平面势流及势流叠加原理慕课视频播放-水力学-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

我们前面说过

每一个平面势流都有复势

一个确定的复势对应一个平面势流

因此求解平面势流的问题

可以就转化为如何确定复势的解析函数

复势的求解我们在这里一般采用叠加的方法

首先研究简单复势的流场

然后将一个或者几个简单的势流叠加

找到满足边界条件的复势函数

在流体力学中我们经常学习一些

具有简单函数形式的复势所对应的势流

我们经常把这些势流叫做基本的平面势流

下面我们就介绍几个基本的平面势流

第一个我们看直线等速流动

直线等速流动对应的复势为线性函数

可以表示为Wz等于a乘以z

如果我们对复势进行求导可以得到v横杠就等于a

也就是复速度是一个常数

这样流场中各个点的流速的大小和方向就相同

就是一个直线等速运动

如果我们定义直线等速流动的速度为U无穷

那么复势我们就可以表示为Wz等于U横杠无穷乘以z

第二个我们是看平面点汇和点涡

点汇和点涡对应的复势函数是实系数的对数函数

Wz等于a乘一个lnz

这时候我们求导

就可以得到复速度的表达式是v横杠就等于一个z分之a

又可以表示成为r分之a乘以e的负iθ次方

通过解析式和这个流线图

我们可以看到这个流动的速度的大小

是和r成反比的

而且r等于零

这个地方我们这个解析函数是没有物理意义的

我们称为奇点

流速的方向是从中心向四面八方进行辐射

因此我们称这样一种流动叫点源或者点汇

如果我们将复速度围绕奇点进行积分

根据留数定理

就可以得到积分后的结果就是2πai等于qi

根据这个结果

我们就可以得到我们的实系数a

就等于q除以2π

这个时候如果q是表示源或汇的强度

如果q大于零就表示是源

q小于零是表示汇

对应的复势我们可以表示为

Wz等于q除以2π乘以ln z

第三个基本势流我们介绍是平面点涡

平面点涡对应的复势函数是虚系数的对数函数

可以表示为i乘以a乘以lnz

这个时候我们对复势进行求导可以得到复速度

复速度就是z分之ia

又可以表示为r分之ia

再乘以一个e的负iθ次方

我们通过这个函数形式和我们的流线图

我们可以看到这个流动的速度的大小

也是和r成反比的

而且也是在r等于零的地方

它的解析函数是无解的

我们称r等于零这个点是奇点

这个流动的流动方向是沿着圆周进行旋转

类似于一个旋涡的诱导流速

因此我们称这种流动叫点涡

将复速度绕着奇点进行积分

同样利用留数定理就可以得到

积分后的结果

就等于负的2πa

我们定义这个值为Γ通过换算

我们就可以得到a等于负的Γ除以2π

在这里我们称Γ为点涡的强度

如果Γ大于零为逆时针的涡

如果Γ小于零为顺时针的涡

对应的复势就可以表示为

Wz等于负i乘以Γ除以2π再乘以个lnz

下面我们介绍第四个平面势流偶极子

偶极子对应的复势是实系数的反比例函数

表示为Wz等于a除以z

我们同样可以求解出复速度

复速度就是我们如图的这个形式

我们可以看到

这种流动它的流线是直径

在y轴上的一些圆

而且这些圆是共弦的

这个流线还要通过我们的圆点

我们在许多教科书上

我们可以看到偶极子

其实也可以表示为等强的点源和点汇的叠加

如果我们把点源放在圆点的左边强度为q

点汇放在圆点的右边强度也为q

它们的距离我们表示为Δh

我们在这里定义q乘以Δh

等于m是一个常数

偶极子就是在这种条件下

q趋于无穷

Δh趋于零的极限情况

这个时候我们就可以推导出来复势

就可以表示为Wz等于m除以个2πz

所以这个实系数

可以表述为m除以一个2π

在这里m被定义为偶极子的强度

一般来说我们定义偶极子的方向

为汇指向源的方向

这样的话

如果m大于0

就是指向负x轴的偶极子

如果m小于零

就是指向正x值的偶极子

通过推导的话我们得到偶极子的复势

可以表示为Wz等于个m除以一个2πz

我们前面说过平面势流的势函数和流函数

都满足线性的拉普拉斯方程

这样可以将简单的势流进行叠加得到复杂的势流

我们前面介绍的偶极子就是源和汇的叠加

下面我们采用势流叠加的方法

求解均匀来流的圆柱绕流问题

圆柱绕流可以看为等速直线流动和平面偶极子的叠加

如果考虑来流方向为x方向

那么叠加后的复势

就可以表示为Wz等于U

无穷z加上m除以一个2πz

同样的话

我们可以分别表示出来流函数是这样一个形式

我们前面用流函数的时候

说过我们的壁面是一个流函数

因此我们这里考虑一个圆形的流线

就是U无穷r减去m除以2πr等于零

然后我们可以求解出来

r等于根号下m除以个2πU无穷

这个流线

可以认为是圆柱的圆周

假设半径为r

通过上面的式子可以反求出偶极子的强度m

这样的话

我们就可以得到势函数流函数

流速分布压强分布这些物理量

我们从我们这个图上可以看到

我们用势流叠加的办法得到的势函数

流函数和前面的结果是完全一样的

下面我们就观察圆周表面的速度和压力的变化

如果我们令r等于a

那么我们就可以得到ur等于零

uθ就等于负2乘以U无穷sinθ

从表达式和分布图上我们可以看到当θ等于零

或者θ等于π的时候

对应的是圆柱的前后两个点

流速为零

我们称这两个点为驻点

当θ等于二分之一π

或者θ等于二分之三π的时候

对应的是圆柱上下两个点

流速是2倍的U

这个流速是无穷远流速的2倍

下面我们再看压力的分布

从这个分布上我们可以看到流体

从无穷远流到前驻点的时候

流速减小为零

压强增加到最大

然后流体沿着柱面向两侧流动

流速逐渐增大

而压强则逐渐减少

到达二分之π

或者是二分之三π的时候

流速达到最大值

而压强达到最小值

其后流体沿着柱面继续流动

流速逐渐减小

压强逐渐增大

一直到圆柱后面的驻点从这个分布来看

圆柱壁面上的流速分布和压强分布

围着x轴对称

也围绕y轴对称

因此我们就可以得到

它的合力就等于零

这个结果

和我们实际的结果不符

和我们实验室的结果也不符

这种情况在流体力学上

称为达朗贝尔谬误

之所以出现这种情况

是因为我们前面的分析

都是在理想流体的假设下进行的

而在实际的流体由于粘滞力的作用

流体还没有达到后驻点流速就减小为零

这样在逆向压强的作用下

就会产生流动的分离

导致上下柱面压强分布的不对称

从而就形成了绕流阻力

这些内容我们将在后面的学习中继续讨论

水力学课程列表：

第0章课程介绍

-水力学课程介绍

--水力学课程介绍

第1章绪论

-1.1 流动性和连续介质假设

--流动性和连续介质前半段

--流动性和连续介质后半段

-1.1 流动性和连续介质假设--作业

-1.2 流体的主要物理性质

--粘滞性

--压缩性

--表面张力

-1.2 流体的主要物理性质--作业

-1.3 作用在流体上的力

--作用在流体上的力

-1.3 作用在流体上的力--作业

-1.4 小结

--小结

-第1章绪论--课后作业

第2章静力学

-2.0 序言

--序言

-2.1 流体静压强及其特性

--静压强

-2.1 流体静压强及其特性--作业

-2.2 流体平衡微分方程

--平衡微分方程

-2.2 流体平衡微分方程--作业

-2.3 重力场中液体静压强的分布

--静压强分布

-第2章静力学--2.3 重力场中液体静压强的分布

-2.4 作用在平面上的液体总压力

--平面上液体总压力

-第2章静力学--2.4 作用在平面上的液体总压力

-2.5 作用在曲面上的液体总压力

--曲面上液体总压力

-第2章静力学--2.5 作用在曲面上的液体总压力

-2.6 液体的相对平衡

--液体相对平衡

-2.6 液体的相对平衡--作业

-2.7 实验一

--实验一

-2.8 小结

--小结

-第2章静力学--课后作业

第3章流体运动学

-3.0 序言

--序言

-3.1流体运动的描述方法

--流体运动描述方法前半段

--流体运动描述方法后半段

-3.1流体运动的描述方法--作业

-3.2 有关流体的几个基本概念

--基本概念01

--基本概念02

-3.2 有关流体的几个基本概念--作业

-3.3 流体微团运动的分析

--微团运动分析

-第3章流体运动学--3.3 流体微团运动的分析

-3.4 连续性方程

--连续方程

-3.4 连续性方程--作业

-3.5 小结

--小结

-第3章流体运动学--课后作业

第4章流体动力学基础

-4.0 序言

--序言

-4.1 运动流体的应力状态

--应力状态

-第4章流体动力学基础--4.1 运动流体的应力状态

-4.2 流体运动微分方程

--微分方程

-第4章流体动力学基础--4.2 流体运动微分方程

-4.3 理想流体恒定元流的能量方程

--元流能量方程前半段

--元流能量方程后半段

-第4章流体动力学基础--4.3 理想流体恒定元流的能量方程

-4.4 恒定总流的能量方程

--恒定总流能量方程 1

--恒定总流能量方程 2

--恒定总流能量方程 3

-4.4 恒定总流的能量方程--作业

-4.5 恒定总流的动量方程

--恒定总流动量方程

-4.5 恒定总流的动量方程--作业

-4.6 实验二、实验三

--实验二

--实验三

-4.7 小结

--小结

-第4章流体动力学基础--课后作业

第5章有旋流动和有势流动

-5.1 有旋流动

--有旋流动1

--有旋流动2

-第5章有旋流动和有势流动--5.1 有旋流动

-5.2 有势流动

--有势流动

--有势流动2

-第5章有旋流动和有势流动--5.2 有势流动

-5.3 平面势流及势流叠加原理

--平面势流及势流叠加原理

-5.3 平面势流及势流叠加原理--作业

-5.4 小结

--小结

-课后作业--作业

第6章流动阻力和能量损失

-6.0 序言

--序言

-6.1 流动阻力和能量损失的两种形式

--流动阻力与能量损失

-6.1 流动阻力和能量损失的两种形式--作业

-6.2 粘性流体的两种状态

--粘性流体两种状态1

--粘性流体两种状态2

-6.2 粘性流体的两种状态--作业

-6.3 沿程损失与切应力之间的关系

--沿程损失与切应力

-6.3 沿程损失与切应力之间的关系--作业

-6.4 圆管中的层流运动

--圆管中的层流

-6.4 圆管中的层流运动--作业

-6.5 紊流运动简介

--紊流运动简介1

--紊流运动简介2

-6.5 紊流运动简介--作业

-6.6 紊流沿程损失的分析与计算

--紊流沿程损失

-6.6 紊流沿程损失的分析与计算--作业

-6.7 管流的局部损失

--管流的局部损失

-6.7 管流的局部损失--作业

-6.8 实验四、实验五

--沿程水头损失量测实验

--局部水头损失量测实验

-6.9 小结

--小结

-第6章流动阻力和能量损失--课后作业

第7章量纲分析和相似原理

-7.0 序言

--序言

-7.1 量纲和谐原理

--量纲和谐原理

-7.1 量纲和谐原理--作业

-7.2 量纲分析法

--量纲分析法

-第7章量纲分析和相似原理--7.2 量纲分析法

-7.3 流动相似原理

--流动相似原理

-7.3 流动相似原理--作业

-7.4 模型试验

--模型试验

-第7章量纲分析和相似原理--7.4 模型试验

-7.5 小结

--小结

-课后作业--作业

第8章边界层理论基础与绕流运动

-8.0 序言

--序言

-8.1 边界层的基本概念

--基本概念1

--基本概念2

-8.1 边界层的基本概念--作业

-8.2 边界层微分方程

--微分方程

-8.2 边界层微分方程--作业

-8.3 边界层的动量积分方程

--动量积分方程

-8.3 边界层的动量积分方程--作业

-8.4 边界层的分离现象

--分离现象

-8.4 边界层的分离现象--作业

-8.5 绕流阻力

--绕流阻力

-第8章边界层理论基础与绕流运动--8.5 绕流阻力

-8.6 小结

--小结

-课后作业--作业

第9章孔口、管嘴出流有压管流

-9.0 序言

--序言

-9.1 孔口出流

--孔口出流

-9.1 孔口出流--作业

-9.2 管嘴出流

--管嘴出流

-第9章孔口、管嘴出流有压管流--9.2 管嘴出流

-9.3 简单管道的恒定有压流

--管道恒定有压流1

--管道恒定有压流2

-第9章孔口、管嘴出流有压管流--9.3 简单管道的恒定有压流

-9.4 简单长管的恒定有压流

--简单长管恒定有压流

-第9章 --9.4 简单长管的恒定有压流

-9.5 复杂长管的恒定有压流

--复杂长管恒定有压流

-9.5 复杂长管的恒定有压流--作业

-9.6 管网中的恒定有压流计算基础

--管网恒定有压流

-第9章 --9.6 管网中的恒定有压流计算基础

-9.7 非恒定有压管流

--非恒定有压管流1

--非恒定有压管流2

-9.7 非恒定有压管流--作业

-9.8 小结

--小结

-第9章孔口、管嘴出流有压管流--课后作业

期末考试

-1.判断题--作业

-期末考试--2.填空题

-3.单项选择题--作业

-4.多项选择题--作业

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