把空间直线分成两段长度之比

和他们的投影长度之比是有一个定比关系

就是我们所说的定比性

我们来利用定比性做这个题

定比性做法实际上非常灵活

就是我们需要把这两个投影

长度都放到一个三角形里面去

然后把定比关系做出来

比如说现在呢

水平投影C和空间直线AB的投影都有了

那我们可以得到AC比CB

那这个长度我们做的时候

有一部分同学想到

把AC和CB的长度去测量一下

然后用数学公式计算一个比例

然后再反着求出来

然后在a’b’上把c’求出来

这样是不允许的

因为咱们工程制图课

都是用图示的方法来表示的

不能用数学方法去求

因为你反复求它的比例的话

中间的误差是比较大的

因为它有可能不是一个整数

那我们做的时候就是用作图的方法来表示

为了做这个比例我们有很多种做法

可能通过ab或者a’b’这四个点当中

任意一个点

做一条射线

把这个射线做出来以后呢

根据它的长度我们把它放到三角形里面去

然后做这个比例

比如说我们把ab

把它的这个长度

把水平投影长度截取过来

然后我过b’可以做任意一个方向的射线

就是这个方向是不固定的

你可以做任意一条射线

这个方向不是固定的

我需要在你做的这条射线上

截取ab的长度

然后把a’和你截取完长度之后的这个点

相对于把ab长度平行到这

放到这来

截取完这个长度以后

这就是一个三角形

有了一个底边一个三角形的底边

然后我再截取另一段的长度

如果我截取的是bc的话

大家一定注意

截取bc的话这个长度在线上截取的时候

一定要注意它的起点应该是一致的

如果是bc的长度

一定从b’这个位置来截取 来量取

如果从另一个点去截取的话

你得到的比例正好是

和下面比例相反的比例

一定要注意从同一个起点来截取它的长度

那这样的话我们就相当于把这条线

给它移到这来了

就是相对把这三个点的位置移到这来了

然后我做底边的平行线

这样的话就可以得到c’这个点正面投影

这样的话我们能够保证长度之比相等

就是b’c’比上c’a’

等于bc比上ca

就是bc比上ca

相当于是移到这去

是这样一个关系

这就是我们用定比性去求点的投影

得到这样一个结果

这个结果我们是利用了三角形里面

它和底边平行的一条线

把三角形的两条边分成长度之比相等的

利用这个性质

就是把定比性放到一个图形里面来表示

接下来我们看一下另一道例题

就是如果知道空间点在空间直线上

而且给定了具体的比例的话

我们怎么来求空间点的两个投影

我们看一下这是空间点AB的两个投影

水平投影和正面投影

如果现在告诉你空间点C属于空间直线AB

而且C把AB分成两段

长度之比是AC比CB等于2比1

那这样的话我们就要需要

做一个比例等于2比1的这么一段长度

它的做法和刚才有点类似

刚才我们讲的那道题它的比例不是固定的

它给定了长度我们自己需要把比例做出来

但是现在它给定的比例之后

实际上这个题做起来比较简单的

我们可以通过AB或者A’B’

这4个端点当中的任意一个点

来做一条射线这个射线的方向

可以自己随意来做

然后在你做出来的这条射线上

截取三段单位长度

就是截取三段相等的长度

这个做法就比较多了

你可以用带刻度的尺

在这条线上截取比如说5毫米一段

10毫米一段20毫米一段都可以

只需要保持这三段线的长度相等就可以了

或者拿圆规随便确定一个长度

截取三段可以得到三个点

这样的话如果三个段相等的话

可以得出来一个准确的2比1的比例

这是我们自己要做的一个准确的比例

然后把这个第三个点和你做的线的另一个端点相连

然后得到一条线

然后再做这条底边这条线的平行线

我们一定要注意这个比例是2比1

就是投影的长度AC比CB是2比1

就是AC这段长CB这段短

一定注意这个

而且平行线

大家在做的时候为了准确起见

平行线在做的时候应该是把两个三角板

把三角板的尺子拼在一起之后平移

得到这个平行线这样是比较准确的

得到空间点C的水平投影之后

我们可以直接来求C’这个点

可能有些同学觉得

我既然这么做

我上面也可以做一个2比1的比例

是不是也可以把C’求出来呢

当然是可以的 但是

如果你作图有误差的话

很容易让空间点C不符合点的三面投影规律

就是C和C’连线不垂直于OX轴

所以我们建议大家用更简单的方法来做

就是根据点的投影规律

因为C和C’是同一个空间点的两个投影

而且C’应该在A’B’上

那我就是过C直接做OX轴的垂线

然后和A’B’的交点就是C’点

这样来做出来的投影是非常准确的

如果你再做一个2比1

就可能偏离C’两侧

这样的话就不符合点的三面投影规律了

这次课我们给大家介绍了

空间点和空直线的相对位置关系

这次课就讲到这里

谢谢大家