当前课程知识点：光学工程基础 > 下篇：物理光学—— 光波的标量衍射理论 > 3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类 > 3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
大家好
今天我们继续讲
光的标量衍射理论
上次课我们讲了
惠更斯-菲涅尔原理
对衍射现象的解释
得出它的两个缺陷
第一，就是没有基本的理论支撑
第二，没有给出倾斜因子K(θ)的
具体表达式
今天我们要讲
菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式
它克服了惠更斯菲涅尔原理的
两个缺陷
基尔霍夫利用波动方程
结合数学上的格林定理
提出了基尔霍夫衍射积分定理
基尔霍夫衍射积分定理
是这样说的
波源在某一衍射场点P
引起的波动
取决于包围P点的
封闭曲面上各个部分
在该点引起的波动的叠加
这是有理论基础的
是数学上的格林定理
给出了它的理论基础
这就是次波叠加的理论基础
我们大家都知道
解波动方程的时候
需要用到边值条件
基尔霍夫提出的边值条件有两条
第一，在开孔面上复振幅分布
由入射波决定
这句话什么意思呢
就是说入射波到达你孔径面的时候
不受你孔径面在与不在的影响
它原来的表达式是什么
到达你孔径面上就是什么
所以孔径面上的复振幅
由入射波的复振幅决定
第二，在屏的不透明部分
也就是一个屏
它的不透明的部分
其复振幅为0
这是两个假设
有了这两个假设
惠更斯-基尔霍夫
就推导出来了
基尔霍夫衍射积分公式
就是这个公式EP
现在我们说一下
它引入的两个方向角nr和nl
这两个角度是这个图上画出的
一个是蓝线给出的这个(n,r)
这个角度一个是(n,l)这个角度
有了这个角度之后
它就得到了我们前面说的
倾斜因子K(θ)的具体表达式
K(θ)就等于这里的二分之cos(n,r)
减cos(n,l)
子波的复振幅与这个K(θ)
是成正比的
是与波长成反比的
由这个基尔霍夫衍射积分公式
我们可以看出来
如果令前面的iλ分之一
等于一个常数C
令里面的小l分之e的ikl
这个球面波为EQ
EQ就是孔径面上的分布
我们可以知道它的表达式
与惠更斯菲涅尔原理的表达式
就是完全一样的
这里还需要指出这个小l
这个球面波和前面我们惠更斯
给出那个大R这个球面波
在这个孔径面上
是有略微的差别的
因为这个大R是这个球面的半径
它当在 S和P连线的上的时候
这个大R和这个小l是相等的
而在其他位置轴外的时候
l和大R之间
就是这个弧面和这个平面之间
它有一个微小的差
这是我们需要注意的
菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式
它给出我们三个结论
第一，P点的复振幅分布
是∑波面上无穷多个虚设的
球面次波在该点复振幅的叠加
这实际上是继承了前面
惠更斯原理假设的结论
就是EP P点的复振幅分布
是正比于孔径面上各点的
复振幅分布EQ的
第二，它前面有一个系数i分之一
它代表了子波振动相位
和入射波相位之间的一个
二分之π的相位跃变
第三，它给出了这个K(θ)的
确切表达式
它表明次波的复振幅与K(θ)
θ是衍射方向
与衍射方向是有关的
就是复振幅分布
与衍射方向相关
就是说不同的方向
这个复振幅是不一样的
如果波面的曲率半径足够大
也就是我们前面说那个球面波
到达孔径面的时候
它的曲率半径r足够大的时候
我们刚才说的大R跟小l的区别
就可以忽略不计了
所以我们可以得到这个
里面的原来表达式中的这个球面波
小l分之ikl
可以用这个严格的球面波
大R分之ikR来代替
当光源置于轴上无穷远处的时候
也就是光正入射的时候
n和l的夹角
所以它是180度
所以应该等于负1
cos180度应该等于负1
另一个角度
n和r n和r的夹角
可以和我们前面说的这个衍射角
是对顶角
所以可以用θ来代替
用θ来代替之后
我们的倾斜因子K(θ)
就变成了二分之一倍的
1加cosθ
这样一来我们可以把
菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式
简化成下面这样一种表达式
基尔霍夫衍射理论
是光的标量衍射理论
为什么叫标量衍射理论呢
因为他只考虑了电磁场的
一个横向分量的的复振幅分布
并且假设任何别的分量
可以用同样的方法独立的处理
而实际上我们知道
电磁场各个场分量之间
是通过麦克斯韦方程互相联系的
它是 不是独立的
这是它的一个不完善的地方
但是实验研究表明
只要衍射孔径大于大于波长
波长是多少
一般是几百纳米
可见波波长
所以一个孔径跟几百纳米相比
大于大于这个条件
是非常容易满足的
另外一个条件就是观察点距离
不要离孔径面太近
孔径不要太大
观察的时候不要离孔径面太近
这两个条件只要满足的话
光的标量衍射理论
就可以得到相当满意的结果
也就是说光的标量衍射理论
可以解决大部分的衍射问题
不能满足这两个条件的情况
就必须用矢量衍射理论来处理
下面我们来看基尔霍夫近似下
衍射的分类
这是我们考虑衍射的一个模型
前面的孔径面
我们建立一个坐标系x1，y1
在观察面上
我们同样建立一个
跟它平行的坐标系x，y
它俩之间的距离是z1
当平面波正入射的时候
就像这幅图画的一样
平面波正入射的时候
我们可以用
基尔霍夫衍射积分公式
得到EP就是观察面上一点P
它的表达式应该等于
λ分之负i
乘以这个积分
积分里头是EQ
EQ是孔径面上Q点的复振幅
然后乘以这个倾斜因子
二分之一 1加cosθ
再乘以这个次波
r分之e的ikr
这是孔径面上任意一点
发出的次波
然后对这三个因子乘积积分
就得到了P点的复振幅分布
我们下来对这个公式进行近似
首先进行傍轴近似
傍轴就是离轴比较近的
所以傍轴近似就是
忽略r的变化对复振幅的影响
小r的变化对复振幅的影响忽略
这个条件什么时候成立呢
就是x和x1的坐标差的平方
小于小于z1的平方
就是它的横向的差
小于小于纵向的距离
同样y减y1的平方
小于小于z1
就是横向孔径面和观察面上
它这个绝对距离的差
是跟这个它俩之间
两个面之间的距离相比
是非常非常小的
这个时候cosθ呢
就是这个衍射角
也变得非常非常小
所以cosθ就跟1是非常接近的
这样一来我们前面说的
倾斜因子K(θ)
等于二分之一 1加cosθ
就变成了约等于1
也就是说这个角度的影响
已经可以忽略了
第二，r的变化对相位的影响
是不可忽略的
小r的变化
对相位的影响
为什么不可以忽略呢
因为它要跟k相乘
ikr是它的相位
k等于什么呢
k等于2π除以λ
λ是什么
百纳米量级
波长在百纳米量级
所以r有一个百纳米量级的
变化的时候
它就要产生一个2π的变化
所以r对相位的影响不能忽略
这样一来我们用z1代替r
用z1分之一代替r分之一
就得到了P点的复振幅的表达式
iλz1分之 EQ e的ikr进行积分
就得到了P点的这个复振幅表达式
假定孔径函数
孔径函数EQ
就是Q点满足的这个函数
是在孔径面之内
它等于E（x1，y1）
就是孔径面上的复振幅分布E
而孔径之外它的强度为0
这样一来我们刚才那个积分
对整个孔径面的积分
就可以只对这个小的
孔径的透光部分进行积分
得到E（x，y）这个表达式
进一步计算
需要将e的ikr
这一项中的r表示成（x，y，z）的函数
我们下来做这个工作
这就是菲涅耳近似
菲涅耳近似是对相位项的近似
我们刚才已经假设了
x和x1的差
y和y1的差
绝对值是小于小于z1的
我们利用这个二项式的展开式
把这个r
就是两点之间的距离公式
化简为
r就等于z1加2倍的z1分之
x减x1平方加y减y1平方
这里截断到完全平方项
要满足菲涅耳近似条件
也就是第三项引起的
这个相位差
第三项就是完全平方项
后面这个z立方分之这个
完全平方的平方
这一项乘以2π除以λ
这一项引入的这个相位差
要小于小于π
从这个公式我们可以得到
菲涅耳衍射区满足的z1的条件
就是z1立方大于4λ分之
x减x1平方
加y减y1平方的平方的最大值
这是菲涅耳衍射区所在的区域
满足的条件
这样我们就可以得到
菲涅耳衍射积分公式
是这样一个表达式
当光波垂直正入射的时候
也就是E0在孔径面上的分布
为常数
为常数 我们令它为1
这个时候E（x1，y1）
就孔径面上的场强分布
就等于孔径面的透射系数
因为平面波正入射
平面波正入射
这个时候孔径面透射系数
我们用t波浪(x1,y1)来表示
把它代到我们刚才这个
场强分布的表达式中
就可以得到这样一个
菲涅耳衍射积分公式
我们继续展开r的表达式
就可以得到夫朗和费近似
把r的表达式的完全平方式
展开成三项
如果z1很大的时候
x和x1小于小于x,y
为什么呢
随着观察距离的增大
衍射的范围是增大的
而孔径面x1,y1
它的大小是不变的
所以z1增大的时候
x,y可以达到大于大于
x1,y1的程度
夫朗和费近似的时候
只保留孔径面函数
x1,y1的一次项
它的完全平方项
x1平方加y1平方略去
我们可以看出这个表达式
t的这个积分式
实际上是一个t的傅里叶变换
大家回忆一下
这个傅里叶变换的表达式
可以发现这一点
就是t的傅里叶变换
所以说我们可以得到结论
夫朗和费衍射场的复振幅分布
可以从照明光场
或者说从t的复振幅分布的
傅里叶变换求出
这幅图展示了菲涅尔衍射
和夫朗和费衍射观察区域
其中A是在这个投影区
所以它是这个孔径屏的
这个几何投影
然后这个
第一个虚线后面的区域
我们叫它菲涅尔衍射区
菲涅尔衍射区之内
它这个衍射的形状
是随着这个距离的变化
而变化的
中间可以是极大值点
也可以是极小值点
这是它最大的特点
在菲涅尔衍射区
而到了第二个虚线后面
我们可以发现
它的衍射强度的分布形状
是不变的
只是这个大小不一样
所以这个衍射区
我们叫它夫朗和费衍射区
也就是C所在的这个区域
叫夫朗和费衍射区
菲涅尔衍射区波面的曲率
是不可以忽略的
而到了夫朗和费衍射区
曲面的曲率是可以忽略的
衍射光强的大小，范围
随距离的变化而变化
但形式是不变的
这幅图是在不同的距离上
观察到的菲涅尔衍射
实际拍摄到的照片
这里头孔径大小r等于
r0等于10毫米
在5米，8米，10米，12米
15米，18米的距离
分别拍摄到了
这个菲涅尔衍射图案
我们可以看到
在不同的距离上
中心点可以是亮点
也可以是暗点
这是菲涅尔衍射区最大的特点
这一讲就讲到这里
谢谢
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程：Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程：A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程：Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业（像差）--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率（光学系统分辨率）
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇：应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业（望远镜）--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业（显微镜）--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波，光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件（边界条件）
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇：物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇：物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇：物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇：物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏（盘）的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇：物理光学—— 菲涅耳衍射（菲涅耳衍射）
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（一）
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（二）
-3.23.2 电光效应（一）
-3.23.2 电光效应（二）
-3.23.3 声光效应
-下篇：物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业
