刚体的角动量及转动定律在线视频

赵原源副教授

燕山大学理学院

大学物理系教师

研究方向 微结构光纤

同学们 大家好

今天我们这节课来看一下

刚体的角动量及转动定律的应用

首先我们来复习一下

前面一节课学过的内容

前面一节课我们曾经学习过

一个质点对一个参考点

的角动量是什么

大家知道

质点对一个参考点的角动量

l等于r差乘p

这里的l就是

质点对定点的角动量

r就是质点对定点的净矢

p是质点的动量

所以角动量又可以写成

r差乘mv

m是质点的质量

v是它的速度

大家知道一般的一个刚体

绕定轴做转动的时候

实际上刚体上的每一个质元

都在绕着轴上的一个固定点

做圆周运动

那么每一个质元

对该点的角动量实际上

就等于质元对轴的角动量

因此如果我们选定一个刚体

在刚体上选择任意一个质元

第i个质元

那么对这个参考点的角动量

li就等于ri Δmi vi

这里面的li

就是质元对参考点的角动量

ri是质元对参考点的净矢

Δmi是质元的质量

vi是该质元的速度

这个角动量我们又可以把它写成

是ri的平方Δmi

乘以刚体转动时的角速度

所以一个刚体绕着一个定轴

做转动的时候

刚体对这个轴总的角动量

那么就等于这个刚体上

所有的质元

对这个轴的角动量之和

因此我们可以得到

这个角动量它就等于Σli

进一步地等于ΣΔmi

ri的平方乘以角速度

等于j乘角速度

这里面的j就是刚体绕定轴

转动时的转动惯量

j等于ΣΔmi ri的平方

一个刚体对一个转轴的转动惯量

是属于刚体本身物理属性的量

一旦一个刚体和轴确定了之后

那么这个刚体对轴的转动惯量

就是一个定值

现在我们大家已经知道了

刚体的角动量l等于

转动惯量与角速度的乘积

那么通过前面的学习

大家又知道

一个缸体所受到的合外力矩m

等于角动量随时间的变化率

因此我们把角动量等于

转动惯量乘以角速度

带入到上面这个式子中

就可以得出

刚体所受到的合外力矩

应该等于转动惯量

与角速度的乘积

随时间求一阶导数

一般地来说转动惯量是一个常数

所以我们可以把它

提到求导后的前面去

写成如下这样的形式

也就是合外力矩等于

转动惯量乘以角速度

对时间求一阶导数

大家又知道

角速度对时间求一阶导数

等于什么呢

等于角加速度

所以说合外力矩就等于

转动惯量与角加速度的乘积

因此我们可以知道

如果一个刚体

绕定轴做转动的时候

那么这个刚体所受到的合外力矩

就等于刚体的转动惯量

与其角加速度的乘积

这就是刚体绕定轴

转动时的转动定律

这个转动定律

是一个非常重要

又非常有意义的定律

它有很多的应用的地方

下面我们就通过一个例题

来看一下这个定义的应用

例题 一个质量为m

半径为r的定滑轮

这个定滑轮

我们可以当作匀质圆盘

在它的上面绕有一个细绳

细绳的一端固定在滑轮的边上

另外一端挂一个

质量为m的物体而下垂

忽略轴处的摩擦

现在让大家求物体m

由静止外开始下落

当下落高度为h时的它的速度

和此时滑轮的角速度

好 首先我们可以

分析一下这个题目

从题目中可以看出

这个系统里面

包括定滑轮和物体

定滑轮我们可以把它当作刚体

物体可以当作一个质点

那么我们分别对定滑轮和物体

可以进行受力分析

首先我们对定滑轮进行受力分析

定滑轮受到三个外力

一个是它的重力

另外一个是轴处的支持力

以及绳子对它的拉力

在这三个力中

我们发现重力和轴的

对它的支持力平衡掉

那么因此定滑轮所受到的外力

就是绳子的拉力

它对定滑轮产生的力矩m一撇

等于拉力t的大小

乘以滑轮的半径r

根据刚才我们所学习的

刚体定轴转动的转动定律

那么这个力矩又可以写成

滑轮的转动惯量

与角加速度的乘积

对于定滑轮来说

可以当作匀质圆盘

那么它的转动惯量就等于

1/2滑轮的质量

乘以滑轮的半径的平方

对m这个物体来说

它受到两个作用力

一个是重力 一个绳子的拉力

那么我们可以根据牛顿第二定律

重力减去绳子的拉力

就等于物体的质量

乘以它的加速度

同时根据角量与线量的关系

大家可以知道

在物体上所产生的加速度

就等于滑轮的半径乘以角加速度

这几个式子我们放到一起

可以看成一个方程组

通过解这个方程组

我们就可以得到

物体m在下落的时候

它的加速度

以及通过加速度可以求出

物体此时的速度v

进而由角量与线量的关系

可以求出滑轮在转动时的

它的角速度

好 这节课我们就到这里

谢谢大家