1.1 分数傅里叶变换背景与理论在线视频

同学们好

今天给大家介绍的是

分数傅里叶变换的绪论

主要内容

分为三个部分

首先给大家介绍一下

研究背景

阐述研究

分数傅里叶变换的动机

然后简要介绍一下

分数傅里叶变换

给大家

一种直观的理解

最后介绍一些

经典的

理论工作

让大家

对其理论发展

有个清晰的了解

奥本海姆的

《离散时间信号处理》中提到

信号一般总是携带着

某一物理系统

有关状态

或行为特征的信息

并且常常是

为了人与人之间

或人与机器之间

交换信息目的

而组成

可以说

信号是信息的载体

信号处理

无处不在

包括雷达

通信 光学 遥感等

多个领域

而傅里叶分析理论奠定了平稳信号

线性时不变系统的分析基础

支撑了信息科学的一次飞跃

傅里叶变换信号处理体系

主要包括采样 滤波 单域分解

随着现代信息系统的飞速发展

以及对信息系统性能要求的不断提高

基于傅里叶变换的

传统信号处理方法

已凸显弊端

在高速目标

探测等领域

信号呈现出

时变 非平稳等复杂特性

傅里叶分析体系

在实际应用中

都遇到了

新的挑战

以分数傅里叶变换为代表的

分数域分析理论与方法

能够提供介于时域

和频域之间的

分数域信号表征

为非平稳信号处理

和线性时变系统分析

开辟了新途径

那么什么是分数傅里叶变换

接下来

我们给出它的

一些直观解释

来帮助大家

理解其基本的物理概念

傅里叶变换

用于分析

平稳信号

相当于让信号的

时频平面

旋转了π/2

分数傅里叶变换

可以分析非平稳信号

让时频平面

旋转任意角度

根据非平稳信号模型

进行相应的

非平稳信号分析

使信号

在合适的分数域

频带变窄

能量得到聚集

即信号的分数域分析

总结起来

分数傅里叶变换

有以下三个特征

首先从时频分布来看

它的作用是对

时频平面的旋转

如中间图展示的

是矩形窗函数的

时频分布

随分数阶次的变化

第二点

其基函数是chirp信号

如右图

展示的不同阶次的chirp信号

可以看出

chirp信号可以在

对应的分数阶次聚焦

第三点

分数傅里叶变换

适用于分析

非平稳信号

相比于傅里叶变换

分数傅里叶变换

考虑到了频率的变化率等等

将分数傅里叶分析

从数学工具

发展为信号处理工具

需完善

分数域信号处理理论

将理论与雷达 通信 光电等结合

需要研究分数域信号处理方法

接下来

我们来介绍

一些分数域

信号处理

理论工作

我们将分数域信号处理理论体系

大致梳理成

以下几个方面

包括分数域定义与性质

分数域卷积与滤波

分数域采样

与重建

分数域

检测与估计

分数域变换与离散

以及分数域时频分布

接下来

我们列举

其中一些代表性的理论工作

让大家先有一个直观的感受

更详尽的内容

由后续课程

再慢慢展开

首先是分数傅里叶变换的定义

这部分推导了

分数傅里叶变换的定义与性质

讲述了其与傅里叶变换以及线性

正则变换的关系

第二部分理论工作

是分数域卷积与滤波

对于频域可分离的信号

在频率做乘性滤波

对应的时域表征是卷积

对应的系统

是线性时不变系统

但是频谱不可分离

在某分数域可分离的信号

需要在分数域做乘性滤波

需要考察时域对应的特征

我们称这种特征为分数卷积

这种卷积对应的系统

为线性时变系统

具体来讲

从不同的角度

我们得到三种不同的分数卷积

分数傅里叶变换

在处理非平稳确定信号方面

表现出很大的优势

但是非平稳 随机信号的

分数域表征规律还未知

因此需要发展

分数域随机信号的统计量

具体来讲

发展了分数相关函数

和分数功率谱

提供了非平稳随机信号的分数域统计量

第三部分是分数域采样与重建

带限平稳信号采样

在傅里叶域是周期延拓满足采样定理

即可准确重建原信号

然而对于宽带非平稳信号采样

在频域 频谱混叠

难以满足采样定理要求

无法重建原信号

宽带非平稳信号的采样及重建

成为限制

现代信息系统性能提升的瓶颈问题

而分数域均匀

非均匀采样定理

为解决宽带非平稳信号的高效采样

存储难题

提供了一条新途径

我们发现了采样信号的分数域谱特性

即除幅度谱周期延拓外相位谱

还有线性调制

提供了更一般化的结论

当 α=π/2 时

采样信号的分数谱

退化为频谱

为采样信号的谱分析

提供了更广阔的视角

第四部分是分数域检测与估计

多分数域联合检测

及参数估计方法

实现了对多分量信号的调频率

频率 相位

幅度的有效

和无偏估计

性能逼近

Cramer-Rao界

在不影响精度的前提下

显著降低了计算复杂度

有效抑制了

强信号分量

对弱信号分量的影响

为解决多分量频率时变信号

去噪和特征感知

提供了新方法

第五部分是分数域变换与离散

对于傅里叶变换

FFT的提出

极大推动了傅里叶分析

在信号处理中的应用

同样地

分数域离散与快速算法

在实际应用中

发挥着重要作用

目前的离散分数傅里叶变换

有很多种

主要可以分为两类

第一类是采样型离散分数傅里叶变换

它是借助FFT来实现离散化

效率比较高

但是会牺牲可加性性质

第二类

离散分数傅里叶变换

为特征分解型离散分数傅里叶变换

它是定义在

核范数的特征函数分解的基础上来实现的

它可以满足可加性

但是计算复杂度较高

即牺牲了

计算效率

大数据量的

分数傅里叶变换

计算复杂度很高

为了降低计算量

提出稀疏分数傅里叶变换

当信号在特定分数域稀疏时

稀疏分数傅里叶变换

可以有效降低

分数傅里叶变换的运算量

最后一部分

是分数域时频分布

短时傅里叶变换

可以给出信号分数谱

随时间变化的关系

具有比短时谱图

更精细的时频分辨能力

为局域非平稳信号分解

特征提取 与利用

提供了理论基础

今天关于分数傅里叶变换的绪论部分

就讲到这里

谢谢大家