当前课程知识点:光学工程基础 > 下篇:物理光学——光在晶体中传播 > 3.18.3 单色平面波在晶体中的传播 > 3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
大家好
今天我们讲单色平面波
在晶体中的传播
主要讲两个问题
一是法线速度和光线速度
二是光在晶体中的
传播的菲涅耳方程
我们主要利用麦克斯韦方程
和晶体中的物质方程
来分析单色光波
在晶体中传播的特点
我们先来看第一个问题
法线速度和光线速度
假设在晶体中有一单色平面波
这束波的电场 磁场
和电位移矢量
如这三个公式所示
把我们前面假设的这个
单色平面波的电场磁场
电位移矢量
三个矢量代入麦克斯韦方程组
我们就可以得到
我们就可以得到这样四个表达式
第一个是k(叉乘)E
等于ωμH 第二个是k叉乘H
等于负的ωD
第三个是k点D等于0
第四个是k点H等于0
从前面两个表达式
我们可以得到H是垂直于k和E的
从第二个方程
k叉乘H
等于负的ωD
我们可以得到D是垂直于k和H的
这样我们就可以得到
k H D三个矢量彼此互相垂直
构成一个右手螺旋系
由波印庭矢量的定义
S等于E叉乘H
我们知道E H S三个矢量
也构成一个右手螺旋系
这两个右手螺旋系
就是E S H和D H k
两个右手螺旋系
它们有一个公共的轴
都有一个H
所以我们可以得到
这样一幅图象
就是D E k S
都在垂直于H的
这样共同的一个平面内
也就是说D矢量 E矢量
k矢量和S矢量
四个矢量共面
在晶体中传播的电磁波
我们可以得到结论
由于D不平行于E
所以波法线的传播方向k0
和能量传播方向
能流的传播方向
就是光线的方向S0不一致
因为k是垂直于D的
S是垂直于E的
D和E不平行
所以k和S就不平行
它俩的传播方向不一致
也就是光波在晶体中
传播的最大的特点
能量的传播方向
与法线的传播方向分离了
我们前面知道
波法线的速度
也就是我们说的相速度Vk
Vk等于C除以N
也就是真空中的光速
除以折射率
然后可以导出Vk等于ω比k
这是我们说的法线速度
就是说的位相传播的速度
我们接下来可以定义光线速度
因为光线和法线传播的方向
不一样了
所以光线方向传播速度
和法线方向波的传播速度
是不一样的
我们定义光线速度
就是与这个S0
就是能流密度传播方向的速度
从这幅图中可以看出来
Vk和VS之间的关系
就是VS光线速度
应该等于Vk法向速度除以cosα
cosα α就是这个光线方向
跟法线方向之间这个夹角
叫α 我们叫它走离角
从而可以定义光线的折射率
也就是能量的折射率ns
ns就是真空中的速度
除以光线的速度
我们可以得到光线的速度
就等于一般的相位速度
定义的这个折射率n
乘以cosα
所以光线的折射率
是小于相位定义的
这个折射率的
接下来我们讲光在晶体中传播的
菲涅耳方程
把刚才我们由单色波
代入麦克斯韦方程组
得出来这个k叉乘E
等于ωμ0H
和k叉乘H等于负的ωD
这两个方程连立
我们消去中间的H
就是磁场矢量H
我们可以得到D
电位移矢量满足的这个表达式
根据矢量运算的规则
A叉乘B 叉乘C
等于这个恒等式
我们可以把刚才这个
D矢量的表达式化简
就得到D矢量从D矢量的表达式
我们可以看出D和E之间的
这个夹角α
必须满足这个关系式
从上面这个等式
我们可以看出E矢量
就是这个红色的箭头
表示这个E矢量
减掉E在k0方向上的投影
就得到与D矢量平行的
这样一个分量
这样两个分量的方向是一样的
中间差一个倍数关系
就是ε0 n平方
也就是E减掉E在k0方面上的投影
乘以ε0乘以n平方
就得到D矢量的大小和方向
这个方程我们叫它菲涅耳方程
菲涅耳方程是揭示的k0
和n之间的这个关系
这个传播速度和n折射率定了之后
我们就可以约束了D和E
之间这样关系
所以它俩之间的相对位置
也就确定了
所以这个菲涅耳方程
是决定D矢量和E矢量
相对关系的一个方程
再利用光线传播速度
和法线传播速度之间的关系
就是这个关系
Vk等于VS乘cosθ
我们前面得出来这个
光线速度和法线速度
之间的关系
我们可以把刚才那个表达式
D矢量的表达式
换成E矢量的表达式
也就是用刚才是用E表示D
现在可以导出来用D表示E
这样一个关系式
这个关系式也比较明朗
就是E等于ε0 ns平方分之一倍的
D矢量减掉D矢量在S方向上的投影
这个方程跟刚才那个方程
是等价的
我们可以从这个图上看出来
D矢量跟E矢量之间的关系
也就是D矢量
减掉D矢量
在S方向上的投影
在S方向上的投影
就是S0乘 点乘D
减掉这部分之后
剩下的这个分量
就应该矢量相减
剩下一个分量
就是沿着这个红色箭头这个方向
就是D垂直的方向
我们可以知道
D矢量减掉这个在
D矢量在S0方向上的投影
就得到E矢量
所以这个关系式
跟前面我们讲那个菲涅耳公式
是完全等价的
只是一个是用D表示E
一个是用E表示D
无论是用D矢量表示E矢量
还是用E矢量表示D矢量
这两个方程我们都叫菲涅耳方程
菲涅耳方程是表示
晶体光学性质的基本方程
决定着电磁波在晶体中
传播的特性
我们在主轴坐标系中
来讨论问题
我们前面说过主轴坐标系
就是Dx等于εx Ex
Dy等于εy Ey
Dz等于εz Ez
这样一个坐标系
在这个坐标系中
εx εy εz我们叫它主轴介电常数
我们可以定义相应的主折射率
也就是εx除以ε0
等于nx平方
εy除以ε0等于ny平方
εz除以ε0等于nz平方
这三个nx ny nz
我们都叫它主折射率
相应的我们可以定义这个
相对介电常数
也就是n平方等于εr
这是相对介电常数
对应的有nx平方等于εrx
ny平方等于εry
nz平方等于εrz
εrx εry εrz叫相对介电常数
有了相对介电常数
这几个定义之后
我们可以把低矢量的三个分量
写出来
就是根据菲涅耳方程
写出Dx Dy Dz
这三个矢量的分量都可以写出来
如这个表达式所表示的
其中的k0x是k0在x方向上的投影
相应的有Dy Dz这两个表达式
利用关系式
就是D和k0垂直
就是D点乘k0等于0
这样一个特性
我们把上面三个表达式
分别点乘k0x k0y k0z
再把它们加起来
就应该等于0
就可以得到k0和N的关系式
就是这个公式
这样一个表达式中
εrx εry εrz是晶体本身的
决定的一个参数
所以这里头k0x k0y k0z
是波矢量k0的方向
是我们要给定的
在晶体中的某一个方向
所以这里头要求的是n平方
这样一个未知数
所以对应的折射率
是我们要求的
也就是说给定k0的方向
我们通过这个表达式
来求取可能的n
n应该是满足这个方程的
由上面这个方程
我们把它改一下
定义主传播速度
主传播速度
考虑非磁性介质
非磁性介质就是相对磁导率等于1
我们可以得到vi
i等于1 2 3
就是沿着三个轴的速度
等于c除以根号εi
也就是对应的相应的方向的速度
相应轴的传播速度vi
用vi替代上面的n平方分之一
也就是给它们同乘一个c
就可以得到这样一个公式
应该等于0
这个关系式跟上面那个
跟折射率的关系式是等价的
它表示了k0的传播方向
跟相速度Vk的关系式
给定一个k0
可求取可能的Vk
也就是说Vk的传播速度
Vk是表示相速度的传播速度
随k0是变化的
不同的k0的传播方向
Vk的值是不一样的
所以下面我们来解这个方程
解这个方程的时候
或者是解这个跟n的关系式的
k0跟n的关系式的方程
或者是解这个k0跟Vk
这样一个关系式的方程
我们可以得到一个共性的结论
因为它是一个二次方程
n平方的二次方程
所以解这个方程的时候
应该能得到两个n平方
我们另它为n’平方和n’’平方
也对应的有两个速度
Vk’和Vk’’
两个折射率两个速度
就对应两个电位移矢量
D’和D’’
可以证明D’和D’’是互相垂直的
这已经超出了我们这门课的
大纲要求
所以我们不去证明它
只是在后面的例子中
我们会给出D’和D’’的值
可以看到它们是互相垂直的
两个N 两个V
对应两个D
两个D就对应两个E
E’和E’’
这幅图画出了一个k对应两个S
对应两个D
对应两个E 这样一幅图象
也就是说在晶体中
一个波法线传播方向
能够存在的两个D矢量
两个光的振动方向
和两个E矢量
光振动的方向
同时对应两束波的传播方向
S’和S’’
我们总结一下
这一讲讲的主要内容
对于晶体中一个给定的k0
有两束线偏振波
D’和D’’可以传播
对应两个不同的折射率
N’和N’’
对应两个相速度Vk’和Vk’’
并且这两个波的振动方向
互相垂直
这两个光波D与E是不平行的
所以两光波有不同的速度
和光线方向
这一讲就讲到这里
谢谢大家
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程:Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程:A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程:Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业(像差)--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率(光学系统分辨率)
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇:应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业(望远镜)--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业(显微镜)--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波,光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件(边界条件)
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇:物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇:物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇:物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇:物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏(盘)的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇:物理光学—— 菲涅耳衍射(菲涅耳衍射)
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(一)
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(二)
-3.23.2 电光效应(一)
-3.23.2 电光效应(二)
-3.23.3 声光效应
-下篇:物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业