当前课程知识点:光学工程基础 > 绪论——预备知识 > 1.2.2 光学工程中的常用函数 > 光学工程中的常用函数
各位同学大家好
今天我们继续学习
光学工程中的预备数学知识
今天主要介绍一些常用的函数
首先为什么要学习这些函数
因为我们对光学系统建模
需要利用这些函数
来对系统进行描述
比如如何表示一个物体
如何表示一个孔径
如何表示一个双狭缝
如何表示点光源等等
第一个要学习的函数是
阶跃函数 step函数
当x小于0时 step(x)的值是0
当x大于0的时候 step(x)的值是1
当x等于0的时候
step(x)的值是1/2
我们举一个例子
如果一个函数和它相乘
这个函数是f(x)
那么在x小于0的区间
相乘后的结果等于0
而在x大于0的区间
相乘后的结果等于f(x)
所以它看起来就像一个光学开关
这对应于光学系统中的直边
或者是刀口的透过率
第二个要学习的函数是符号函数
我们称之为sgn(x)
当x大于0时 sgn的值为1
当x小于0的时候
sgn(x)的值为负1
那这个函数有什么作用
它实际上和一个函数作用时
可以将它的极性反转
x大于0的时候
它的极性是正的
x小于0的时候
它的极性是负的
在光学系统中
比如我们在孔径的一半
嵌有π相位的一个位相板
就可以实现这样一个函数的功能
我们可以用符号函数
来描述系统的复透射率
第三个函数是rect函数
它有两个函数值0和1
当在负1/2到1/2的区间
它的函数值是1
而在其他区间函数值都是0
所以这个函数是以原点为中心
高度是1的这样一个函数
我们可以用这个函数
来表示狭缝或者矩孔的透过率
它与其他的函数相乘的时候
可以限制函数的自变量范围
所以我们也把这个函数
称之为“门函数”
下一个函数是三角函数
这个函数是以原点为中心
底边宽为2 高为1的一个三角形
我们记为tri(x)
这个三角函数在光学工程中
主要是表示光瞳为矩形的
非相干成像系统的光学传递函数
下一个函数是sinc函数
它是sin(x)和x的比值
可以看到这个函数在原点
有最大值
在x等于±na处有0值
在光学工程的基础课程中
sinc(x)用来描述狭缝
或矩孔的夫琅和费衍射图样
下面要介绍的函数是高斯函数
高斯函数的形式写为e指数
-π(x/b)^2
这个函数的形式可以看到
它在原点有最大值1
它在整个曲线下面的面积是b
当b等于1的时候
这个函数的形式是e指数
-π(x)^2
这个函数可以用来描述
激光器发出的高斯光束
我们也将sinc函数 三角函数
高斯函数和sinc^2函数
进行了对比
可以看到它都是以原点为中心
高度都是1
但是这些函数的曲线的分布
是不同的
同时我们也可以把一维的函数
扩展到二维的函数
比如说矩形函数rect函数
我们可以写为rect(x,y)
它就是rect(x,y)等于
rect(x)乘以rect(y)
这样我们可以看到
这是一个中心仍然在原点
但是是一个正方体的
这样一个函数分布
同样我们也可以
将二维的三角函数
从一维的三角函数获得
也就是tri(x,y)等于tri(x)乘以tri(y)
我们也可以把sinc函数
扩展为二维
也就是sinc(x,y)等于
sinc(x)乘以sinc(y)
这是它的函数分布
同样也可以将高斯函数
扩展到二维
这是二维的高斯函数的分布
下面介绍一个函数
是圆域函数
这个函数是一个圆柱形
它的底边的半径是R 高为1
那在这个半径之内
它的函数值是等于1
在这个半径之外
它的函数值都是0
我们可以写为cric(r0的平方分之
根号x平方加y的平方)
等于0或者是1
在不同的条件下
那么这样的一个函数
在我们的光学系统中非常常用
它用来表示圆孔的透过率
下一个函数是贝塞尔函数
它是一个二阶
齐次线性偏分方程
解的形式
这个方程的解呢
主要包括n阶的第一类
贝塞尔函数
和n阶的第二类贝塞尔函数
我们这门课主要用到了
一阶第一类的贝塞尔函数
我们在这里给出了它的
级数表示形式
这就是贝塞尔函数的分布
贝塞尔函数是圆域函数的
傅里叶变换
最后还有一个非常重要的函数
叫delta函数 也就是脉冲函数
它最早是物理学家狄拉克
用来描述极为窄小
幅值趋于无穷大的物理量
这个定义是这样的
这个函数在x不等于0的时候
它的值等于0
但是呢它的整个x轴上的
函数的积分是等于1的
这个函数的曲线实际上
是画不出来的
所以我们一般用一条线
在上面打一个箭头
来表示它是delta函数
我们再来看一下这个
delta函数的含义
由于在原点以外
脉冲函数的值恒为0
而在原点附近无限小的范围
积分等于1
那这样的一个delta函数
具有非常广泛的用途
它可以用来表示点的质量
点电荷 或者是点光源
也就是在某一点
高度集中的量
这个点没有大小
但是它有质量
它有光的强度
能够发射光
所以它可以表示
一个无限小的孔径
delta函数
还可以看成一个连续
普通函数构成的序列的极限
比如一维矩形的脉冲
这个脉冲宽度逐渐变小
幅度逐渐变大
举个例子
比如说rect函数的极限
如果这个rect函数的面积是1
我们将这个rect函数变窄的时候
保持它的面积不变
这样它的高度会不断的增加
我们说变到无限窄
它的高度无限高的时候
它的面积还是等于1
这样的一个极限的情况
就是delta函数
所以说delta函数
可以看作rect函数的极限
同时它也看作高斯函数的极限
还可以看作其他函数的极限等等
delta函数有很多
很有意思的性质
比如包括广义函数
筛选性质
它和一个函数相乘
然后进行积分
然后就得到了这个函数
在某一个位置的值
还有比例变换性质
还有与普通函数的乘积
在delta函数的基础上
我们还要介绍一个函数
叫梳状函数
它是由多个delta函数的组合构成的
它的函数形式是δ(x-n)
求和 n从负无穷大到正无穷大
我们记为comb函数
这个comb函数可以看出
它是沿x轴分布
间隔为1的
无穷多个脉冲函数的集合
那这个梳状函数有什么作用呢
它具有抽样的能力
这样一个梳状函数
和一个普通的函数
f(x)相乘之后
我们可以看到
由于delta在其他位置
它的值都是等于0的
那这样的话我们就得到了
这条曲线在x等于1
x等于2 x等于3
这样无穷多个点的函数值
其他的值都是等于0的
这样的一个方法可以用来
对函数进行抽样或者是采样
同样梳状函数也具有缩放性质
这是缩放后的函数的形式
和函数的分布
我们记为(1/τ)comb(x/τ)
这样它在1τ 2τ 3τ
负1τ 负2τ 负3τ 的位置
来对函数进行采样和抽样
如果将一维的梳状函数
扩展为二维的函数
我们可以写为comb(x,y)
或者是comb(x)乘以comb(y)
这个二维的函数可以用来表示
点光源阵列
或者是小孔的阵列
在我们的光学系统中经常用到
好的 今天的函数就介绍到这里
大家需要熟练地掌握这些函数的
定义和性质
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程:Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程:A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程:Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业(像差)--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率(光学系统分辨率)
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇:应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业(望远镜)--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业(显微镜)--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波,光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件(边界条件)
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇:物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇:物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇:物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇:物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏(盘)的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇:物理光学—— 菲涅耳衍射(菲涅耳衍射)
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(一)
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(二)
-3.23.2 电光效应(一)
-3.23.2 电光效应(二)
-3.23.3 声光效应
-下篇:物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业