8.2 分数傅里叶变换与MIMO雷达模糊函数在线视频

同学们好

本节课我们介绍的是

分数傅里叶变换

与MIMO雷达模糊函数

近年来

MIMO雷达系统是研究的热点

MIMO雷达是指

多发多收的雷达系统

它比传统雷达在空间上

多了一个自由度

因此探测性能

可以得到进一步的提升

下面这个图是一个

均匀线阵结构的MIMO雷达系统

发射部分

由多个发射机组成

每个发射机都独立发射

不同的信号

在接收端

有多个接收机

每个接收机接收到的信号

是所有发射信号传输到目标

再由目标散射到

这个接收机的信号总和

所以MIMO雷达系统

与传统的单发单收雷达系统

是完全不同的

比较复杂

因此传统的模糊函数

并不适用

需要对MIMO雷达的模糊函数

进行定义

首先介绍的是

窄带MIMO雷达模糊函数

窄带MIMO雷达模糊函数的定义

并不是唯一的

由于MIMO雷达系统的结构

与天线阵列结构有关

不同的MIMO雷达系统

结构有不同的模糊函数定义

这里介绍的

最常用的一种天线结构

均匀线性天线阵

这个结构中

发射与接收天线

位于同一水平线上

并行排列

发射机之间的距离为d_T

接收机之间的距离为d_R

假设目标在远场

每个天线与目标的角度是相同的

都为θ

那么两个发射或接收机之间的距离

为d乘sinθ

所以第m个发射机

到目标

再到第n个接收机的距离为这个式子

假设第m个发射机发射的信号为

调制载波s_m(t)

第n个接收机接收到的信号为r_n

它是所有发射信号发射到目标

再由目标散射到

第n个接收机的信号总和

假设目标对所有的

发射机和接收机的速度和距离

都是相同的

每个发射信号在散射过程中

会产生一个时延

一个多普勒频率

以及一个与发射机和接收机

位置有关的频率

假设第n个接收信号

与一个参数为τ’,v’,f’的

接收信号做匹配滤波

并将所有匹配滤波

结果相加

得到的结果定义为

窄带MIMO雷达模糊函数

可以看到

等式右边的第一项

与接收信号无关

所以这一项可以省略

将第二项进行整理

可以得到

窄带MIMO雷达模糊函数

它由所有通道的匹配滤波

乘空间角度调制项的加和得到

其中λ_m，m’(τ,v)表示第（m，m’）通道的

匹配滤波

下面介绍

均匀线阵结构的

宽带MIMO雷达模糊函数

假设发射信号

为相互正交的信号s_m(t)

在第n个天线单元的接收信号

为这个式子

同样的

R_m,n (r_0，θ)

是第m个发射机到目标

再到第n个接收机的距离

β为多普勒因子

推导过程

与单发单收的宽带模糊函数相同

这里不做重复推导

所以第(m，n)个信道

与第m’个发射信号的匹配滤波

表示为

λ_n,m,m’ （r_0，β，θ）

这里与n有关

是因为没有对信号形式进行定义

n包含在了接收信号中

所以宽带MIMO雷达的模糊函数

为所有匹配滤波的加和

下面推导

分数宽带MIMO雷达模糊函数

将分数傅里叶变换

应用到发射信号和接收信号中

分数MIMO雷达宽带模糊函数

可以表示为这个式子

利用分数傅里叶变换的可加性

引入一个中间阶次φ

使α=α-φ+φ

从而核函数K_α (t，u)

可以表示成

阶次为α-φ和φ的

两个核函数的积分

把这个等式代入到

含有多普勒因子的核函数中

分数宽带MIMO雷达模糊函数

可以导出如下这个式子

这个式子比较复杂

从中很难找出什么规律

为了将推导出的

分数宽带MIMO雷达模糊函数

整理成一种简单的表达形式

定义两个算子

一个是F^α {⋅}

表示对信号做一个chirp调制

另一个是G^b {⋅}

表示对信号做Weirstrass变换

将这两个算子代入到

分数宽带MIMO雷达模糊函数中

左面这部分由算子F^α {⋅}表示

右面这部分由G^b {⋅}

和F^α {⋅}表示

这样分数宽带模糊函数

可以整理成

这样一种简洁的表达

从这个式子中可以看出

分数宽带MIMO雷达模糊函数的本质

其实是

两个由分数傅里叶变换表示的

新信号的相关

下面推导

分数宽带MIMO雷达模糊函数

与宽带雷达模糊函数的关系

考虑目标一般做慢速运动

即v远小于c

进一步可以得到

b约等于0

进而分数宽带MIMO雷达模糊函数

可以整理

近似为这样一个式子

这个式子更方便进行计算

这里的推导过程

与单发单收的情况类似

不做详细的介绍

当分数阶次满足α=0

分数宽带MIMO雷达模糊函数

退化为

传统宽带MIMO雷达模糊函数

如果M=1 N=1

则退化为

分数宽带模糊函数

如果M=1 N=1 α=0

分数宽带MIMO雷达模糊函数

退化为

传统宽带单发单收雷达模糊函数

下面介绍

与窄带MIMO雷达模糊函数

和Woodward’s模糊函数的关系

如果传输波形

限制为窄带调制载波

并且不同天线之间的多普勒影响

和时间延迟

是可以省略的

当α=0

分数宽带MIMO雷达模糊函数

可以近似为

窄带MIMO雷达模糊函数

当M=1 N=1 α=0

则退化为

Woodward’s 模糊函数

下面给出一个仿真例子来说明

分数宽带MIMO雷达模糊函数的优势

仿真中

MIMO雷达结构为

发射数量M=4

接收数量N=4的均匀线阵MIMO雷达

信号长度为512的多相编码信号

每个波形的持续时间为20微秒

时宽带宽积为128

采样间隔为2T_d∕512

由于分数宽带MIMO雷达模糊函数

与τ，β，θ

三个参数有关

所以每次将其中一个参数置0

观察另外两个参数

对分数宽带MIMO雷达模糊函数的影响

图1是θ=0时

传统宽带MIMO雷达模糊函数

和分数宽带MIMO雷达模糊函数的比较

这里模糊函数的幅值做了归一化

左图是传统宽带MIMO雷达模糊函数

右图是α=-04084时的

分数宽带MIMO雷达模糊函数

可以看到

分数宽带MIMO雷达模糊函数的

主瓣宽度

明显比

传统宽带MIMO雷达模糊函数窄的多

上一节我们介绍

对于信号的模糊函数

主瓣宽度越窄

副瓣高度越低

信号的性能越好

所以从τ和β这两个维度来看

在分数宽带MIMO雷达模糊函数的

评价体系下

信号的性能

比传统宽带MIMO雷达模糊函数好

图2是τ=0时

传统宽带MIMO雷达模糊函数

和分数宽带MIMO雷达模糊函数的比较

这里模糊函数的幅值做了归一化

左图是

传统宽带MIMO雷达模糊函数

右图是α=-04084时

分数MIMO雷达宽带模糊函数

可以看到

分数宽带MIMO雷达模糊函数的

主瓣宽度

明显比

传统宽带MIMO雷达模糊函数窄的多

所以从θ和β

这两个维度看

在分数宽带MIMO雷达模糊函数的

评价体系下

信号的性能

比传统的宽带MIMO雷达模糊函数要好

结合这两个图

可以认为

分数宽带MIMO雷达模糊函数

评价的信号性能

比传统宽带MIMO雷达模糊函数好

图3是关于

传统宽带MIMO雷达模糊函数

和分数宽带MIMO雷达模糊函数

距离切片和多普勒切片的比较

左图是距离切片

蓝色表示

传统宽带MIMO雷达模糊函数

红色表示

分数宽带MIMO雷达模糊函数

可以看到

在距离这一维

分数宽带MIMO雷达模糊函数的

主瓣宽度

和副瓣高度

与传统宽带MIMO雷达模糊函数相比

没有明显的变窄和变小

也就是说

分数宽带MIMO雷达模糊函数

不会改变

信号在距离维上的性能

但也不会使它变差

右图是多普勒切片

可以看到

在多普勒这一维

分数宽带MIMO雷达模糊函数

主瓣宽度明显变窄

副瓣高度明显降低

说明分数宽带MIMO雷达模糊函数

可以使信号在多普勒维上的性能

得到明显提升

总结一下

本节我们首先介绍了

均匀线阵结构下的

窄带MIMO雷达模糊函数

宽带MIMO雷达模糊函数

及分数宽带MIMO雷达模糊函数

可以发现

分数宽带MIMO雷达模糊函数

是现有模糊函数的广义形式

并且分数宽带MIMO雷达模糊函数本质

是对两个与原信号有关的

新信号的相关

且这两个新信号

都与分数傅里叶变换有关

所以通过设计分数阶次的值

使信号的性能更好

这样不需要通过硬件

就可以得到

性能优越的信号

而无需对原信号

做过多的要求

仿真验证了这一事实

仿真说明

在分数宽带MIMO雷达模糊函数

这一评价体系下

信号的性能可以得到提升

可以使原本

不符合性能要求的原信号

通过这种分数的

匹配滤波方式

达到性能要求

这节课就讲到这里

谢谢大家