当前课程知识点：大学物理 > 第五章 刚体力学基础 > 5.2 刚体的转动惯量 > 刚体的转动惯量
王晓颖讲师
燕山大学理学院
大学物理系副主任
研究方向 金属玻璃结构
和力学性能的分子动力学研究
同学们 大家好
这次课我们给大家来介绍一下
转动惯量及其计算方法
我们通过一个具体的例子
给大家先分析一下
下面的一个问题
一个质量均匀分布的圆盘
绕着通过中心的转轴
以角速度ω转动
我们在圆盘上取一个
质量为多少Δmi质点
它的速度是vi
到轴的距离为2i
那么这个质点的动能
我们可以写成
Δeki等于1/2Δmi vi的平方
这个圆盘绕着轴转动的总动能
就等于ek等于1/2Δmi vi的平方
求和 这里边的求和
就是指的我们在圆盘上
每一个位置取质量元Δmi
取遍圆盘上所有的位置
然后求和
最终总动能ek可以写成
1/2ΣΔmi 2i的平方
括号乘以ω的平方
这里我们令J等于ΣΔmi 2i的平方
那么圆盘的总动能就可以写成
ek等于1/2Jω方
它就代表了圆盘绕着轴转动时
总的能量
那么这个和我们说的转动惯量
之间有什么关系呢
现在我们来比较一下这两个公式
1/2mv方 1/2Jω方
那么都知道1/2mv方
代表一个质点的动能
1/2Jω方呢
是刚体转动的动能
这两个公式之间进行比较
我们就会发现
m和J有对应关系
v和ω有对应关系
我们知道m代表物体的惯性
也就是代表描述
它的运动状态
改变的一个难易程度
因此我们可以推论出
J应该代表一种惯性
也就是描述刚体转动时的惯性
下面我们给出一个
比较严格的定义
刚体的转动惯量
J等于ΣΔmi 2i的平方 求和
这里边希望同学们要注意两点
第一点就是刚体的转动惯量
是描述刚体转动状态
改变难易程度的物理量
第二点通过公式
我们很容易可以看出来
就是这个转动惯量呢
不但和质量有关系
还和质量到转轴的距离有关
也就是与质量的具体分布有关
而且我们也可以很轻易地得到
一个结论
就是说在质量一定的情况下
质量离轴越远
那么它对转轴的转动惯量就越大
下面我们通过一个具体的例子
来给大家讲解一下
如何计算转动惯量
刚才我给出了转动惯量的定义
J等于ΣΔmi 2i的平方
但是很多实际的物体
它的质量都是连续分布的
所以说如果质量是连续分布的话
这里的求和将变成积分
J等于r方dm积分
一般来说质量的分布呢
每种物体都不一样
这里具体分成三种情况
第一种情况线分布
也就是说我们不考虑
质量沿着横截面上的具体分布
我们把质量假想
分布在一条几何线上
我们可以在线上取一个线元dl
它的质量是dm
那么dm除以dl
就是线元的线密度
因此dm可以写成
dm等于λ乘以dl
λ就代表线密度
与此类似
如果质量分布在一个面积上
那我们不考虑质量
沿着厚度方向的分布
那么可以取一个面积元ds
它的质量是dm
那么dm就可以写成Σ乘以ds
Σ代表面密度
如果质量是分布在一个
空间体积里面
这是第三种情况
我们可以取一个体积元dv
它的质量是dm
dm等于ρdv
ρ代表体密度
这里要提醒同学们
一般来讲
线密度λ 面密度Σ 体密度ρ
都是空间坐标的函数
在不同的位置
它们的数值可能要连续发生变化
所以我们在求转动惯量的时候
同时要做积分
我们来求一个
质量为m 长度为l的杆儿
绕着不同的轴的转动惯量
如图 我们一开始把转轴
放在杆儿的左侧
沿着竖直方向
我们可以这样建立坐标
以左侧为坐标原点
在坐标x处取一个线元dx
线元的质量的dm
可以写成λ乘以dx
λ是杆儿的线密度
λ等于m除以l
那么按照我们刚才
所给出来的定义
绕着左侧的轴转动的转动惯量
就可以写成下边这个积分
不用Ja来表示
那么计算出来的结果呢
Ja等于1/3ml的平方
现在我来改变转轴的位置
我们把转轴移动到杆儿的中心
计算方法跟刚才是一样的
只不过我们要把它的上下线
改变一下
我用Jc来表示
绕着中心轴转动时的转动惯量
那计算出来的结果
Jc等于1/12ml的平方
那么通过这个例子
我很快可以发现
同一个杆儿
只是绕着不同的转轴去转动
那么它对应的转动惯量
算出来结果是不一样的
与我们前边分析的结果是一样的
就是说刚体的转动惯量
不但和质量有关
还和质量的分布有关系
下边我们给大家介绍一下
平行轴定理
上边那个例子里边
Jc表示的是通过质心的
轴的转动惯量
Ja表示通过杆儿的左端的
轴的转动惯量
那么刚才那两个轴是平行的
它们这两个轴之间的距离是l/2
我们发现Ja ac之间
满足下面的关系
Ja等于Jc加上m乘以l/2的平方
那这个并不是一个特例
上述结论可以推广到更一般的情况
Ja等于Jc加上md的平方
Jc代表绕着穿过质心的轴
它的转动惯量
Ja代表与穿过质心这个轴平行
它们之间的距离为d
那么绕着这个轴转动的转动惯量
这个结论我们称之为平行轴定理
但是这里我要提醒大家一下
应用平行轴定理的时候
我们千万要注意一个问题
比如现在我们有一个
用虚线表示的轴
虽然它与穿过质心的轴的距离
也是d
但是这个刚体绕着这条
虚线的这个轴
转动的转动惯量
我们不能用平行轴定理来求
因为这条线和穿过质心的这个轴
二者并不是平行的关系
将来我们在应用
平行轴定理的时候
大家一定要注意这个问题
好了 这一节课我们就到这
-1.1 质点运动状态的描述
--1.1.2 讨论
-1.2 圆周运动
--自然坐标系
--1.2.2 讨论
-1.3 习题
-作业 质点运动学
-2.1 牛顿运动定律及其应用
--运动与力
--2.1.2 讨论
-2.2 习题
-作业 牛顿运动定律
-3.1 功和动能定理
--3.1.2 讨论
-3.2 势能和机械能守恒
--3.2.2 讨论
-3.3 习题
-作业 功和能
-4.1 动量定理和动量守恒定律
--4.1.2 讨论
-4.2 习题
-作业 冲量和动量
-5.1 角动量和角动量定理
--角动量
--5.1.2 讨论
-5.2 刚体的转动惯量
--刚体的转动惯量
-5.3 转动定律
-5.4 转动中的功和能
--转动中的功和能
-5.5 习题
-作业 刚体力学基础
-6.1 简谐运动
--简谐运动方程
--6.1.3 讨论
-6.2 简谐运动的合成
--简谐运动的合成
-6.3 阻尼振动 受迫振动和共振
-6.4 习题
-作业 机械振动基础
-7.1 简谐波
--简谐波的波函数
-7.2 波的干涉
--波的干涉
--7.2.2 驻波
-7.3 多普勒效应
-7.4 习题
-作业 机械波
-8.1 热力学第一定律
--热容和摩尔热容
--绝热过程
--循环效率的计算
--卡诺循环
-8.2 热力学第二定律
-作业 热力学
-9.1 压强 温度和理想气体状态方程
--理想气体的压强
--温度的统计解释
-9.2 分子热运动的统计规律
-作业 气体动理论
-10.1 电场和电场强度
--重点、难点指导
--高斯定理
--作业 电场和电场强度叠加
-10.2 电势能和电势
--重点、难点指导
--电势
--电势的计算
--电势梯度
--作业 电势和电势能
-10.3 静电场中的导体
--重点、难点指导
--尖端放电
--作业 静电场中的导体
-10.4 静电场中的电介质
--重点、难点指导
--电容 静电场能量
--作业 静电场中的电介质
-11.1 磁场和磁感应强度
--重点、难点指导
--磁场和磁感应强度
--毕奥-萨伐尔定律
--磁场中的积分定理
--作业 稳恒磁场的磁感应强度
-11.2 磁力作用
--重点、难点指导
--作业 磁力
-11.3 磁介质
--重点、难点指导
--磁场中的磁介质
--作业 磁介质
-12.1 电磁感应的基本规律
--动生电动势
--感生电场的计算
-12.2 互感、自感和磁能
--互感 自感
--磁场能量
--位移电流
-作业 电磁感应
-13.1 光的干涉
--重点、难点指导
--相干光
--杨氏双缝干涉
--讨论
--等倾干涉
--等厚干涉
--作业 光的干涉
-13.2 光的衍射
--重点、难点指导
--单缝夫琅禾费衍射
--光栅衍射
--作业 光的衍射
-13.3 光的偏振
--重点、难点指导
--光的偏振态
--马吕斯定律
--布儒斯特定律
--作业 光的偏振
