当前课程知识点:信号与系统分析 >  第一章 信号与系统 >  1-4 阶跃函数和冲激函数 >  视频1-4 阶跃函数和冲激函数

返回《信号与系统分析》慕课在线视频课程列表

视频1-4 阶跃函数和冲激函数在线视频

下一节:课件1-4 阶跃函数和冲激函数

返回《信号与系统分析》慕课在线视频列表

视频1-4 阶跃函数和冲激函数课程教案、知识点、字幕

大家好今天我们学习第1.4节

阶跃函数和冲激函数,主要内容包括阶跃函数

冲激函数以及冲激函数的性质

首先讨论阶跃函数的定义

阶跃函数ε(t)和冲激函数δ(t)不同于普通函数

称为奇异函数也称广义函数

阶跃函数用求函数极限的方法定义

选函数序列γn(t)

如图中实线所示

它是在区间(-∞ +∞)上都有定义的可微函数

在t<-1/n区间函数值为0

在t>1/n区间函数值为1

在区间(-1/n, 1/n)上该函数是直线上升的,其斜率为n/2

在t=0处的函数值为1/2

当n增大时在区间(-1/n,1/n)上的斜率增大

如图中虚线所示

但是t=0处的函数值仍为1/2

当n→∞时函数γn(t)在t=0处

由0立即跃变到1

如图中蓝色虚线所示

其斜率为无限大而在t=0处的函数值仍可认为是1/2

该函数就定义为单位阶跃函数ε(t)

可认为是对γn(t)求极限得到的

它在t<0时值为0

t>0值为1,间断点t=0处的函数值是1/2

为了讨论方便

通常可不定义连续信号间断点处的函数值

由此得到阶跃函数的表达式

波形如图

称其为发生在t=0处幅度为1的单位阶跃信号

令t0>0根据1.3节的讨论对ε(t)做平移运算

可分别得到ε(t)左移t0和ε(t)右移t0的移位函数表达式

波形如图

另外将ε(t)中的自变量t用-t代换

可得到其反折信号ε(-t)的函数表达式

波形如图

最后由两个分别延时t1和t2的阶跃信号之差

可以得到一个幅度值为1的矩形信号

ε(t-t1)-ε(t-t2)

在t大于t1小于t2时值为1

在t小于t1和t大于t2时值为0

其波形如图

注意

t1小于t2

该信号仅在有限的时间范围t大于t1小于t2内有定义

通常称这样的信号为时间有限信号,简称时限信号

而在无限时间范围内都有定义的信号则称为无时限信号

阶跃函数是非常重要的基本信号

可以用来表示一些波形较为复杂的信号

例如右图中的信号

可以表示为f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)

阶跃函数常用于表示信号的作用区间

例如将信号乘以ε(t)

可使任意非因果信号f(t)变为因果信号f(t) ε(t)

如下图(a),(b)所示

关于信号因果性的定义

将在第1.6节中讨论

另外将信号f(t)乘以ε(t-t1) -ε(t-t2)

可以将无时限信号变为时限信号

如下图(c)所示

在工程实际和理论研究中

也常用函数与单位门信号相乘获得时限信号

单位门信号记做Gτ(t)是一个高度为1宽度为τ

并且以纵轴为对称轴的矩形框

波形如图

显然该信号可以用移位阶跃信号的差运算得到

Gτ(t)=ε(t+τ/2)-ε(t-τ/2)

最后需要指出

阶跃信号是可积信号

通过定义可计算出它的积分是tε(t)

即斜升信号r(t)

下面学习冲激函数

冲激函数可以用求函数极限的方法定义

也可以采用狄拉克定义

首先讨论求函数极限的方法

对上一节介绍的函数γn(t)求导得到矩形脉冲pn (t)

该信号在|t|>1/n时值为0

在|t|<1/n时值为n/2

波形如图中实线所示

显然函数波形下的面积为1

随着n的增加,窄脉冲的宽度变窄高度增加

如图中虚线所示

但是函数波形下的面积始终为1,称其为函数的强度

当n趋于无穷时函数 pn(t)的宽度趋于0

而高度趋于无限大但其强度仍为1

该函数就定义为单位冲激函数δ(t)

它可认为是对函数pn(t)求极限得到的

可见

冲激函数可直观定义为

高度无穷大宽度无穷小

面积为1的对称窄脉冲

狄拉克给出了冲激函数的另一种定义

它应满足在t不等于0时函数值均为0

并且函数波形下的面积等于1

波形如图

此定义与冲激函数的直观定义相符合

称其为发生在t=0处强度为1的单位冲激信号

冲激函数δ(t-t1) 是出现在t=t1处的冲激

波形如图

图中的t1>0,强度为a的冲激可记做aδ(t)

如图所示

图中a>0,若a小于0则表示强度为|a|的负冲激

下面分析冲激函数和阶跃函数的运算关系

已知函数序列γn(t)在n趋于无穷时得到阶跃函数

而其导数pn (t)在n趋于无穷时得到冲激函数

通过动画来观察一下这个过程

可见δ(t)是ε(t)的一阶导数而 ε(t)是δ(t)的积分

它们互为导数积分的运算关系

可见

当引入冲激函数、阶跃函数等广义函数之后

间断点的导数也存在

如分段连续函数f(t)波形如图

通过引入阶跃函数ε(t)

可用闭合表达式f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)表示该函数

其导数f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)

波形如图

注意在普通函数的意义下

间断点 t=±1处的导数是不存在的

而按广义函数的概念

分段连续函数在(-∞, +∞)区间的导数均存在

这是因为广义函数的各阶导数都存在

并且仍属于缓增广义函数空间

由以上讨论可知

当信号有第一类间断点时

其一阶导数将在间断点处出现冲激

间断点向上突跳出现正冲激

间断点向下突跳出现负冲激其强度等于突跳的幅度

此外

广义函数的求导运算与求极限运算可以交换次序

使分析运算更加灵活简便

冲激函数δ(t)的一阶导数

δ’(t) 称为冲激偶

可认为是冲激函数求导得到的

如图所示

宽度为△的窄脉冲函数

其导数在间断点处出现幅度相同的正负冲激

当△趋近于0时

窄脉冲函数过渡为冲激函数δ(t)

其导数则是一对出现在0-和0+时刻强度为无穷大的正负冲激

可见

冲激偶函数是冲激函数的微分

而冲激函数是冲激偶的积分

类似的还可以定义δ(t)的n阶导数

根据积分运算的定义可知

冲激偶在(-∞,+∞)的积分结果为0

即该函数波形下的面积为0

注意这两个积分运算的上限不同

因此结果和意义也不同

δ(t)是一个广义函数它有一些特殊的运算和性质

例如δ(t)与普通函数 f(t) 的乘积具有取样性质

若 f(t)在 t=0, t=a处存在

则函数f(t)与冲激函数相乘

就等于在冲激函数出现的时刻

f(t)的函数值与其相乘得到的冲激

如式(1),(2)所示

这表明冲激函数具有取样的性质

如果要从连续函数中抽取任意时刻的函数值

只要用f(t)乘以该时刻的冲激

并在区间(-∞, +∞)积分即可

如式(3),(4) 所示

下面来做一些练习

根据式(1)可知sin(t+π/4)δ(t)

是0时刻sin(t+π/4) 的函数值与δ(t)相乘

因此= sin(π/4)δ(t)=√2/2 δ(t)

根据式(3),sin(t+π/4)δ(t)在区间(-∞, +∞)的积分结果为√2/2

如果积分区间换为(-∞, -1)则结果为0

可见解题时要注意积分区间是否包含冲激

最后

根据复合求导运算规则计算e∧(-2t) ε(t)的导数

为e∧(-2t)δ(t)-2e∧(-2t)ε(t)

注意用取样性质化简

可得求导结果为δ(t)-2e∧(-2t)ε(t)

冲激偶δ'(t) 与 f(t) 的乘积也具有类似的性质

如式(5)所示证明过程如下

对式(5)两边在(-∞ +∞)区间积分可得式(6)

根据上式求解 (t-2)∧2 δ' (t)在(-∞ +∞)区间的积分

结果为4

根据式(5)的证明可类似求得函数f(t) 与 δ(t)的高阶导数乘积

具体过程请大家课后思考实现

而广义函数间的乘积如ε(t)δ(t),δ(t)δ'(t)等没有定义

最后讨论冲激信号δ(t)的尺度变换

已知δ(at)满足式(7)

该性质的证明参见教材P21页

由上式可得到一些有用的推论

例如δ(at)=1/|a|δ(t)

δ(–t) = δ (t) 为偶函数

δ’(– t) = – δ’(t)为奇函数等

好本节内容就讲到这里

谢谢大家

信号与系统分析课程列表:

第一章 信号与系统

-1-1 绪言

--视频1-1 绪言

--课件1-1 绪言

--讨论题

--讨论题

-1-2 信号的分类

--视频1-2 信号的分类

--课件1-2 信号的分类

--讨论题

-1-3 信号的基本运算

--视频1-3 信号的基本运算

--课件1-3 信号的基本运算

--讨论题

- 1-4 阶跃函数和冲激函数

--视频1-4 阶跃函数和冲激函数

--课件1-4 阶跃函数和冲激函数

--讨论题

-1-5 系统的描述

--视频1-5 系统的描述

--课件1-5 系统的描述

--讨论题

-1-6 系统特性和分析方法

--视频1-6 系统特性和分析方法

--课件1-6 系统特性和分析方法

--讨论题

--讨论题

-判断题

-单选题

-填空题

-讨论题

-画图题

第二章 连续系统的时域分析

-2-1 LTI连续系统微分方程的经典解

--视频 2-1 LTI连续系统微分方程的经典解

--课件 2-1 LTI连续系统微分方程的经典解

--讨论题

-2-2 LTI连续系统的响应

--视频 2-2 LTI连续系统的响应

--课件 2-2 LTI系统的响应

--讨论题

-2-3 冲激响应和阶跃响应

--视频 2-3 冲激响应和阶跃响应

--课件 2-3 冲激响应和阶跃响应

--讨论题

-2-4 卷积积分

--视频 2-4 卷积积分

--课件 2-4 卷积积分

--讨论题

-2-5 卷积积分的性质

--视频2-5 卷积积分性质

--课件 2-5 卷积积分

--讨论题

-判断题

-单选题

-填空题

-讨论题

第三章 离散系统的时域分析

-3-1 LTI离散系统的描述及经典解

--视频3-1 LTI离散系统的描述及经典解

--课件3-1 LTI离散系统的描述及经典解

--讨论题

--讨论题

-3-2 LTI离散系统的响应

--视频3-2 LTI离散系统的响应

--课件3-2 LTI离散系统的响应

--讨论题

-3-3 单位序列响应和阶跃响应

--视频3-3 单位序列和阶跃响应

--课件3-3单位序列和阶跃响应

--讨论题

- 3-4 卷积和及性质

--视频3-4 卷积和及性质

--课件3-4卷积和及性质

--讨论题

-判断题

-单选题

-填空题

-讨论题

第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

- 4-1 信号分解为正交函数

--视频4-1 引言&信号的正交分解

--课件4-1 信号的正交分解

--讨论题

-4-2 周期信号的傅里叶级数

--视频4-2 周期信号的傅里叶级数

--课件4-2 周期信号的傅里叶级数

--讨论题

-4-3 周期信号的频谱

--视频4-3 周期信号的频谱

--课件4-3 周期信号的频谱

--讨论题

-4-4 傅里叶变换

--视频4-4 傅里叶变换

--课件4-4 傅里叶变换

--讨论题

-4-5 傅里叶变换的性质I

--视频4-5 傅里叶变换的性质(1)

--课件4-5 傅里叶变换的性质(1)

--讨论题

- 4-6 傅里叶变换的性质II

--视频4-6 傅里叶变换的性质(2)

--课件4-6 傅里叶变换的性质(2)

--讨论题

-4-7 周期信号的傅里叶变换

--视频4-7 周期信号的傅里叶变换

--课件4-7 周期信号的傅里叶变换

--讨论题

-4-8 连续系统的频率响应

--视频4-8 连续系统给的频率响应

--课件4-8 连续系统的频率响应

--讨论题

-4-9 LTI连续系统的频域分析

--视频4-9 LTI连续系统的频域分析

--课件4-9 LTI连续系统的频域分析

--讨论题

-4-10 无失真传输与低通滤波

--视频4-10 无失真传输与低通滤波

--课件4-10 无失真传输与低通滤波

--讨论题

-4-11 取样定理

--视频4-11 取样定理

--课件4-11 取样定理

--讨论题

-判断题

-单选题

-填空题

-讨论题

-综合题

第五章 连续系统的S域分析

-5-1 拉普拉斯变换定义与收敛域

--视频 5-1 拉普拉斯变换与收敛域

--课件 5-1 拉普拉斯变换与收敛域

--讨论题1

--讨论题2

- 5-2 单边及常见信号的拉普拉斯变换

--视频 5-2 单边及常见信号的拉普拉斯变换

--课件 5-2 单边及常见信号的拉普拉斯变换

--讨论题

-5-3 拉普拉斯变换性质Ⅰ

--视频 5-3 拉普拉斯变换基本性质Ⅰ

--课件 5-3 拉普拉斯变换基本性质Ⅰ

--讨论题

-5-4 拉普拉斯变换性质Ⅱ

--视频 5-4 拉普拉斯变换基本性质Ⅱ

--课件 5-4 拉普拉斯变换基本性质Ⅱ

--讨论题

-5-5 拉普拉斯逆变换

--视频 5-5 拉普拉斯逆变换

--课件 5-5 拉普拉斯逆变换

--讨论题

--讨论题

-5-6 LTI连续系统的复频域分析

--视频 5-6 LTI连续系统的复频域分析

--课件 5-6 LTI连续系统的复频域分析

--讨论题

-5-7 拉普拉斯变换的应用-电路的S域分析

--视频 5-7 拉普拉斯变换的应用_电路的S域分析

--课件 5-7 拉普拉斯变换的应用_电路的S域分析

--讨论题

-5-8 拉普拉斯变换的应用-LTI系统的S域框图

--视频 5-8 拉普拉斯变换的应用_LTI系统的S域框图

--课件 5-8 拉普拉斯变换的应用_LTI系统的S域框图

-讨论题

-判断题

-单选题

-填空题

-讨论题

第六章 离散系统的z域分析

-6-1 Z变换定义与收敛域

--视频6-1 Z变换定义与收敛域

--课件6-1 Z变换定义与收敛域

--讨论题

-6-2 Z变换的基本性质I

--视频6-2 z变换的基本性质I

--课件6-2 Z变换的基本性质I

--讨论题

-6-3 Z变换的基本性质II

--视频6-3 Z变换的基本性质II

--课件6-3 Z变换的基本性质II

--讨论题

-6-4 逆Z变换

--视频6-4 逆z变换

--课件6-4 逆z变换

--讨论题

-6-5 LTI离散系统的Z域分析

--视频6-5 LTI离散系统的z域分析

--课件6-5 LTI离散系统的z域分析

--讨论题

-6-6 Z变换的应用----LTI系统的Z域框图

--视频6-6 LTI系统的z域框图

--课件6-6 LTI系统的z域框图

--讨论题

-判断题

-单选题

-填空题

-讨论题

第七章 系统函数

-7-1 系统函数与系统特性

--视频7-1 系统函数与系统特性

--课件7-1 系统函数与系统特性

--讨论题

- 7-2 系统的因果性和稳定性

--视频7-2 系统的因果性和稳定性

--课件7-2 系统 函数的因果性和稳定性

--讨论题

-7-3 信号流图

--视频7-3 信号流图

--课件7-3 信号流图

--讨论题

-7-4 系统结构

--视频7-4 系统结构

--课件7-4 系统结构

--讨论题

-判断题

-单选题

-填空题

-讨论题

-综合题

第八章 基于MATLAB的信号与系统分析

-8-1 基于MATLAB的信号表示与可视化

--视频 8-1 基于MATTLAB的信号表示与可视化

--课件8-1 基于MATLAB的信号表示与可视化

-8-2 信号时域运算的MATLAB实现

--视频8-2 信号时域运算的MATLAB实现

--课件8-2 信号时域运算的MATLAB实现

--讨论题

-8-3 卷积和与卷积积分的MATLAB实现

--视频8-3 卷积和与卷积积分的MATLAB实现

--课件8-3 卷积和与卷积积分的MATLAB实现

- 8-4 LTI系统时域分析的MATLAB实现

--视频8-4 LTI系统时域分析的MATLAB实现

--课件8-4 LTI系统时域分析的MATLAB实现

-8-5 连续信号频域分析的的MATLAB实现

--视频8-5 连续信号频域分析的MATLAB

--课件8-5 连续信号频域分析的MATLAB实现

-8-6 连续系统频域分析的的MATLAB实现

--视频8-6 连续系统频域分析的MATLAB实现

--课件8-6 连续系统频域分析的MATLAB实现

-8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析

--视频8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析

--课件8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析

-8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析

--视频8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析

--课件8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析

-讨论题

视频1-4 阶跃函数和冲激函数笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有,
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引,不提供在线课程学习和视频,请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。