当前课程知识点:信号与系统分析 > 第一章 信号与系统 > 1-4 阶跃函数和冲激函数 > 视频1-4 阶跃函数和冲激函数
大家好今天我们学习第1.4节
阶跃函数和冲激函数,主要内容包括阶跃函数
冲激函数以及冲激函数的性质
首先讨论阶跃函数的定义
阶跃函数ε(t)和冲激函数δ(t)不同于普通函数
称为奇异函数也称广义函数
阶跃函数用求函数极限的方法定义
选函数序列γn(t)
如图中实线所示
它是在区间(-∞ +∞)上都有定义的可微函数
在t<-1/n区间函数值为0
在t>1/n区间函数值为1
在区间(-1/n, 1/n)上该函数是直线上升的,其斜率为n/2
在t=0处的函数值为1/2
当n增大时在区间(-1/n,1/n)上的斜率增大
如图中虚线所示
但是t=0处的函数值仍为1/2
当n→∞时函数γn(t)在t=0处
由0立即跃变到1
如图中蓝色虚线所示
其斜率为无限大而在t=0处的函数值仍可认为是1/2
该函数就定义为单位阶跃函数ε(t)
可认为是对γn(t)求极限得到的
它在t<0时值为0
t>0值为1,间断点t=0处的函数值是1/2
为了讨论方便
通常可不定义连续信号间断点处的函数值
由此得到阶跃函数的表达式
波形如图
称其为发生在t=0处幅度为1的单位阶跃信号
令t0>0根据1.3节的讨论对ε(t)做平移运算
可分别得到ε(t)左移t0和ε(t)右移t0的移位函数表达式
波形如图
另外将ε(t)中的自变量t用-t代换
可得到其反折信号ε(-t)的函数表达式
波形如图
最后由两个分别延时t1和t2的阶跃信号之差
可以得到一个幅度值为1的矩形信号
即
ε(t-t1)-ε(t-t2)
在t大于t1小于t2时值为1
在t小于t1和t大于t2时值为0
其波形如图
注意
t1小于t2
该信号仅在有限的时间范围t大于t1小于t2内有定义
通常称这样的信号为时间有限信号,简称时限信号
而在无限时间范围内都有定义的信号则称为无时限信号
阶跃函数是非常重要的基本信号
可以用来表示一些波形较为复杂的信号
例如右图中的信号
可以表示为f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)
阶跃函数常用于表示信号的作用区间
例如将信号乘以ε(t)
可使任意非因果信号f(t)变为因果信号f(t) ε(t)
如下图(a),(b)所示
关于信号因果性的定义
将在第1.6节中讨论
另外将信号f(t)乘以ε(t-t1) -ε(t-t2)
可以将无时限信号变为时限信号
如下图(c)所示
在工程实际和理论研究中
也常用函数与单位门信号相乘获得时限信号
单位门信号记做Gτ(t)是一个高度为1宽度为τ
并且以纵轴为对称轴的矩形框
波形如图
显然该信号可以用移位阶跃信号的差运算得到
即
Gτ(t)=ε(t+τ/2)-ε(t-τ/2)
最后需要指出
阶跃信号是可积信号
通过定义可计算出它的积分是tε(t)
即斜升信号r(t)
下面学习冲激函数
冲激函数可以用求函数极限的方法定义
也可以采用狄拉克定义
首先讨论求函数极限的方法
对上一节介绍的函数γn(t)求导得到矩形脉冲pn (t)
该信号在|t|>1/n时值为0
在|t|<1/n时值为n/2
波形如图中实线所示
显然函数波形下的面积为1
随着n的增加,窄脉冲的宽度变窄高度增加
如图中虚线所示
但是函数波形下的面积始终为1,称其为函数的强度
当n趋于无穷时函数 pn(t)的宽度趋于0
而高度趋于无限大但其强度仍为1
该函数就定义为单位冲激函数δ(t)
它可认为是对函数pn(t)求极限得到的
可见
冲激函数可直观定义为
高度无穷大宽度无穷小
面积为1的对称窄脉冲
狄拉克给出了冲激函数的另一种定义
它应满足在t不等于0时函数值均为0
并且函数波形下的面积等于1
波形如图
此定义与冲激函数的直观定义相符合
称其为发生在t=0处强度为1的单位冲激信号
冲激函数δ(t-t1) 是出现在t=t1处的冲激
波形如图
图中的t1>0,强度为a的冲激可记做aδ(t)
如图所示
图中a>0,若a小于0则表示强度为|a|的负冲激
下面分析冲激函数和阶跃函数的运算关系
已知函数序列γn(t)在n趋于无穷时得到阶跃函数
而其导数pn (t)在n趋于无穷时得到冲激函数
通过动画来观察一下这个过程
可见δ(t)是ε(t)的一阶导数而 ε(t)是δ(t)的积分
它们互为导数积分的运算关系
可见
当引入冲激函数、阶跃函数等广义函数之后
间断点的导数也存在
如分段连续函数f(t)波形如图
通过引入阶跃函数ε(t)
可用闭合表达式f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)表示该函数
其导数f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
波形如图
注意在普通函数的意义下
间断点 t=±1处的导数是不存在的
而按广义函数的概念
分段连续函数在(-∞, +∞)区间的导数均存在
这是因为广义函数的各阶导数都存在
并且仍属于缓增广义函数空间
由以上讨论可知
当信号有第一类间断点时
其一阶导数将在间断点处出现冲激
间断点向上突跳出现正冲激
间断点向下突跳出现负冲激其强度等于突跳的幅度
此外
广义函数的求导运算与求极限运算可以交换次序
使分析运算更加灵活简便
冲激函数δ(t)的一阶导数
δ’(t) 称为冲激偶
可认为是冲激函数求导得到的
如图所示
宽度为△的窄脉冲函数
其导数在间断点处出现幅度相同的正负冲激
当△趋近于0时
窄脉冲函数过渡为冲激函数δ(t)
其导数则是一对出现在0-和0+时刻强度为无穷大的正负冲激
可见
冲激偶函数是冲激函数的微分
而冲激函数是冲激偶的积分
类似的还可以定义δ(t)的n阶导数
根据积分运算的定义可知
冲激偶在(-∞,+∞)的积分结果为0
即该函数波形下的面积为0
注意这两个积分运算的上限不同
因此结果和意义也不同
δ(t)是一个广义函数它有一些特殊的运算和性质
例如δ(t)与普通函数 f(t) 的乘积具有取样性质
若 f(t)在 t=0, t=a处存在
则函数f(t)与冲激函数相乘
就等于在冲激函数出现的时刻
f(t)的函数值与其相乘得到的冲激
如式(1),(2)所示
这表明冲激函数具有取样的性质
如果要从连续函数中抽取任意时刻的函数值
只要用f(t)乘以该时刻的冲激
并在区间(-∞, +∞)积分即可
如式(3),(4) 所示
下面来做一些练习
根据式(1)可知sin(t+π/4)δ(t)
是0时刻sin(t+π/4) 的函数值与δ(t)相乘
因此= sin(π/4)δ(t)=√2/2 δ(t)
根据式(3),sin(t+π/4)δ(t)在区间(-∞, +∞)的积分结果为√2/2
如果积分区间换为(-∞, -1)则结果为0
可见解题时要注意积分区间是否包含冲激
最后
根据复合求导运算规则计算e∧(-2t) ε(t)的导数
为e∧(-2t)δ(t)-2e∧(-2t)ε(t)
注意用取样性质化简
可得求导结果为δ(t)-2e∧(-2t)ε(t)
冲激偶δ'(t) 与 f(t) 的乘积也具有类似的性质
如式(5)所示证明过程如下
对式(5)两边在(-∞ +∞)区间积分可得式(6)
根据上式求解 (t-2)∧2 δ' (t)在(-∞ +∞)区间的积分
结果为4
根据式(5)的证明可类似求得函数f(t) 与 δ(t)的高阶导数乘积
具体过程请大家课后思考实现
而广义函数间的乘积如ε(t)δ(t),δ(t)δ'(t)等没有定义
最后讨论冲激信号δ(t)的尺度变换
已知δ(at)满足式(7)
该性质的证明参见教材P21页
由上式可得到一些有用的推论
例如δ(at)=1/|a|δ(t)
δ(–t) = δ (t) 为偶函数
δ’(– t) = – δ’(t)为奇函数等
好本节内容就讲到这里
谢谢大家
-1-1 绪言
--视频1-1 绪言
--课件1-1 绪言
--讨论题
--讨论题
-1-2 信号的分类
--讨论题
-1-3 信号的基本运算
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- 1-4 阶跃函数和冲激函数
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-1-5 系统的描述
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-1-6 系统特性和分析方法
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-2-1 LTI连续系统微分方程的经典解
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-2-2 LTI连续系统的响应
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-2-3 冲激响应和阶跃响应
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-2-4 卷积积分
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-2-5 卷积积分的性质
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-3-1 LTI离散系统的描述及经典解
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--讨论题
-3-2 LTI离散系统的响应
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-3-3 单位序列响应和阶跃响应
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- 3-4 卷积和及性质
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- 4-1 信号分解为正交函数
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-4-2 周期信号的傅里叶级数
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-4-3 周期信号的频谱
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-4-4 傅里叶变换
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-4-5 傅里叶变换的性质I
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-4-7 周期信号的傅里叶变换
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-4-8 连续系统的频率响应
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-4-9 LTI连续系统的频域分析
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-4-10 无失真传输与低通滤波
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-4-11 取样定理
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-5-1 拉普拉斯变换定义与收敛域
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-6-1 Z变换定义与收敛域
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-7-3 信号流图
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-7-4 系统结构
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-8-1 基于MATLAB的信号表示与可视化
-8-2 信号时域运算的MATLAB实现
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-8-3 卷积和与卷积积分的MATLAB实现
- 8-4 LTI系统时域分析的MATLAB实现
-8-5 连续信号频域分析的的MATLAB实现
-8-6 连续系统频域分析的的MATLAB实现
-8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--视频8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--课件8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
-8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--视频8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--课件8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
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