势能 机械能守恒定律在线视频

同学你好

前面我们介绍了动能 动能定理

今天我们继续介绍势能

并且得到机械能守恒定律

什么是势能呢

我们首先来看几种力做功的情况

重力做功

质点m在重力作用下

由初位置a沿某一路径到达末位置b

初位置坐标ya末位置坐标yb

我们去求这一过程中重力所做的功

按照功的计算公式F点积dr从a积到b

由于重力只有y方向上的分量

由于重力只有y方向上的分量

所以我们把这个积分式子进一步写成 Fydy

重力的方向是向下的

而我的y轴正向是向上的

所以Fy写成-mg

积分结果就等于mgya-mgyb

可见重力做功只与物体移动的初末位置有关

与具体的路径没有关系

我们再来看弹簧的弹性力所做的功

小物体在弹簧的弹力作用下

水平面上运动

我们以弹簧原长的位置为坐标原点

水平向右的方向为x轴正向

物体由初位置xa运动到末位置xb

我们求这个过程中弹簧的弹力所做的功

根据功的计算公式F点积dr去做积分

弹簧的弹力只在x轴上有分量

所以我们把它写成Fxdx的积分

根据胡克定律 Fx等于-kx

所以积分结果就等于1/2kxa方减1/2kxb方

可见这一结果

也是只和物体移动的初末位置有关

跟中间过程没有关系

再来看万有引力所做的功

小m在大m产生的万有引力作用下

由初位置a沿某一路径移动到末位置b

这一过程中万有引力所做的功可以写成F点积dr积分

我们用 er来表示

由大m指向小m这个方向的单位矢量

这个式子我们可以进一步的写成这样的形式

负的GMm除以r方乘上单位矢量er就是万有引力的矢量表示式

我们要积出结果

那就需要找到er和dr矢量点积的结果

两个矢量点积

等于两个矢量大小相乘乘以夹角的余弦

如果 dr矢量和er矢量所夹的角度

我们记为φ

那么点积结果就是dr乘上cosφ

从图上我们去做分析dr乘上cosφ

那也就相当于我们从dr矢量的箭头端

去做er的垂线 垂足为p

dr乘上cosφ就是这一段的长度

那么这一段的长度到底应该表示成什么呢

我们再来看

由于质点发生的是微小的位移dr

因此这个角度应该是非常小的

所以在直角三角形中

斜边的长度和直角边的长度应该是一样的

那么这个长度是r加dr 这个长度是r

因此这个长度就是dr

所以这个结果直接就等于dr

我们把它代到上面的表达式中

积分结果就可以写成负的GMm乘上括号ra分之一减去rb分之一

我们又看到了相同的结论

万有引力所做的功

只和物体移动的初末位置有关

跟物体中间的移动过程是没有关系的

由上述的讨论 我们可以看到

三种力做功的共性

那就是功的数值只和物体的始末位置有关

和具体的路径没有关系

我们把这样的力就称之为保守力

常见的保守力

包括重力、 弹簧的弹力、 万有引力， 还有静电力

跟保守力对应的就是非保守力

做功和路径相关

最典型的就是摩擦力

明确了保守力的概念

我们大家思考这样一个问题

如果我们让物体沿闭合路径移动一周

那么保守力做的功是多少呢

很显然闭合路径

意味着物体的初末位置是相同的

所以功的值应该是0

既然保守力做功

只和物体移动的初末位置有关

和路径无关

那么我们可以设想

当一个物体只在保守力作用下

由相同的初位置

沿不同的路径到达相同末位置时

物体的动能变化是相同的

那么我们从另一个角度分析这个问题

可以认为在保守力做正功时

蕴含在空间位置中的某种形式的能量被转化出来

转化成动能

表现为动能增加

当保守力做负功时

这种与空间位置相关的能量又被储存起来

体现为动能的减少

因此与保守力相对应的 我们可以引入

这种与空间位置相关的能量叫做势能

用Ep来表示

保守力所做的功就可以写成

相应的势能的减少量

或者写成势能增量的负值-ΔEp

由这样的一个关系式

我们就可以找到某一点处势能的表示方法

A点处的势能可以写成Epa等于由a积分到b保守力的功加上Epb

也就是说 a点处的势能等于

把物体由该位置移动到b位置

保守力所做的功再加上 b位置处的势能

那么如果我们让Epb等于0

也就是把b点选作零势能点

我们就得到了a点处势能的最后计算公式

a点处的势能就等于

把物体由 a位置移动到零势能点

保守力所做的功

积分上限中括号0表示的是0势能点

根据势能的这一计算公式

我们就可以得到

保守力相应的势能函数的表达形式

那么我们再回过头来看看前面提到的

重力 弹性力和万有引力相应的势能

分别是什么形式

首先重力势能

为了方便我们把零势能点

选在y等于0这个位置处

根据前面功的计算过程 我们可以得出

重力势能等于负mgdy从y积分到零势能点

也就是y=0的位置

积分结果就是mgy

弹簧的弹性势能

最简单的情况

我们是把弹性势能零点取在弹簧原长的位置

x=0的这个地方

那么弹性势能的计算公式就可以写成-kxdx由x位置积分到零势能点x=0

积分结果就是1/2kx方

这是我们经常会用到的弹性势能的表达式

最后万有引力势能

我们把两物体相距为无穷远这个状态

作为万有引力势能的零点

得到万有引力势能的表达式

最终的结果是 -GMm/r

也就是在这样一个零势能点的前提下

在有限远处 万有引力势能都是负值

对于势能我们需要大家注意以下几个方面

首先势能是空间位置的函数

所以它是一个状态量

根据我们前面得到的势能的计算公式

我们可以看出势能的值

是和零势能点的选取位置相关的

因此势能是一个相对量

这里我们得到的重力势能

弹性势能和万有引力势能

是在这样的零势能点的选取前提下的形式

如果零势能点选取位置不同

那么得到的势能表达式就不是这样的形式

最后提到势能一定会有一种保守力存在

而保守力一定是两个物体之间产生的力

所以这个势能

是产生保守力相互作用的这两个物体

构成的系统共有的

我们经常提到的某一个物体所具有的势能

实质上是一种简化的说法

明确了势能的概念

我们就可以进一步根据之前的

质点系的动能定理

找到功能原理 机械能守恒定律的形式

这是我们之前得到的质点系的动能定理

质点系里所有的外力的功与所有内力功加和

等于质点系动能的增量

我们把内力

做保守内力和非保守内力的区分

当我们研究问题的时候

把产生保守力的物体都作为质点系内部的质点

那么保守力只会存在于质点系的内力中

我们进一步的把内力分成

保守内力和非保守内力的加和的形式

根据刚才的知识

我们又知道保守力所做的功

又等于相应的势能增量的负值

我们把这里边保守内力的功用它去替换

就可以得到这样的表达式

外力的功与非保守内力的功

等号右边是Ek加上Ep减去Ek0加上Ep0

如果我们定义Ek+Ep为E 叫做机械能

那么等号右边就是系统

末状态与初状态机械能的差值

最后的表达式写成

外力的功加上非保守内力的功

等于系统机械能的增量

这就是质点系的功能原理的形式

它告诉我们

外力做功和非保守内力做功

可以改变系统的机械能

而保守内力做功

则只会使系统动能和势能之间发生转化

不会改变系统的机械能

需要明确的是这里边

如果我们的质点系内部是有多种保守力存在的话

这里的势能应该是多种保守力相应的势能的加和

从这个式子中我们还可以看到

如果等号左边外力和非保守内力做功之和等于0

我们就可以得出等号右边

E等于Ek加上Ep是一个常量

这就是机械能守恒定律

它是我们自然界中

能量守恒定律的一种具体的表现

好 到现在为止我们就学完了

功和能量之间的所有相互关系

接下来我们来看这样一道例题

一个轻弹簧的一端

系在铅直放置的圆环的顶点P处

另一端系着一个质量为小m的小球

小球穿过圆环并在环上运动 不计摩擦

开始的时候小球静止于A点

弹簧处于自然状态

长度为圆环的半径R

当小球运动到圆环的底端B点的时候

小球对圆环没有压力

我们要求弹簧的劲度系数是多少

我们首先来分析一下这个问题

运动的是小球

小球从A位置运动到B位置的过程中

受到的力是弹簧的弹力 自身的重力

另外就是圆环给小球的支持力

弹力和重力都是我们说的保守力

那么我们在研究这个问题的时候

把产生保守力的物体都作为质点系内部的质点

所以我们把弹簧 小球和地球

作为我们的研究对象 质点系

这个质点系受到的外力

包括弹簧端点这个位置处

环儿给弹簧施加的力

还有环给小球的支持力

在小球运动的过程中

由于弹簧的端点处没有发生位移

所以这个位置处的力是不做功的

而小球受到的支持力的方向

始终和小球的运动方向相互垂直

对小球也不做功

因此我们这个质点系没有外力做功

内力中弹簧的弹力和重力都是属于保守内力

没有非保守内力做功

因此我们的系统满足机械能守恒

从初位置A到达末位置B机械能应该是一样的

我们把B点作为重力势能的零点

把弹簧原长的状态作为弹性势能的零点

列出A位置、B位置机械能守恒的方程

A位置处的机械能

因为A是处于静止状态的

所以没有动能

弹簧是处于自然长度的 弹性势能为0

那么A位置处的能量就只有重力势能

B位置处弹簧的形变量是 R

所以有弹性势能1/2kR方

重力势能为0

速度我们用v来表示

那么B位置处的动能就是

所以我们写出机械能守恒的方程是这样的形式

这里我们找到了v和k之间的一个关系式

要求解出来k我们还需要找到另外一个关系式

我们就利用题中的条件

在B位置处时小球对环是没有压力的

那就意味着在B位置处

弹簧的弹力和小球自身的重力

充当了这个位置处圆周运动的向心力

因此我们可以列出 kR-mg等于mv方比上R

将两个方程联立

我们就可以最终求解出来弹簧的劲度系数k

好 我们今天给大家介绍的

就是势能的概念和功能原理

机械能守恒定律

今天就到这里