2.1 分数傅里变换的定义在线视频

同学们好

今天我们要讲的内容是

分数傅里叶变换的定义

主要的内容分为三个部分

第一部分

讲分数傅里叶变换的思想起源

也就是说学者们是受到怎么样的启发

从而开始探索分数傅里叶变换

进而定义了分数傅里叶变换

第二部分内容

就是分数傅里叶变换的定义推导

第三对这节课的内容做一个总结

对于傅里叶变换大家都非常熟悉

在我们的学习和科研过程中

用的是很多的

对于分数傅里叶变换

从它的名字我们就应该觉得

它和傅里叶变换

是有非常密切的联系

我们来具体看一下

傅里叶变换的积分表达式

大家非常熟悉

除了积分表达形式的定义之外

傅里叶变换它还有一种定义方式

它是基于Hermite特征函数定义的

如果把一个傅里叶变换算子

定义到Hermite特征函数之上

就等于特征值e^(-jn(π/2))

乘以对应的特征函数

这两个定义方式它是等价的

也就是说

不管是通过积分核的定义

去定义傅里叶变换

还是通过特征函数的方式

来定义傅里叶变换

对应的变换算子F^(π/2)

是同样的

其中 对于傅里叶变换算子

它的特征值是e^(-jn(π/2))

我们就在想e^(-jn(π/2))

能不能给它一般化一下

也就是说特征值变成

e^(-jnα)

其中α=pπ/2

那么 如果一个算子满足这样的性质

它对应的积分表达式

又应该是什么样子的

类似于在傅里叶变换里边

两种算子的定义方式

我们想要知道分数傅里叶变换

它的积分核表达形式有没有

如果有的话

它的形式又是什么样的

这是我们本节课重点关注的内容

对于傅里叶变换

我们常见的是左边的表达式

用它们表示傅里叶变换的正变换与逆变换

其实它就等价于右边的算子形式

F^(π/2)

F^(-π/2)

来表示它的正逆变换

其中t表示对应的时域变量

而u表示对应的是变换域的变量

刚刚我们已经讲过了

傅里叶变换算子

F^(π/2)的特征函数是Φn

如果我们定义这样的一个表达式

其中它的特征函数保持不变

还是原来傅里叶变换算子的特征函数

而它的特征值由e^(-jn(π/2))

变成了e^(-jnα)

我们定义如果一个算子

满足这样的性质

我们就把它定义为分数傅里叶变换算子

所以说这个分数傅里叶变换的定义

最开始是基于特征函数的表达式提出的

这个表达式给出之后

我们下一步就在想

能不能类似于傅里叶变换

给它推导一个基于积分核表达式的定义

在开始分数傅里叶变换的

积分形式的定义推导之前

首先来看一个背景知识

对于任意的一个函数f(t)

它都可以表示为

Hermite多项式的加权和

之所以可以表示

是因为Hermite多项式

构成了一组完备正交基

对于任意的函数

必然可以被完备正交基进行表示

其中对应的系数an的计算方式

类似于在傅里叶级数中

系数的求解方式是一样的

通过那个公式

我们就可以得到an

这个知识给我们之后

我们发现

刚刚定义的分数傅里叶变换算子

它与Hermite函数密切相关

而对于一个任意的函数

它可以由Hermite多项式进行表示

所以我们就在想

如果把分数傅里叶变换算子

作用在函数f(t)上

根据对应的形式

能不能推导出积分核形式的定义

把分数傅里叶变换算子F^α

定义在任意函数f(t)上

f(t)可以由Hermite多项式

进行线性表示

也就是说

F^α*|f(t)|

=F^α*(Σan*exp((-t^2)/2))Hn(t))

其中φn(t)=e^((-t^2)/2)*Hn(t)

为Hermite特征函数

利用我们刚刚定义的

分数傅里叶变换算子的性质

F^α*e^((-t^2)/2)*Hn(t)

=e^(-jnα)*exp((-u^2)/2)*Hn(u)

因此 当F^α作用到Hermite

特征函数之上

就等于特征值乘以对应的特征函数

那么根据这个定义

就可以把F^α省掉了

只剩下最后的一个特征值

乘以对应的特征函数

接着 我们an这样一个积分的

表达把带进来

之后把结构类似的项合并到一起

然后在积分项里

左边包含Hn(t)乘上Hn(u)项

右边是e^((-u^2)/2)

e^((-t^2)/2)

观察发现

在积分号里有求和操作

我们就在想这个求和操作能不能消掉

这就需要用到一个非常著名的公式

Mehler公式

Mehler公式的左边是求和的表达形式

右边的和号就已经没有了

对照刚刚推导的公式

F^α [f(t)]是求和再积分的这样一个表达

发现它里边的求和

正好是Mehler公式的左侧

因此我们就把这部分的内容

用Mehler公式右侧的公式

表达进行替换

代入之后

现在的公式中只有积分表达形式

求和号已经消去了

其实 到此为止

已经给出了分数傅里叶变换的

积分核表达形式

但是这个积分核是非常复杂的

我们能不能再进行进一步的化解

方便我们后续来使用

对于现有的分数傅里叶变换的

积分核表达形式

当α≠π/2的时候

我们推导一下

它最后可以简化成一个什么形式

首先我们来看一下

现在的分数傅里叶变换的

积分核里边

系数能不能再进一步化简一下

这个系数我们把它拿出来

它就是e/(√(π)√(1-e^(-2jα))

通过化简之后

把它拆成两项的和

√(((1/(2π))+(1+e^(-2jα))/(2π*(1-e^(-2jα)))))

在第二项中1+e^(-2jα)

除以1-e^(-2jα)的形式

看上去是比较复杂的

我们就针对它先单独的化简一下

化简的方法是利用欧拉公式来进行的

同时 利用二倍角公式

通过化简就可以得到

(1+e^(-2jα)/(1-e^(-2jα))

=-jcosα

把这个结果带到原来式子

√(((1/(2π))+(1+e^(-2jα))/(2π*(1-e^(-2jα)))))

最后就得到

1/(√(π)√((1-e^(-2jα))))

=√((1-jcosα)/2π)

这就是关于系数的化简

接下来我们来看一下ut项的化简

ut项对应的项为

exp[(2ute^(-jα))/(1-e^(-2jα))]

我们把ut提出来

得到exp((tu*2e^(-jα))/(1-e^(-2jα)))

之后化简2e^(-jα)/(1-e^(-2jα))

同样用欧拉公式化简得到

2e^(-jα)/(1-e^(-2jα))=-j/sinα

进而可得

exp[2ut*(e^(-jα)/(1-e^(-2jα)))]

=exp(-jtu/sinα)

目前为止 ut项的系数化解完毕

下一步就剩下t^2和u^2

前面系数的化简

我们先观察一下

对于t^2项和u^2项

它们的系数其实上是对称的

也就是t^2项有的系数

u^2项必然是有的

所以说我们只需要化简

t^2前面的系数

那么对应的

u^2前面的系数就是一样的

我们来看一下

t^2的系数存在于两个部分

所以我们先把它们拿出来进行合并一下

它们相乘之后对应的指数位置相加得到

exp[(-e^(-2jα)t^2/(1-e^(-2jα)))*exp(-t^2/2)

=exp[(-e^(-2jα))/(1-e^(-2jα))+(-t^2/2)]

之后进行化简

把它合并到一起

再把t^2提出来

进而得到目前的t^2项为

exp[(-1/2)*((1+e^(-2jα))/(1-e^(-2jα)))*t^2]

下一步

用欧拉公式化简

(1+e^(-2jα))/(1-e^(-2jα))

化简之后得到

(1+e^(-2jα))/(1-e^(-2jα))=-jcotα

将其带回

exp[(-1/2)*((1+e^(-2jα))/(1-e^(-2jα)))t^2]式子里边

就得到t^2的项为exp[(jcotα)/2*t^2]

此时t^2的项已经化简完成了

当然u^2显然为exp[(jcotα)/2*u^2]

到现在为止

比较复杂的分数傅里叶变换的

积分核通过简化之后

就得到比较简单的

分数傅里叶变换的形式

通过观察发现

分数傅里叶变换

在指数位置有三项

t^2项 u^2项和ut项

其中t^2和u^2的系数是一样的

不同于傅里叶变换

这里ut项的系数是-j/sinα

这个是和傅里叶变换不同的一个地方

既然分数傅里叶变换

和傅里叶变换是密切相关的

在基于特征函数的定义里

它们仅仅差异在特征值上

那对于积分核的表达形式

分数傅里叶变换

能不能退化到傅里叶变换

这个答案是显然的

当我们取α=π/2时候

对应的cotα=0 sinα=1

此时就可以推导出

傅里叶变换的表达形式

因此 分数傅里叶变换

可以退化到傅里叶变换

我们对这节课的内容来做一个总结

这部分内容

首先基于傅里叶变换特征函数的定义

将它的特征值分数化之后

定义对应的算子为分数傅里叶变换

进而把算子作用到一般的函数f（t）上

推导出来分数傅里叶变换的

基于积分核的形式定义

从而就实现了傅里叶变换

到分数傅里叶变换的推广

同时 分数傅里叶变换

也可以退化为傅里叶变换

这就是本节课

我们所学习的分数傅里叶变换的

定义推导

谢谢大家