功 动能 动能定理在线视频

同学你好

前面我们研究了力对时间的累积效应

定义了冲量

并且得到了动量定理 动量守恒定律

今天我们将研究力对空间的累积作用效应

定义功这一物理量

并且研究功和能量之间的相互关系

功反映的就是力对空间的累积作用效果

我们看一个质点在变力F作用下

沿某一路径从a运动到b

运动路径上我们取微小的位移元dr

在位移元dr上

我们定义力F所做的元功dA等于

F与dr的矢量点积

F与dr所夹的角度为θ

则 dA可以进一步写成

F的大小乘以dr的大小再乘以两者夹角的余弦，那么

a到b整个过程中力所做的总功

就可以写成元功的积分

从这样一个功的定义式中 我们可以看出

功本身是力和位移矢量标积的结果

因此它是一个标量 有正负之分

当A大于0时说明力对物体做正功

A小于0表明力对物体做负功

而A=0 说明力不对物体做功

另外我们看到A是力的线积分结果

往往这一积分结果要和路径相关

因此功是一个过程量

功的单位是焦耳

1焦耳等于1牛顿米

接下来我们对功这样一个计算式来做几点说明

第一 当我们研究的是恒力做功的时候

从功的公式中

我们可以把力F提到积分符号之外

写成 F与dr积分的结果进行点积

很显然dr从初位置积分到末位置的结果

就是位移Δr

因此恒力做功可以直接写成

力与位移Δr矢量点积的形式

在直角坐标系下力和位移

我们都可以写成相应的坐标轴上的分量形式

那么功的计算公式就可以进一步表示成

Fxdx加Fydy加Fzdz的积分结果

我们可以按照这样一个式子去计算功

更为简单的情况

可能我们遇到的力只有某一个方向上的分量

那么我们的积分式子就会进一步简化

如果我们研究的质点受到多个力的作用

那么合力F要写成F1加F2一直加到Fn

那么功的表达式就可以进一步写成这样的形式

我们把这个式子拆分成n项之和

可以看到这里的第1项

F1 dr矢量点积

从a积分到b代表的是F1这个力

在整个过程中对物体所做的功

我们记为A1

同理 这是A2 一直加到An

所以合力的功就等于各分力做功的代数和

说完了功我们很容易会想到

衡量做功快慢的物理量 也就是功率

如果力在Δt时间段内所做的功为ΔA

那么我们用ΔA除以Δt这个量就可以表示出

这段时间里力做功的平均快慢程度

我们定义为平均功率 用 p平均来表示

当我们让Δt趋近于零时

得到的就是瞬时功率

也就是p等于limit ΔA 除以Δt 让Δt趋近于零

我们进一步把它写成dA除以dt

根据前面的内容

我们知道 dt时间段内

力所作的元功dA就等于F和dr矢量点积的结果

因此功率p可以写成 F与dr比dt这个矢量去作点积

而dr比上dt就是我们定义的速度矢量

因此功率最终要写成F和矢量v两者点积

功率的单位是瓦特

一瓦特等于一焦耳每秒

接下来我们来做一道变力做功计算的练习

一个质量为小m的小球 竖直落入水中

刚接触水面的时候速率为v0

设球在水中所受到的浮力和它的重力是相等的

水的阻力表达式fr等于-bv

b是一个常量

我们要求阻力对球所做的功与时间的函数关系

首先我们来做分析

很显然球的运动是一个一维的直线运动

所以做题之前

我们首先建立一维的直角坐标系

把水平面上这一位置作为坐标原点

竖直向下作为坐标轴正向

按照功的计算公式

A等于f点积dr

由于阻力只是在竖直方向

也就是我们的x轴正向方向有分力

所以我们的公式可以进一步简化成

fx和dx去相乘积分

fx阻力在x轴上的分量应该是-bv

所以这个地方写成-bv乘上dx

由于题中要求的是功与时间的函数关系

所以这里边我们把dx

进一步的用时间dt表示出来

把它写成dx等于vdt

因此积分式子写成了-bv乘上vdt

进一步等于负的bv方dt

看到这我们知道

运动的过程中v要随着时间t发生变化

我们要想积出积分结果

必须要找到v和时间t的函数关系

所以我们去寻求v和t的关系式

那么我们结合牛顿第二定律

在x轴上列牛顿第二定律的方程

Fx等于max也就是-bv等于ma

把a写成dv比上dt

把这个式子分离变量

我们就得到了dv比上v等于负的b比m乘上dt

将这个式子两端同时积分

我们就可以积出结果 得到v和时间t的函数式

把v和t的关系式代到我们上边A的表达式中

积分就可以最终找到我们要的A的表示形式

还是看我们刚才这样一个变力F作用下的质点

从a运动到b的过程

a位置处质点的速度为v1

b位置处速度为v2

我们已经知道了从a到b整个过程中

力F所做的总功A等于F乘drcosθ从a积分到b

那么我们看到这里边F和cosθ相乘

实质上表示的就是力F在dr方向上的分量

也就是力F在切向方向上的分量

因此我们记为Ft

根据牛顿第二定律Ft又等于mat等于mdv比上dt

我们把这个式子代到这个公式中

这里我们把dr的模和dt放在一起

就是速度的大小 即速率

因此表达式可以写成mvdv去积分 v1积到v2

很显然结果就等于1/2mv2方减去义1/2mv1方

我们定义1/2mv方为质点的动能

用Ek来表示

那么动能是速率的函数

而速度描述的是质点运动状态的

因此动能是一个状态量

我们用Ek来表示1/2mv方的时候

这个式子就可以简单的写成A等于Ek2减去Ek1

这就是质点的动能定理的形式

它告诉我们

质点在运动的过程中

所受到的合力的功就等于质点的动能的增量

关于质点的动能定理

需要大家明确两个方面

功是过程量 动能是状态量

动能定理就是将过程量与状态量

联系起来的方程

另外我们在得出动能定理的过程中

用到了牛顿第二定律

牛顿第二定律是只在惯性系中才成立的

因此质点的动能定理也只是在惯性系中成立

而且在不同的惯性系中

功和动能的数值是不一样的

有了质点的动能定理 我们可以进一步推广

得到质点系的动能定理

对于一个由1、2、3一直到n

n个质点构成的系统而言

我们经常把受力做内力和外力区分

质点系内部各个质点之间的相互作用力

我们称为内力

而质点系外部质点

给质点系内部质点的作用力

我们叫外力

这里边我们用粉红色的矢量箭头来表示内力

用蓝色的矢量箭头

来表示每一个质点受到的合外力

那么对于这里边的任何一个质点i

我们都可以按照动能定理列出方程

即 第i个质点所受到的合力的功

等于第i个质点动能的增量

我们把力分成内力和外力之后

就可以把第i个质点受到的合力的功

进一步分成外力的功加上内力的功

写成Ai外加Ai内

对于质点系里任意一个质点

我们都可以列出这样一个方程

那么我们把列出来的n个方程相加

就可以得到质点系的这样一个方程

这里第1项代表的是

质点系受到的所有外力做功之和

第2项代表质点系所有内力做功之和

等号右边第1项代表整个质点系内

所有质点的末动能之和

我们称之为质点系的末动能

这一项是质点系内所有质点的初动能之和

我们称之为质点系的初动能

那么这个式子可以简单的记为A外加A内等于Ek减去Ek0

这就是质点系的动能定理的形式

这里需要我们注意

一对内力矢量和为0

一对内力的冲量之和为0

但是一对内力做功之和并不一定为0

因为力做的功除了与力有关之外

还要与质点发生的位移有关

相互作用的两个质点 它们的位移往往是不同的

因此一对内力的做功之和一般并不为零

因此这里边内力做功往往是不为0的

内力的存在 它会改变质点系的动能

好 我们这一小节给大家介绍的就是

功的计算方法和质点、质点系的动能定理的形式

希望大家做好复习