当前课程知识点：水力学 > 第3章 流体运动学 > 3.4 连续性方程 > 连续方程
同学们好 我们今天来学习流体运动学
当中的第四个问题连续性方程
连续性方程是流体控制
流体运动的基本方程之一
它是根据质量守恒定律这一普遍的规律
并针对流体是易于流动的
连续介质的特性得出来的
那么不满足连续性方程的流动
实际上是不存在的
在这一节当中我们将用欧拉的观点
来建立两种形式的连续性方程
一种是积分形式上的连续方程
我们又叫它恒定总流的连续性方程
一种就是三维流动的连续性微分方程
那么我们说了
用欧拉的观点来建立连续性方程
那么首先我们就要用欧拉的观点
对质量守恒定律重新进行描述
我们可以这样来描述
连续介质的运动必须维持质点的连续性
也就是说质点之间是不能发生间隙的
因此我们说净流入控制体的流体的质量
必然要等于控制体内
因流体密度的变化而增加的质量
有了这样的一个理论
我们就可以推导连续性方程了
首先我们来推导恒定总流的连续性方程
大家请看这幅图
图中所示的是恒定总流当中取出来的一段总流管
那么它的上游断面是A1
它的下游过流断面是A2
把这一段总流管作为一个控制体
我们考察其中的流动的变化
那么我们这里头还要有一个条件
就是恒定条件
我们要建立的是恒定总流的连续性方程
那么由恒定条件我们可以推出以下几个结论
第一 如果流动是恒定的
那么它的总流管的形状和位置
就不会随时间的变化而变化
第二 总流管内的流体是不存在
间隙的一个连续介质
所以它的密度的分布是恒定的
这样的话这段总流管内流体质量
也不会随着时间的变化而变化了
第三 没有流体会穿过总流管的侧壁流入流出的
也就是说流体只能通过
一个进口A1和一个出口A2
来流入流出这个控制体
那么根据质量守恒定律
我们就可以得到这样一个结论
在单位时间内A1流入控制体的流体的质量
应该等于通过A2
这个断面流出控制体的流体质量
大家请看这样一个公式
这个方程就是我们建立的恒定总流的连续性方程
它表明了通过恒定总流
这两个过流断面上的质量流量是相等的
对这个连续性方程我们可以做下面的简化
如果我们说这个恒定总流是不可压缩流体的话
我们知道不可压缩流体密度就是常数
因此这个恒定总流的连续方程
可以进一步地进行简化
简化的形式如果要用断面平均流速来表示的话
还可以得到A1乘v1等于A2乘v2
这样的一个最简单形式的连续方程了
那么它表明的是通过这样一个恒定总流
两个过流断面上的体积流量是相等的
对于不可压缩流体
那么我们根据连续性方程
就可以看出之前我们得到的一个结论
就是说流线的疏密
为什么能够反映流速的大小呢
对于这样一个有分流汇入或者是流出的情况
我们还可以对刚才我们建立的恒定总流的连续方程
做一些相应的变化
使得它质量的总流入保证等于流出就可以了
接下来我们再一起推导
三维流动的连续性微分方程
那么具体的方法就是在流场当中
我们取一个空间六面体微团
这个六面体的边长分别是dx、dy和dz
并将它放置在这样的一个坐标系下
我们先看x方向的流动
在时间段dt里
流体从后面abcd这个面内流入了控制体
我们可以算出它的流体质量
可以表示成ρux dy dz是这个面的面积乘上dt时段
那么从前面这个面a'b'c'd'流出的流体质量
我们如何来表示呢
我们还是按照原来的那种方式经过了一空间dx长
那么用泰勒级数展开的方式
我们略去高阶无穷小量只留下一阶项
便得到了从a'b'c'd'这个面流出的流体的质量了
那么净流入前后这一对表面的流体质量
便是这两个质量差这是x方向
同样的道理我们可以计算出时间dt
这个时段内沿着y方向和z方向上
净流入左右和上下这样两对表面的流体的质量
大家看是这样的一个情况
那么除此之外在时间段dt里头
这个微元体内流体质量的增加量
也就说由于密度的变化引起质量的增加
我们可以写成偏ρ偏t乘上
这个微元体的体积再乘上dt这个时段
接下来我们可以根据质量守恒定律
建立起这样的一个等量关系
对这个等式进行简化
就可以得到了三维流动下的连续性微分方程了
那么对这个微分方程在特殊的情况下
可以有简化的形式
比如说恒定流动
那么这样的时候我们三维的流动微分方程
就可以表示成把偏t项略去
那么可以表示成这样的一个形式了
这是对恒定流动
对于不可压缩流体的话
我们知道对于不可压缩流体
这个密度是不随时间和空间的变化而变化的
所以密度都是与这个xyz以及t都是无关的
因此三维的连续方程可以简化成这样的一个形式
只要流动是一个不可压缩流体的运动
那么不论它是恒定还是非恒定的
它的连续方程都是这样的一个形式
有了这样的一个连续性方程
它就表明了对于不可压缩流体微团
在三个相互垂直的方向上
它的线变形速率的总和是为零的
如果一个方向上有拉伸
则必然在另一个方向上将有压缩
在运动过程当中它整个体积是不会发生变化的
-水力学课程介绍
--水力学课程介绍
-1.1 流动性和连续介质假设
-1.1 流动性和连续介质假设--作业
-1.2 流体的主要物理性质
--粘滞性
--压缩性
--表面张力
-1.2 流体的主要物理性质--作业
-1.3 作用在流体上的力
--作用在流体上的力
-1.3 作用在流体上的力--作业
-1.4 小结
--小结
-第1章 绪论--课后作业
-2.0 序言
--序言
-2.1 流体静压强及其特性
--静压强
-2.1 流体静压强及其特性--作业
-2.2 流体平衡微分方程
--平衡微分方程
-2.2 流体平衡微分方程--作业
-2.3 重力场中液体静压强的分布
--静压强分布
-第2章 静力学--2.3 重力场中液体静压强的分布
-2.4 作用在平面上的液体总压力
--平面上液体总压力
-第2章 静力学--2.4 作用在平面上的液体总压力
-2.5 作用在曲面上的液体总压力
--曲面上液体总压力
-第2章 静力学--2.5 作用在曲面上的液体总压力
-2.6 液体的相对平衡
--液体相对平衡
-2.6 液体的相对平衡--作业
-2.7 实验一
--实验一
-2.8 小结
--小结
-第2章 静力学--课后作业
-3.0 序言
--序言
-3.1流体运动的描述方法
-3.1流体运动的描述方法--作业
-3.2 有关流体的几个基本概念
--基本概念01
--基本概念02
-3.2 有关流体的几个基本概念--作业
-3.3 流体微团运动的分析
--微团运动分析
-第3章 流体运动学--3.3 流体微团运动的分析
-3.4 连续性方程
--连续方程
-3.4 连续性方程--作业
-3.5 小结
--小结
-第3章 流体运动学--课后作业
-4.0 序言
--序言
-4.1 运动流体的应力状态
--应力状态
-第4章 流体动力学基础--4.1 运动流体的应力状态
-4.2 流体运动微分方程
--微分方程
-第4章 流体动力学基础--4.2 流体运动微分方程
-4.3 理想流体恒定元流的能量方程
-第4章 流体动力学基础--4.3 理想流体恒定元流的能量方程
-4.4 恒定总流的能量方程
-4.4 恒定总流的能量方程--作业
-4.5 恒定总流的动量方程
--恒定总流动量方程
-4.5 恒定总流的动量方程--作业
-4.6 实验二、实验三
--实验二
--实验三
-4.7 小结
--小结
-第4章 流体动力学基础--课后作业
-5.1 有旋流动
--有旋流动1
--有旋流动2
-第5章 有旋流动和有势流动--5.1 有旋流动
-5.2 有势流动
--有势流动
--有势流动2
-第5章 有旋流动和有势流动--5.2 有势流动
-5.3 平面势流及势流叠加原理
-5.3 平面势流及势流叠加原理--作业
-5.4 小结
--小结
-课后作业--作业
-6.0 序言
--序言
-6.1 流动阻力和能量损失的两种形式
-6.1 流动阻力和能量损失的两种形式--作业
-6.2 粘性流体的两种状态
-6.2 粘性流体的两种状态--作业
-6.3 沿程损失与切应力之间的关系
--沿程损失与切应力
-6.3 沿程损失与切应力之间的关系--作业
-6.4 圆管中的层流运动
--圆管中的层流
-6.4 圆管中的层流运动--作业
-6.5 紊流运动简介
--紊流运动简介1
--紊流运动简介2
-6.5 紊流运动简介--作业
-6.6 紊流沿程损失的分析与计算
--紊流沿程损失
-6.6 紊流沿程损失的分析与计算--作业
-6.7 管流的局部损失
--管流的局部损失
-6.7 管流的局部损失--作业
-6.8 实验四、实验五
-6.9 小结
--小结
-第6章 流动阻力和能量损失--课后作业
-7.0 序言
--序言
-7.1 量纲和谐原理
--量纲和谐原理
-7.1 量纲和谐原理--作业
-7.2 量纲分析法
--量纲分析法
-第7章 量纲分析和相似原理--7.2 量纲分析法
-7.3 流动相似原理
--流动相似原理
-7.3 流动相似原理--作业
-7.4 模型试验
--模型试验
-第7章 量纲分析和相似原理--7.4 模型试验
-7.5 小结
--小结
-课后作业--作业
-8.0 序言
--序言
-8.1 边界层的基本概念
--基本概念1
--基本概念2
-8.1 边界层的基本概念--作业
-8.2 边界层微分方程
--微分方程
-8.2 边界层微分方程--作业
-8.3 边界层的动量积分方程
--动量积分方程
-8.3 边界层的动量积分方程--作业
-8.4 边界层的分离现象
--分离现象
-8.4 边界层的分离现象--作业
-8.5 绕流阻力
--绕流阻力
-第8章 边界层理论基础与绕流运动--8.5 绕流阻力
-8.6 小结
--小结
-课后作业--作业
-9.0 序言
--序言
-9.1 孔口出流
--孔口出流
-9.1 孔口出流--作业
-9.2 管嘴出流
--管嘴出流
-第9章 孔口、管嘴出流有压管流--9.2 管嘴出流
-9.3 简单管道的恒定有压流
--管道恒定有压流1
--管道恒定有压流2
-第9章 孔口、管嘴出流有压管流--9.3 简单管道的恒定有压流
-9.4 简单长管的恒定有压流
-第9章 --9.4 简单长管的恒定有压流
-9.5 复杂长管的恒定有压流
-9.5 复杂长管的恒定有压流--作业
-9.6 管网中的恒定有压流计算基础
--管网恒定有压流
-第9章 --9.6 管网中的恒定有压流计算基础
-9.7 非恒定有压管流
--非恒定有压管流1
--非恒定有压管流2
-9.7 非恒定有压管流--作业
-9.8 小结
--小结
-第9章 孔口、管嘴出流有压管流--课后作业
-1.判断题--作业
-期末考试--2.填空题
-3.单项选择题--作业
-4.多项选择题--作业
