7.3 分数小波变换II在线视频

同学们好

本次课我们将继续学习

分数小波变换的内容

本节课内容主要分为三个部分

第一部分讲述分数小波变换

正交多分辨分析的概念

第二部分将讨论正交分数小波的构造

第三部分将介绍分数小波变换的

快速离散算法

首先 我们来了解一下

分数小波变换的正交多分辨分析的概念

所谓正交多分辨分析

实质上是平方可积函数空间中

一组嵌套的子空间序列Vkα

但它需要满足一定的特性

下面 我们从分数域带限函数采样

与重构的角度

来阐述这一子空间序列

需要满足的特性

我们首先考虑

分数域πsinα带限信号

记V0α为其全体构成的集合

由分数域带限信号采样定理可知

任意分数域πsinα带限信号

都可以表示成由sinc函数生成的

标准正交基s0α n (t)的线性组合形式

同样 分数域2πsinα带限信号

可以表示成由sinc函数生成的

标准正交基s1 n α (t)的线性组合

分数域2的负1次幂πsinα带限信号

可以表示成由sinc函数生成的

标准正交基s负1 n α(t)的线性组合

更一般地

我们可以得到

分数域2的k次幂πsinα带限信号的

标准正交基线性组合形式

这里的k是任意的整数

这是分数域2的k次幂πsinα带限信号的

标准正交基线性组合形式

于是 我们可以看到

平方可积函数空间中

由sinc函数生成的子空间序列Vkα

满足以下四个性质

性质①表明子空间序列Vkα

是平方可积函数空间中的

一系列嵌套子空间

性质②表明各个子空间中的

函数存在尺度伸缩关系

性质③表明所有子空间的

并构成整个平方可积空间

而所有子空间的交则为零集合

性质④说明sinc函数的整数平移

和线性调频调制

构成V0α的标准正交基

这是由分数域带限信号

采样定理保证的

经过前面的讨论

现在我们给出

分数小波变换正交多分辨分析的定义

对于平方可积函数空间中的

子空间序列Vkα

如果它们满足以下四个性质

我们就称子空间序列Vkα

是平方可积函数空间的正交多分辨分析

这里需要注意的是

子空间Vkα的生成函数

不再是sinc函数

而是一般的生成函数ϕ(t)

我们称之为尺度函数

现在 基于正交多分辨分析

我们来讨论如何构造正交分数小波

首先我们来构造分数小波子空间Wkα

它是尺度空间Vkα的正交补空间

即Wkα与Vkα垂直

同时它们的正交直和为Vk+1α

根据正交多分辨分析可以证明

分数小波子空间Wkα满足以下三个性质

性质①表明分数小波子空间

彼此是正交的

性质②表明所有分数小波空间的正交之和

构成整个平方可积函数空间

通过构造每一个分数小波子空间的

标准正交基

就可以得到平方可积函数空间上的

标准正交基

这是因为在工程应用当中

我们讨论的信号通常都是平方可积的

性质③表明各个分数小波子空间之间的

函数存在尺度伸缩关系

要想构造Wkα的标准正交基

只需构造W0α的标准正交基就足够了

下面 我们来讨论正交分数小波的构造

我们首先引入分数尺度方程

和分数小波方程

对于任意的整数n

由于ϕ 0 n α(t)

是尺度空间V0α的标准正交基

同时V0α又属于空间V1α

那么空间V0α中的函数

ϕ 0 0α (t)

就属于V1α

于是 ϕ 0 0 α(t)

就可以表示成空间

V1α标准正交基ϕ 1 n α(t)的

线性组合形式

其中h[n]为组合系数

这个线性组合方程称为分数尺度方程

类似地

我们也可以将分数小波子空间W0α中

函数ψ 0 0 α(t)展开成

空间V1α标准正交基

ϕ 1 n α(t)的线性组合形式

我们称之为分数小波方程

对分数尺度方程

和分数小波方程

两边同时进行分数傅里叶变换

可以得到两个方程的分数域表达形式

这里λ(ucscα)和γ(ucscα)

分别为分数小波变换

对应的低通滤波器

和高通滤波器的传输函数

现在我们继续讨论

正交分数小波所满足的条件

由于Φ0 nα (t)构成子空间V0α的

一组标准正交基

利用分数傅里叶变换

和分数尺度函数的分数域结果

可以导出分数小波变换的

低通滤波器λ(ucscα)满足这一条件

同样 我们可以得到

分数小波变换的高通滤波器γ(ucscα)

满足这一条件

此外 由于尺度函数空间V0α

与分数小波子空间W0α相互垂直

所以它们的标准正交基函数彼此相互正交

基于此 利用分数傅里叶变换

可以导出分数小波变换的

低通滤波器λ(ucscα)

和高通滤波器γ(ucscα)

满足这样的条件

于是我们可以得到正交分数小波的条件

即要求这里的矩阵M是酉矩阵

也就是说该矩阵与其

共轭转置的相乘为单位阵

接下来

我们来讨论分数小波变换的

快速离散算法

对于任意的平方可积函数

我们都可以将它展开成

分数尺度空间Vkα

和分数小波子空间Wkα上

标准正交基的线性组合形式

那么 在分数尺度空间Vk+1α中

我们可以得到这一结果

在这个等式两边

同时乘以函数ϕ k m α(t)的共轭

并对时间t进行积分

我们可以由k+1级分数尺度系数

得到k级分数尺度系数

同样 在等式两边

同时乘以函数ψ k m α(t)的共轭

并对时间t进行积分

我们可以由k+1级分数尺度系数

得到k级分数小波系数

这便是分数小波变换

快速离散算法的分解算法

基于前述分析

我们可以得到分数小波变换

快速分解算法的滤波器

实现原理框图

下面 我们来讨论分数小波变换的

快速合成算法

在这个等式两边

同时乘以函数ϕ k+1 m α(t)的共轭

并对时间t进行积分

我们可以通过k级分数尺度系数

和分数小波系数

计算出k+1级分数尺度系数

这是具体的计算公式

于是 我们可以得到分数小波变换

快速合成算法的滤波器实现

原理框图

易见它们可以理解为

分解算法的反向实现过程

现在 我们对本次课的内容做个小结

本节课我们首先介绍了

分数小波变换的正交多分辨分析的概念

之后 基于正交多分辨分析

我们又讨论了

正交分数小波变换的构成条件

最后 我们学习了分数小波变换的

快速分解算法和合成算法

本节课到此结束

谢谢大家