位矢 速度和加速度在线视频

同学你好

这一章我们介绍质点运动状态的描述

这一章里涉及到的问题主要有

什么是参考系

描述质点运动状态的物理量有哪些

例如有质点的位置矢量

位移 速度和加速度

首先我们讲讲参考系和坐标系的概念

大家知道运动是普遍的 绝对的

小到分子 粒子 大到日月星辰

无时无刻不在做着运动

没有运动就没有世界

但运动的描述是相对的

比如人造卫星的运动

在地球上看 它围绕地球做椭圆运动

那么如果以太阳为参考

因为地球一方面在自传

一方面又围绕太阳在公转

所以从太阳上去看 卫星做的就是螺旋运动

所以同一个物体的运动

如果我们取的参考系不一样

那么看到的它的运动也是不一样的

这个就叫做运动描述的相对性

一般在研究机械运动的时候

我们总是要选择一个物体作为参考

这个选作参考的物体就叫做参考系

为了做定量的描写

需要在参考系上选用一个固定的坐标系

常用的坐标系有直角坐标系

极坐标系和自然坐标系等等

实际上坐标系就是参考系的数学抽象

下面我们来说一个概念

质点 什么是质点呢

简单的说

如果一个物体它的大小和形状

在所研究的问题中不起作用或者作用很小

那我们就可以忽略这个物体的大小和形状

而把物体抽象为只有质量的这样一个点

这样的研究对象 在力学中称为质点

接下来我们介绍几个基本的物理概念

第一个 位置矢量 简称位矢

描述一个质点在空间的位置的矢量就叫做位矢

我们来看这里

空间有一个P点 它就是质点所处的地方

我们如何来说明它的位置呢

首先我们可以用直角坐标系中的三个坐标

xyz来表示它的位置

我们也可以这样做

从坐标原点向P点做一个有向线段

有向线段也可以用来表示质点的位置

我们把这个有向线段就叫做P点的位置矢量

简称位矢

xyz是p点沿着三个坐标轴方向的坐标

如果我们引入单位矢量的概念

i j k分别代表三个方向上的单位矢量

那么我们就可以导出

位置矢量和坐标之间的关系

位置矢量就可以表示成xi+yj+zk

现在我们来看一下位置矢量的大小

什么是位置矢量的大小呢

就是线段OP的长度

它代表质点到坐标原点的距离

所以由图中可以看出OP的长度

也就是位置矢量的大小

就等于三个坐标分量的平方和再去开方

下面我们介绍质点的运动方程

一个质点在运动的时候

它的坐标和位置矢量都要随着时间变化

所以它们都可以表示为时间t的函数

简单的说位置矢量和坐标跟时间的关系

就叫做质点的运动方程

如果将运动方程的三个分量形式里面的参数t消去

就可以得到坐标间满足的方程

这个方程就叫做质点的轨迹方程

下面我们来介绍一下位移和路程的区别

如果一个质点沿这样一个曲线进行运动

t时刻在A点 t加Δt时刻在B点

那么我们就可以由起点A向终点B

做一个有向线段

这个有向线段我们就称为质点在Δt时间内的位移

而从A到B的路径的总长度

就称为这段时间的路程

下面我们来证明

位移是位置矢量在Δt时间内的增量

我们首先做出t时刻质点的位置矢量rA

然后做出t加Δt时刻的位置矢量rB

那么我们由矢量减法的原则就可以知道

位移等于t加Δt时刻的位置矢量rB减去t时刻的位置矢量rA

所以 这就是x轴方向的质点的位移

这是y轴方向质点的位移

这是z轴方向质点的位移

那么一个质点的位移就可以表示成

三个坐标轴方向位移的矢量和

而位移的大小就可以表示为

三个坐标轴方向位移分量的平方和再开方

另外需要强调的是

坐标的增量是位移而不是路程

只有质点沿直线运动且不改变方向时

两者的大小才相等

位移代表的是位置的变化 是矢量

它的大小是有向线段AB的长度

是Δr的模

路程则表示路径的长度

是标量

它的大小是曲线AB的长度

一般情况下 Δs和Δr的模并不相等

只有质点沿直线运动 且不改变方向时 两者的大小才相等

另外需要强调的是 Δr的模不等于Δr

Δr的模代表位移的长度

Δr则代表位置矢量长度的变化

所以二者是不相等的

接下来我们介绍一下质点的速度和速率

一般说来 物体在运动的过程中

在不同的时间内

通过的路程和位移是不相等的

假如t时刻质点在A点

t加Δt时刻在B点

那么在这一段时间内 通过的位移是Δr

于是我们就可以定义一个平均概念

质点在Δt时间内的平均速度

就等于单位时间内通过的位移

而平均速率就是单位时间内通过的平均路程

大家注意这里的概念的区别

平均速度是单位时间内通过的平均位移

而平均速率是单位时间内通过的路程

一个是矢量 一个是标量

因为路程和位移的概念不同

所以平均速度和平均速率的概念也不相同

比如我们举一个例子

一个质点经过时间t绕半径r的圆周运动一周

那么在这段时间内 由于它的位移等于0

所以说它的平均速度就等于0

而它的平均速率却不等于0

平均速率等于它通过的圆的周长除以所用的时间

因为平均速度不能反映

物体在某一个时刻运动的快慢

那么要反映一个物体在某一个时刻运动的快慢

我们就要对平均速度取极限

令时间Δt趋近于0

因为当时间趋近于0的时候

就可以描述一个质点在某一时刻运动的快慢

那么时间趋近于零时的平均速度的极限

我们就把它叫做瞬时速度 简称速度

一般我们说速度就指的是物体的瞬时速度

因此我们把物体的速度就定义为

平均速度在Δt趋近于零时的极限

按照导数的定义

那么速度就可以表示成

位置矢量对时间求一阶导数

在直角坐标系里可以表示成

三个方向上的位置矢量

对时间求一阶导数的矢量和

最后速度在直角坐标系里面

就表示成三个方向的分速度的矢量和

所以我们得到一个很重要的概念

质点在t时刻的速度等于位置矢量

对时间的一阶导数

而速率等于路程对时间的一阶导数

在时间趋近零的时候

路程和位移的大小是相等的

所以速度的大小就等于速率

因为速度是矢量 既有大小又有方向

所以说速度的方向由其定义

就可以知道应该是沿轨迹的切线方向

下面我们来看看加速度的概念

假如一个质点沿这样一个曲线进行运动

t时刻在A点 在下一个时刻到达B点

我们知道速度的方向是轨迹的切线方向

A点的速度就是A点做轨迹的切线

B点的速度就是B点做轨迹的切线

这就是这两个时刻的物体的速度

那么在这段时间内速度的增量是多少呢

速度的增量等于末速度减去初速度

那么为了描述速度的变化快慢

我们定义质点的平均加速度

单位时间内的速度的增量就定义为平均加速度

平均加速度反映的是一段时间内

质点速度变化的平均快慢

是一段时间的平均效果

而要反映某一时刻质点的速度变化的快慢

我们就要取极限

于是 我们得到加速度的定义

加速度定义为

时间Δt趋近于零时的平均加速度的极限

这刚好又是一个导数的定义

它就是速度对时间的导数

或者可以看成是位置矢量对时间求二阶导数

因此 我们可以得到加速度的定义

也就是说质点在某一时刻或某位置的加速度

就等于速度矢量对时间的一阶导数

或等于位置矢量对时间的二阶导数

在直角坐标系中 加速度的表示是怎么样的呢

因为加速度是速度对时间的导数

所以说 加速度在x轴方向的分量

就等于x轴方向的速度对时间求导

同理 加速度在y轴方向的分量

就等于y轴方向的速度对时间求导

在z轴方向的加速度

等于z轴方向的速度对时间的导数

或者可以说

x坐标对时间求二阶导数

就是x轴方向的加速度

y轴坐标对时间求二阶导数

就是y轴方向的加速度

同理 z轴坐标对时间求二阶导数就是z轴方向上的加速度

所以 加速度的大小就可以表示成

三个方向上加速度分量的平方和再开方

下面 我们来看一个例题

假如一个质点在平面内运动

我们已经知道这个质点在平面中x轴方向的坐标

以及在y轴方向的初始位置

和y轴方向的坐标对时间的导数形式

这里的b和k都是大于0的常数

现在 我们来求质点的加速度

以及质点的运动方程和轨道方程

我们已经知道质点在x轴方向的坐标

那么 我们由速度的定义就可以知道

x轴方向的坐标对时间求导

就可以得到x轴方向的速度

由加速度的定义

让质点在x轴方向上的速度对时间再去求导

就可以得到质点在x轴方向的加速度

同理 质点在y轴方向上的速度

等于Y轴的坐标对时间的导数

这个形式我们已经知道了

那么 紧接着质点在y轴方向的加速度

由加速度定义可以得到

等于质点在y轴方向的速度对时间求导

这样 质点两个方向上的加速度我们都得到了

就可以写出质点

在直角坐标系里加速度的矢量形式

接下来 我们求质点的运动方程和轨道方程

首先 质点在x轴方向的坐标我们已经知道了

那么 这个方程就是x轴方向的运动方程

我们写出质点在y轴方向上的运动方程就可以了

因为 我们已经知道

质点y轴方向坐标对时间的导数形式

所以 经过分离变量再积分

就可以求出质点在y轴方向的运动方程

这样质点在坐标系中的运动方程形式

我们就可以写出来了

有了运动方程之后 经过消去时间参数t

我们就可以得到质点的轨道方程

好 下面我们再来看一个例题

一个球体在某液体中竖直下落

我们已经知道它的初始速度以及它的加速度

现在我们来求任意时刻

小球的速度以及小球的运动方程

首先 因为小球的运动是一维方向

所以 我们定这个方向为y轴

我们已经知道小球的加速度

所以 我们可以根据加速度跟速度之间的关系

然后经过分离变量和积分

就可以得到小球在任意时刻的速度

同理 我们由小球的速度的定义式

可以知道小球在y轴方向上的位移

等于小球的速度对时间的积分

加上积分条件进行积分运算

就可以得到任意时刻小球的运动方程

通过以上两个例题 我们大家可以看出

质点运动学的两类基本问题

一 已知运动方程

求任意时刻质点的位置矢量 速度和加速度

二 已知加速度和初始条件

求质点的速度及其运动方程

如果我们已经知道某一时刻质点的位置矢量

求速度和加速度

那么 基本方法就是求导

而如果已经知道加速度和初始条件

求质点的速度及其运动方程

基本方法就是积分

好 这节课我们就到这里