当前课程知识点：光学工程基础 > 下篇：物理光学—— 傅立叶光学 > 3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法 > 光波衍射的傅里叶分析方法
各位同学大家好
这节课我们学习
光波衍射的傅里叶分析方法
在上一章的讨论中
光波的传播、衍射
叠加及成像都是研究光场中
各点的复振幅与空间坐标的函数关系
这种表达与分析方法
我们称之为空间域分析法
而在本章的傅里叶光学中
我们利用傅里叶分析方法
把光波分解为具有不同频率的
平面波的线性叠加
每一个平面波沿一定方向传播
那我们主要研究的是
平面波的复振幅
和它的空间频率坐标的函数关系
这种表达分析的方法
称之为频率域分析法
这两种方法呢
一个是在空间域
一个是在频率域
其实二者是完全等价的
下面我们先讨论夫朗和费衍射
和傅里叶变换的关系
并在此基础上
对夫朗和费衍射进行重新的认识
在前面光的衍射章节中
我们学习了夫朗和费
近似条件下的衍射公式
是这样子的一个式子
当单位平面波垂直衍射屏入射时
刚透过衍射屏的光场复振幅
等于透过率t(x1,y1)
我们把这个t(x1,y1)带入到
夫朗和费衍射公式中
则新的衍射公式
可以写成这样的形式
t(x1,y1) e指数i 2πux1加vy1
然后再进行积分
在这个式子中
我们可以看到
红框部分是一个常数因子
当只 考虑复振幅的相对强度时候
可以忽略掉
这个绿框的部分呢
是一个二次相位因子
它求衍射强度时
也会自动消去
但是在考察夫朗和费衍射场
与别的光场干涉的时候呢
这个二次因子的作用
就会显示出来
这样我们把前面的
常数因子都去掉了
我们就可以把夫朗和费衍射公式
写成这样一个简单的形式
夫朗和费衍射场的复振幅E(u,v)
是衍射屏光场的复振幅
E1(x1,y1)也就是t(x1,y1)的傅里叶变换
这就表示透过孔径光场
E1(x1,y1)被分解为
一系列具有不同空间频率
u、v的平面波
e指数
i2π ux1加上vy1的线性叠加
那么从夫朗和费衍射原理
这样一个图我们可以看到
我们在后焦面这个屏上
可以得到方向余弦x比上f
y比上f的这样一个
平面波的聚焦的点 P点
这个P点的复振幅
就代表了这个平面波的复振幅
也就是说我们在焦面的复振幅
刚好为前面衍射屏复振幅
分布的傅里叶变换
这样我们就可以看到呢
理想的夫朗和费衍射系统
是一个傅里叶频谱分析器
它可以实现二维图像的
傅里叶变换的模拟运算
二维图像上
所有点的数据
同时进入衍射系统
同时被计算
结果呢被同时输出
这样的运算速度远远高于
电子计算机的运算速度
同时由于高亮度高相干度
激光器的迅速发展
使得激光束通过衍射孔径
或者是光学图片
那么它的夫朗和费衍射"像“呢
是孔径或者是
图像的二维傅里叶变换
这个结论呢与通信系统类似
许多通信理论中的
经典概念和方法
都被移植到光学当中来
比如带宽、滤波、相关、卷积
传递函数等等
这样就形成了当今蓬勃发展的
傅里叶光学
以及现代光学信息处理的技术
由于夫朗和费衍射的衍射场
和这个衍射屏
透过率函数t之间呢
是满足傅里叶变换关系的
这也就为计算和研究
夫朗和费衍射图样的强度分布
提供了一种简洁的方法
下面我们来讨论
夫朗和费衍射图样的
三个重要的特点
第一点:衍射现象扩散程度
与孔径大小成反比
从傅里叶变换的相似性定理
可以看出
物函数的尺寸缩小
就会使呢频谱函数的尺寸放大
但是呢这个频谱函数的形式
它是不变的
这表明对光的限制越严重
这个衍射现象呢就越显著
它是呈现出一个反比的关系
第二点：衍射屏在自身平面的移动
不改变衍射图样的位置和形状
我们从傅里叶变换的
位移定理可以看出
衍射屏在空间域上横向移动
并不影响频谱平面上
光场的复振幅分布
只是其相位有一个线性的变化
频谱面上的光强分布不变
第三点：我们由傅里叶
变换的相移定理可以看到
当衍射屏被一束单位振幅的
倾斜的平面波照明的时候呢
这个频谱面上的光场的形式
也是不变的
仅仅发生的一个横向的平移
那么因为0级衍射光斑中心
就是几何光学的像点
所以我们很容易找到
0级衍射斑的位置
在上一章我们学习光的衍射中
我们直接从空间域的
夫朗和费衍射公式
推导了一些典型的衍射屏的
衍射光强分布
那我们现在学习了
夫朗和费衍射
和傅里叶变换的关系
我们就来验证一下
傅里叶变换方法得到的
衍射光强分布和夫朗和费衍射
得到的公式得到的结果是否一致
在这里呢
我们假定是单位振幅的平面波
来垂直照射这个衍射屏
我们来看它后面的衍射图样
第一种情况
我们来看这个矩形孔径的衍射
和单缝衍射的情况
矩形孔径的透过率函数
可以表示为
两个矩形窗函数的乘积
也就是rect a分之x
乘以rect b分之y
那么在单位振幅平面波垂直照射下
根据傅里叶变换
可以得到复振幅为两个
sinc函数的乘积的形式
我们取模平方
就可以得到相应的光强分布
这个图像呢
就是它的衍射图样
如果在矩形孔中
b远大于a
这样我们就得到了一个狭缝
它的透过率函数呢
是一个rect函数
rect a分之x
那经过它的衍射光呢
只会沿着垂直于单缝的方向扩展
我们利用傅里叶变换
可以得到单缝衍射的复振幅分布
和光强分布
可以看出光强中心的
亮斑的宽度呢
是δx等于a分之λf
那对应的这个频谱的宽度呢
δu是等于λf分之δx
等于a分之一
如果我们从频率域来理解
如果狭缝的宽度选为
原来的n分之一
那么夫朗和费衍射光斑
也就是空间频谱的宽度
将加宽为原来的n倍
我们来看第三种情况
是圆孔衍射屏
它的透射系数呢
是circ
a分之一根号x的平方
加上y的平方
我们由傅里叶变换
可以得到它的复振幅分布
我们用一阶第一类贝塞尔函数
来表示
可以得到圆孔的
夫朗和费衍射强度分布
是这样的一个公式
那么J1呢
是一阶的第一类贝塞尔函数
r是观察面的径向坐标
ρ是径向的空间频率
它的这个衍射图样呢
中心是一个亮斑
也就是我们常说的爱里斑
这个结果和我们前面
学习的夫朗和费衍射的
夫朗和费衍射公式
得到的结果是一致的
这里我们可以看到
应用傅里叶光学
来进行衍射分析
具有简便性和直观性
只要我们知道这个衍射屏的
傅里叶变换
我们就可以得到它的衍射的光斑
我们可以利用傅里叶变换
来处理光栅的衍射问题
典型的光栅可以分为
振幅型的光栅和相位型的光栅
两大类
振幅型的光栅呢
它的透射系数
是呈这个周期性变化的
但是相位不变
只改变入射光的振幅分布
而相位型的光栅呢
它的这个透射率是一个常数
不改变入射光的振幅分布
只改变入射光的相位分布
那我们利用傅里叶变换
来处理光栅的衍射问题
那对于这种正弦振幅的光栅
它的透过率呢
是一个截断的余弦函数
那对这个透射光场
我们来对它做傅里叶变换
取模平方
这样可以得到
它的衍射光强的分布
这个傅里叶变换呢
它是由三个sinc函数相加而成的
这三项的和
那它的衍射光强的话
我们可以取模再平方
其中的这个u呢
是等于x比上λf的
那么由这个公式
我们可以得到它的衍射图样
也就是衍射强度的分布曲线图
从这个图我们可以看到呢
有三个级次
也就是零级 正负一级
那各个级次谱线的空间位置
满足dsinθ等于0 λ和负λ
下面来看正弦的相位光栅
它的透射函数是一个截断的
正弦函数
那么它的调制度呢
我们记为A
那我们对这个相位的函数呢
做一个傅里叶变换
可以得到它的这个复振幅分布
我们要再对这个
复振幅分布取模平方呢
就可以得到它的衍射光强
可以看到这个衍射光强呢
是贝塞尔函数之和
它的主极大的位置呢
依然满足光栅方程
dsinθ等于qλ
与普通光栅是一致的
我们把它的图像可以画出来
可以看出它的各级的
主极大的光强
是Jq二分之a的平方
这样的话
我们可以通过调节
这个相位光栅的调制度A
来改变各级次的强度
这与只有三个级次的
正弦振幅光栅
是有着明显的差别的
最后我们来讨论一下
菲涅耳衍射
和傅里叶变换的关系
菲涅耳衍射是在距离这个
孔径面比较近的区域
来进行观察
前面我们学习了
菲涅耳衍射的计算公式
是这样的一个式子
通过对这个指数中的
二次项进行展开
我们可以得到菲涅耳衍射的
傅里叶表达式
也就是傅里叶变换
E(x1,y1)乘以一个e指数
ik比上rz乘以x1的平方
加上y1的平方
我们从这个式子可以看出
菲涅耳衍射场的复振幅分布
是孔径平面的复振幅分布
和一个二次相位因子乘积的
傅里叶变换的形式
而夫朗和费衍射呢
就没有这个二次相位因子
由于参与菲涅耳傅里叶变换的
二次相位因子
与这个z1是有关的
那这样呢不同的平面波
分量传播到观察面的时候的话呢
将会产生一个与频率和距离
有关的相移
这样变化相位的
这个平面波的分量
叠加到一起呢
会产生一个与距离有关的
一个衍射场分布
也就是说我们在菲涅耳区
不同的位置来观察的时候
它的衍射场分布的函数
会发生变化
但是对于夫朗和费衍射
那我们在这个
夫朗和费区去观察的时候的话呢
它在不同的位置处
这个衍射场的分布形式
基本上都是相同的
都是它的傅里叶变换形式
最后对本节课做一个小节
本次课我们通过
对夫朗和费衍射的再认识
知道了可以利用傅里叶变换
来分析处理夫朗和费衍射
一个理想的夫朗和费衍射系统
就是一个傅里叶频谱分析器
我们也通过几个实例
展示了利用傅里叶分析的方法
来处理衍射问题的简捷性
同时我们也介绍了
菲涅耳衍射的
傅里叶变换处理方法
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程：Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程：A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程：Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业（像差）--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率（光学系统分辨率）
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇：应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业（望远镜）--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业（显微镜）--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波，光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件（边界条件）
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇：物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇：物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇：物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇：物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏（盘）的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇：物理光学—— 菲涅耳衍射（菲涅耳衍射）
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（一）
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（二）
-3.23.2 电光效应（一）
-3.23.2 电光效应（二）
-3.23.3 声光效应
-下篇：物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业
