4.1.3 多项式构像模型及其几何纠正在线视频

我们再看一下多项式构像模型及其几何纠正

多项式纠正是我们在遥感图像几何纠正

图像配准等处理过程中的常用方法

多项式纠正基于什么原理

它的具体处理方法有哪些

遥感图像多项式纠正法的基本思想

是回避成像的空间几何过程

而直接对图像畸变的本身进行数学模拟

认为图像变形规律可以看做为

平移 缩放 旋转 仿射 偏扭和弯曲

以及更高层次的基本变形的综合作用结果

可以用一个适当的多项式来描述

纠正前后图像相应像元之间的坐标关系

根据纠正图像精度要求的不同

可选用不同的多项式次数

当选用1次多项式时

可以纠正因平移 旋转 缩放等线性变形

当选用2次多项式时

可以改正在1次线性变形的基础上

改正2次非线性变形或更高次的非线性变形

在实际操作中 多项式的阶数也就是次数一般不大于3次

这是因为高于3次的多项式往往不能提高精度

反而会引起参数的相关 导致几何纠正精度的降低

我们来看一下多项式构像模型的形式

我们介绍了坐标变换包括直接法和间接法两类

如果以间接法为例

多项式模型表示为

在等式当中(x，y)为像点坐标

(X，Y)是与像点对应的地面点坐标

a和b是多项式的系数

以二元二次多项式为例

展开以后的方程式形式为

y也可以这样表示

这个二元二次方程建立起像点坐标（x, y）

和对应地面点坐标(X, Y)之间的一一对应关系

方程组里面共含有12个系数

分别为a00, a10 a01 a20 a11 a02

以及和a对应的b00 b10 b01 b20 b11 b02

一旦这12个系数确定以后

那么像点坐标（x, y）

和对应地面点坐标(X, Y)之间的关系就确定了

利用这个关系式就可以完成

几何纠正处理流程中的关键一步

也就是遥感数字图像的像元坐标变换

那么 我们如何确定这12个系数呢

在实际处理过程中

有两大类求解系数的方式

一种是建立方程组严密解算 求出系数

还有一种方法是用最小二乘法进行拟合 求出最优的近似解

我们来看看控制点采集与多项式模型的解算

建立方程组解算系数的途径是采集控制点

什么是控制点呢

为了将像点坐标(x，y)

转换为与像点对应的地面点坐标(X，Y)

也就是地图坐标(X，Y)

需要在图像上采集可识别和定位的像元点

然后指出其地面点坐标(X，Y)

这些用来控制几何纠正质量的点

称为地面控制点（ground control point, GCP）

如何获得这些控制点的地图坐标呢

你可以去现场 利用符合精度的定位仪器测定（如GPS）

你也可以收集一幅精度符合要求的参考图像

如遥感图像 地形图等

从参考图像上获取采集点的地图坐标

在控制点采集过程中

和图像上控制点相对应的

参考图像上的点

常被称为同名点(Tie Point, TP)

它连接了两个相同的点

使得二者具有坐标的一一对应关系

可以建立由2个方程式组成的方程组

通常情况下 地面控制点的采集要符合以下基本要求

首先 在图像上为明显的地物点

且易于判读

像线性地物交叉处是比较好的选择

比如几条道路交叉口 道路和河流交叉位置

其次

地面控制点尽量采集在不随时间变动的地物类型上

只有这样才能保证其定位的精确性

如季节性变动的河流不能采集

水库水体的边缘也存在变化情况

控制点采集应该在水库的大坝位置处

最后 控制点的数量要足够

要能够解算出方程组的系数

少了不行

还有就是

控制点的位置

要尽量地分布均匀 不能局限于图像局部

我们以仿射变换（ Affine ）模型参数解算为例

看看如何进行模型参数解算

仿射变换是一次线性变换

可纠正比如像旋转 位移 翻转 拉伸这些畸变等等

间接法纠正过程中

仿射变换的变换函数形式为

以及Y的相应表达形式

在这个方程组中一共包括6个系数

分别为a00 a10 a01 b00 b10 b01

这个方程组也可以表示为矩阵形式

所以

仿射变换的关键是要确立这6个系数

如何进行解算呢

这里展示了仿射变换（ Affine ）的模型参数解算示例

从理论上分析 至少需要几个控制点呢

采集3个控制点可以组建

有6个方程组成的方程组

6个方程可以求解出6个参数

这是解算方程所需的最少控制点数量

由于每个控制点是由一个坐标对（x, y）组成的

它的同名点为（X，Y）

所以每个控制点可以建立两个方程

当采集了3个控制点后

实际上我们就已经得到了

满足求解条件的方程数量

方程组形式为

x₁x₂ x₃以及y₁y₂y₃可以分别表达为和X Y之间的关系

在这个由6个方程组成的方程组当中

3个控制点是理论上解算仿射变换的最少点数量

概括起来

理论上解算纠正函数的

最少控制点数量可以用公式表示为

在这个公式当中 N为需要采集的控制点的数量

n为多项式的次数

比如 1次多项式

带入式子可以计算出N的数量是3

2次多项式可以算出为6

在实际应用中

解算的时候

理论最少控制点只是解方程所需最低数量

这样少的控制点仅能保证控制点

及其周边区域的变形得到纠正

适用于变形较小 地形比较平坦的区域

在很多情况的下

因遥感图像变形比较复杂

因而采用最少控制点校正的图像效果较差

需要增加控制点的数目

以提高校正精度

当控制点的数量增加后

位置参数的解算方法也有所改变

这时候 需采用最小二乘法

通过对控制点数据进行拟合来求解

这里展示了仿射变换（ Affine ）的模型参数解算过程当中

利用最小二乘法求解3个参数

a00 a01 a10

当采集了N个控制点后

也就是N的数量是大于3个

这时候的最小二乘法可以表达为一个矩阵方程的形式

有关最小二乘法基本原理

本讲专门有讲解

请大家学习本讲的补充知识点

掌握其基本原理

我们来看看控制点的质量评价

在实际图像纠正处理过程中

我们很想知道控制点是否正确

精度如何

采集多个地面控制点后

如何评估地面控制点质量

我们注意到

当采集控制点数量达到模型解算最低要求后

坐标转换模型构建完成

所采集控制点

可以根据模型可求算出转换坐标

因此

当采集足够数量控制点后

我们把转换函数的系数解算出来

即建立起转换模型

这时候 如果再采集控制点

那么

该控制点就可以

根据模型求算出理论上的输出坐标（转换后坐标）

我们可以将采集的参考图像坐标

和转换坐标进行对比

用二者之间的偏离度去评价控制点质量

对于偏差较大的控制点

需要进一步修改

比如删除这个点 移动这个点的位置等等

直至达到理想的精度范围

比如误差控制在一个像元内

这些定量评估指标有残差 均方根误差等

残差是指控制点的原坐标

和纠正后的坐标在同一方向上的距离差

包括X残差和Y残差

分析残差值的大小

可以帮助我们评价控制点的质量

如果控制点残差值

始终在X 或Y方向 比较大

则说明在该方向上的定位精度不高

这种情况有可能在

全景摄影图像几何纠正过程中出现

因为其全景畸变往往集中于某个特定方向

碰到这种情况时可以在Y方向上

或X方向 添加更多的控制点

均方根误差报告

可以帮助我们评价控制点的质量

如果一个GCP的均方根误差比较高

则应该考虑调整该GCP的位置

或者删除该点

在其他地方增加控制点

我们看看多项式几何纠正的适用范围

基于多项式的传感器模型

其几何纠正精度与地面控制点的精度

地面控制点的分布和数量以及实际地形等有关系

采用多项式纠正时

在控制点上的位置拟合的很好

但在其他点的内插值可能有明显的偏离

另外

多项式纠正法只是对地面和相应的图像进行拟合

不能真实描述图像形成过程中的误差来源

以及地形起伏引起的变形

因此

其应用一般只适用于变形较小的图像

比如这里介绍的像垂直下视图像 以及地形相对比较平坦的图像等等

本讲我们就介绍到这里

谢谢