2.1.5描述放射性的特征量在线视频

指数衰减规律里边

只有一个参数就是λ

这个参数是不是描述

放射性的特征量呢

是的

放射性是不稳的原子核的基本性质

λ叫衰变常数

它是描述放射性的特征量

那衰变常数

是唯一可以用来描述

原子核放射性的特征量吗

不是的 除了衰变常数

描述原子核放射性的物理量

还有半衰期

平均寿命 衰变宽度等

下面我们来介绍一下

描述原子核放射性的一些特征量

前面我们讲

原子核衰变的基本规律的时候

我们就找到了一个特征量

就是我们e^(-λt)里面的λ

λ显然是描述放射性的一个特征量

我们把它定义成叫衰变常数

衰变常数的定义的话

我们利用前面得到的那个关系

给大家重新整理一下

就可以得到

分母上是t时间

放射性原子核的总的数目N(t)

在分子上

它本身又是一个相比的关系

就是-dN(t)/dt

这个描述的是t时刻

单位时间里面发生衰变的

原子核的数目

分子的这一部分

我们可以把它称为衰变率

单位时间发生衰变的原子核的数目

用J(t)去表示它

这样的话我们可以看到

衰变常数其实描述的就是

一个原子核在单位时间里面

发生衰变的一个概率

所以这个地方

其实整个λ它是有单位的

它的单位我们稍微看一下

这个表达方式的话

就可以知道

它应该是

它的量纲应该是时间分之一

所以λ的单位可以取为秒分之一

或者是1/h或是1/d

如果这个半衰期很长的话

我们可以给它一个

1/a等等这样的一个表达方式

每个放射性原子核

都有特定的衰变常数

这个都是不一样的

就是说还没有发现

有两种不同的放射性核素

它的衰变常数是一样的

所以这个是不用担心的

每个放射性原子核

它的λ都不相同

所以其实我们可以通过测量λ

来决定或者是来判断

究竟是哪一种放射性核素

实验也表明其实λ

和这个外部的一些条件

就是说和你温度 压力

什么磁场 电场等等

都没有什么关系

它本身就是由原子核本身

来决定的

下面我们看一个例题

这个例题的问题是

一个放射性原子核

在1秒里面发生衰变的概率

等于多少

这个里面我们给了3个

λ的不同的数值

λ等于1/s

等于100/s

还是等于0.001/s

三个不同的数值

看一下原子核在1秒里面

发生衰变的概率究竟是多少

按照我们刚才衰变常数的一个定义

这个衰变常数本身描述的是

单位时间里面

一个原子核发生衰变的概率

能不能说λ=1/s的时候

那它在1秒里面发生衰变的概率

就是1呢

那这个显然是不行的

我们说这个衰变的概率是1

表明它在1秒里面必然要发生衰变

这个必然要发生衰变

其实对原子核来说

显然不是这样的

因为原子核的衰变

本身是一个随机的过程

即使它的衰变概率很大很大

你也不能说

它在这一段时间里面

一定发生衰变

这个话是说不出来的

怎么去理解这个λ的大小

和我们具体到

一个确定的时间里面

它发生衰变的概率呢

其实这个过程的话

我们必须再回到

它的原始定义上面去考虑

原始的定义

它是dN/dt

一定是一个dt的时间

也就是一个微量时间

这样的话它最后得到的那个结果

才是对的

如果你的时间给定一个尺度

例如说一秒或者是一毫秒

这个已经都不合适了

我们来具体分析一下

我们定义0时刻

放射性原子核的数目是N(0)

t时刻放射性原子核的数目是N(t)

我们显然知道

在t时间里面

发生衰变的原子核的数目

就是N(0)-N(t)

这一段时间里面

少掉了那么多个放射性原子核

t时间里面一个放射性原子核

发生衰变的概率

我们就可以用这段时间里面

发生衰变的原子核的数目

除以N(0)去表示它

结果是什么呢

结果是等于1-e^(-λt)

也就是说它和λ显然相关

和你这段具体的时间长度

是有关系的

这个才是它一个放射性原子核

在一段时间里面

发生衰变的概率的表达式

我们把我们上面

λ的不同的数字

代进去 把t=1秒带进去

你就可以得到了

在1s里面

一个放射性原子核

发生衰变的概率

如果λ=1/s的话

这样一个原子核

在一秒里面

发生衰变的概率是多少呢

63.2%

这个是这样的一个数字

这个数字不可能大于1的

如果它的衰变常数比较小

只有0.001每秒

我们用这样一个式子求出来发现

基本上最后的结果就是0.001

这个是我们衰变常数的一个应用

在衰变里面我们常常会看到

有所谓的分支衰变的现象

也就是说有的原子核

它具有多种的衰变方式

每一种衰变方式

我们都可以给它定义一个

分支衰变的衰变常数

我们用λi去表示它

这样的话

这个整个原子核的衰变常数

和各个分支衰变的

衰变常数之间呢

就有下面这个关系

也就是各个分支衰变的衰变常数

加起来

应该等于它总的衰变常数

这个其实很容易证明

因为衰变常数描述的是概率

各种分支衰变的概率之和

等于它总的衰变概率

这个从概念上很容易理解

这样的话我们可以定义一个

它分支衰变的分支比

分支比我们用R去表示它

Ri等于λi/λ

这个是它的分支比

这个地方我们给一个例子

这个里面我们给一个衰变纲图

这个衰变纲图

是铜64的衰变纲图

显然从这个衰变纲图里面

我们可以看出来

铜64它有多种衰变方式

它有β-衰变方式

有β＋衰变方式

还有轨道电子俘获的衰变方式

在几种衰变方式后面

我们都看到了一个百分数

这个百分数

其实就是它各个分支衰变的分支比

除了λ就是衰变常数之外

其实我们在一般的衰变纲图

或者是这个同位素表里面

看到的最多的描述

这个不稳定核素的一个特征量

是半衰期

半衰期的定义很明确

就是指的放射性核的总的数目

衰变掉一半所需要的时间

所以我们用T(1/2)去表示它

这是半衰期

我们按着半衰期的定义

很容易找到

它和衰变常数之间的关系

我们直接把它的定义

写成一个表达形式

在这个表达式里面

我们把前面

我们用的那个参数t

用T(1/2)去代替

这样的话N(T(1/2))

就等于N(0)·e^(-λT(1/2))

那它应该就等于1/2·N(0) 这是定义

显然把这个式子稍微整理一下

我们可以得到T(1/2)

应该等于ln2/λ

所以这个找到的

就是半衰期和衰变常数之间的

一个关系

显然半衰期是时间的一个长度

所以它的量纲就是时间

通常我们用秒

小时 天或年

或者更小的毫秒等等去表示它

当然我们还可以得到

下面这个关系

N(t)=N(0)·e^(-0.693t/T(1/2))

或者我们直接用那个

我们通过实验总结出来的规律

去表达它就可以

N(t)=N(0)·(1/2)^(t/T(1/2))

这样一个关系去表示它

除了半衰期之外呢

我们还常用另外一个

时间长度的特征量去描述放射性

叫平均寿命

平均寿命从定义上来说

它应该等于总的寿命

除以总的核数

也就是说

这一堆原子核都衰变完了

每一个原子核衰变的时候

它的那个距时间零点的那个长度

我都记下来

然后把这些长度加起来

除以这个衰变完的那些核的数目

就可以得到它的平均寿命

这个我们去看一下

我们定义0时刻

总的核的数目是N(0)

然后我们看一下总寿命是多少

总的寿命

我们不知道是多少

我们先来考虑t到t加dt

这个时间段里面

发生衰变的原子核的数目

这个时间段里面

发生衰变的原子核的数目

我们前面已经给过表达式

它就等于

λ·N(t)·dt

当然这些原子核

它的寿命都是t

因为在t时间这个dt时间里面

进行衰变的

它们的总的寿命

我们可以直接写出来

就是t乘以这个总的核的数目

就是t·λ·N(t)·dt

当然我们知道

这个t的取值的范围

是零到无穷

所以我们说总的核的寿命的话

应该是一个积分关系

就是零到无穷

把上面的这个式子拿下来做积分

最后得到的关系呢

就是N(0)/λ

这是总寿命

总寿命是N(0)/λ

总核数是N(0)

用总寿命除以总的核数

我就可以得到平均寿命

显然平均寿命应该等于1/λ

它和T(1/2)的关系的话是

τ=1.44·T(1/2)

显然这个平均寿命

比半衰期要长一些

我们再来看这个描述

放射性衰变的第四个特征量

叫衰变宽度

由放射性衰变的量子理论

一个原子核所处的能量状态

如果具有不确定性

也就是说

它所处的能级有一定的宽度

这个时候它就是不稳定的

也就是说能级宽度不为零

导致原子核状态的不稳定性

这个关系呢

我们可以用不确定度关系

直接写出来

Γ 我们是这个能级的宽度

它和τ 就是平均寿命

它们俩之间是一对不确定关系

所以Γτ

我们直接可以约等于h拔去表示它

h拔是普朗克常量

这样的话

我们找到了第四个特征量

显然我们说Γ小的时候

τ就大

说明这个原子核总数

衰减的就慢些

Γ较大的时候

τ就比较小

原子核总数衰减的就更快一些

这样的话我们就找到了

描述放射性的4个特征量

这4个特征量

它们互相之间是不独立的

有了一个特征量

其余的3个特征量

我们直接就可以给它写出来

因为它们之间都是相关的

我们用一张表去描述

它们之间的相互关系

这几个特征量的大小

和放射性核的总的数目

衰减的快慢的关系呢

其实我们直接也可以得到

λ它的大小

直接和这个放射性核

总的数目变化

是一个正比的关系

λ越大 总数衰减的就越快

λ越小 总数衰减的就越慢

当然这里面有两个时间单位的量

就是半衰期和平均寿命

显然这个半衰期越长呢

它衰减的就慢一些

当然平均寿命和它之间

是一个正比的关系了

这个就是关于

描述放射性的4个特征量

大家要掌握每个特征量

它具体的定义

它的物理意义

掌握它们之间的关系

能够灵活地运用它们

这一节的内容我们就讲到这里