4.2 分数域均匀采样定理I-采样信号的分数域谱分析在线视频

同学们好

今天我们要讲的内容是

采样信号的分数域谱分析

首先 什么是采样呢

采样就是指从模拟信号x(t)中

抽取一系列样本点x(nT_s)的过程

那么为什么要对信号进行采样呢

在做信号处理的时候

首先要把模拟信号变成数字信号

再对数字信号进行数字信号处理

因此 采样是模拟信号

和数字信号之间的桥梁

采样也是数字信号处理的前提和基础

而采样定理决定了

采样的合理和高效

首先 我们回顾一下

经典的奈奎斯特-香农采样定理

也就是低通采样定理

设x(t)是一个带限信号

最高频率为ω_m

那么当采样率ω_s大于两倍的信号最高频率时

x(t)就可以唯一由其均匀样点值所确定

那对于这样的一个采样信号

可以利用一个截止频率大于信号最高频率ω_m

小于ω_s-ω_m的理想低通滤波器

实现完全重建

然而在现代信号处理中

随着信息系统的飞速发展

基于傅里叶变换的传统信号处理方法已

凸显弊端

比如说在高速目标的探测等领域

信号呈现出时变

非平稳等复杂的特性

傅里叶变换理论体系在采样方面

遇到了新的挑战

这是由于对于宽带非平稳信号来说

为满足奈奎斯特率的要求

需要以极高的采样率进行采样

当采样率达不到要求时

将造成频谱混叠

从而无法重建原信号

因此 宽带非平稳信号的采样

与重建已经成为限制

现代信号系统性能提升的瓶颈问题

为了解决这样的问题

可以引入新的信号处理工具

分数傅里叶变换就是一个

非常好的信号处理工具

它是傅里叶变换的广义形式

并且当参数α等于二分之π时

可以退化为傅里叶变换

我们知道

当利用经典信号处理理论分析信号时

要么在时域对信号进行分析

要么在频域对信号进行分析

而在时域和频域之间

是无法进行分析的

而分数傅里叶变换

以线性调频信号为基函数

提供了信号介于时域和频域之间的

任意分数域的表征

十分有利于非平稳信号的处理

那么我们不禁要思考

在分数域是不是也有采样定理呢

下面我们就来讲一讲

分数域的采样定理

分数域的采样定理是在

分数域进行采样吗

其实不是

它是在时域进行采样

在分数域对信号进行分析和重建

那么 采样信号的分数谱是否也有

周期延拓等特点呢

当α等于二分之π的时候

采样信号的分数谱能否退化为频谱呢

利用分数域采样定理

能否降低信号重建所需的采样率下界

带着这些问题

我们来对采样信号和它的分数谱

进行分析

为了对连续信号在特定时刻进行采样

需要借助单位冲激函数

一个信号x(t)和单位冲激函数δ(t)相乘

就可以把x(0)抽取出来

这是利用δ函数的抽取性

x(t)和δ(t-T_s)相乘

就可以把x(T_s)抽取出来

对于一般情况x(t)和δ(t-T_s)相乘

就可以把x(nT_s)抽取出来

那么对于这样一个采样信号

它在时域表示为

原信号和单位冲激序列串的乘积

它在分数域对应什么变化呢

其实这个问题可以归结为

时域的乘积

对应分数域发生了什么变化

为了回答这个问题

需要用到时域乘积的分数域表征

我们看到

时域两个信号的相乘对应到分数域

是x(t)的分数谱先进行调制

再和h(t)的傅里叶谱进行卷积

其中 h(t)的傅里叶谱包含尺度伸缩

之后还要进行一定的相位调制和幅度调制

在这里X_α（u)是指原信号x(t)的分数谱

我们对原信号要有一个限定

设它是一个分数域带限信号

也就是说

它在分数域的最高频率是Ω_α

我们再看一下H

它对应的是单位冲激序列的傅里叶变换

此外 还有一个尺度的伸缩

我们知道

单位冲激序列的傅里叶变换仍然是一个

单位冲激序列

只不过周期变为了ω_s

幅度也变为了ω_s

其中T_s和ω_s之间有一个乘积是 2π的关系

我们把采样信号的分数傅里叶变换X_α

和单位冲激序列的傅里叶变换H带进去

就可以得到

时域的x(t)乘上单位冲激序列

对应到分数域

是x(t)的分数傅里叶变换

首先进行一个调制

然后和冲激序列的傅里叶变换

进行卷积

再进行一定调制的过程

下面我们来详细分析一下

每一项是什么样的表达

当n等于0的时候

对应调制后的分数谱与δ（u）的卷积

结果等于它本身

再看n等于1的时候

调制后的分数谱与δ（u-ω_ssinα）的卷积

所得结果

是将原分数谱移位到ω_ssinα的位置

那么一般而言

调制后的分数谱与δ（u-nω_ssinα）的卷积

就是把原分数谱移位到nω_ssinα的位置

将这个过程进行叠加

我们可以看到

采样信号的分数谱

就等于原信号的分数谱傅里叶变换

首先经相位调制

再移位到各个nω_ssinα的位置

这个过程就是周期延拓的过程

因此 我们最终可以得到

当信号在时域以T_s为间隔进行离散化

那么对应到分数域

它的分数谱首先进行相位调制

再以ω_ssinα为间隔进行周期化

再调制

相位谱呈现线性相位特性

对于这样一个表达

我们可以看到

如果假设

原信号在分数域的最大频率是为Ω_α

那么当ω_ssinα

大于两倍信号分数域最高频率的时候

采样信号的分数谱不发生混叠

当ω_ssinα等于两倍信号分数域

最高频率的时候

恰好不混叠

当ω_ssinα小于两倍

信号分数域最高频率的时候

就混叠了

因此 分数谱恰好不混叠的采样率

就是ω_s等于2Ω_α除以sinα

下面我们来关注一下

当α等于二分之π的时候

此时cotα等于0 sinα等于1

分数傅里叶变换退化为

傅里叶变换

采样信号的分数谱退化为频谱

信号的分数域

最高频率即为频域最高频率

保证采样信号分数谱

不混叠的采样率退化为

奈奎斯特率

我们来看一些例子

大家可以看到

对于一个线性调频信号

在不同的分数域

它的谱呈现出不同的形状

带宽也是不同的

对于一个矩形信号

也呈现出类似的现象

我们再看一个例子

这里展示了一个

2个分量线性调频信号的时域波形

以及采样信号在多个

不同分数域的谱

可见 当采样率固定时

采样信号在不同分数域具有不同的带宽

当α固定时

如果采样率很低

那么分数谱可能混叠

但是当采样率增大到一定程度时

分数谱就不再混叠了

因此分数谱的混叠情况取决于

α和采样率这两个参数

由于采样信号分数谱不混叠

所需采样率下界

与信号的分数域最高频率成正比

与sin(α)成反比

而这两个参数都与α相关

因此 样率下界受到参数α的影响

此外 我们有可能通过

调节参数α得到

比奈奎斯特率更低的采样率下界

最后 我们给大家一个思考题

如何利用采样信号重建原信号