2.3 一维-二维分数傅里叶变换在线视频

同学们好

今天我们要讲的是

一维/二维分数傅里叶变换

主要分为三个方面的内容

首先我们来介绍一下

傅里叶变换的局限性

然后再分别介绍一下

一维和二维分数傅里叶变换

传统的信号分析 建立在

傅里叶变换的基础上

那么通过引入傅里叶变换

就使人类对于自然界中复杂信号

或者是图像的分析与处理

转变为较为简单的

频域特征的分析与处理

但是

傅里叶分析要么完全在时域

要么完全在频域

它无法反映

信号的时频特性

这主要是因为

傅里叶变换的基函数是正弦信号

可以得到信号的整体频谱

具有全局分析的特性

有利于分析频率

不随时间变化的平稳信号

而对于频率随时间变化的非平稳信号

傅里叶变换就遇到了困难

为了分析和处理非平稳信号

人们对于傅里叶分析进行

推广 乃至根本性的革命

提出并发展了

Gabor变换

小波变换

Randon-Wigner分布

以及分数傅里叶变换等时频分析工具

接下来我们就来介绍一下

分数傅里叶变换的相关知识

首先我们从基函数的角度来对比一下

傅里叶变换和分数傅里叶变换

众所周知

傅里叶变换的基函数是基于

时间轴上无限伸展的正弦波

单频率的正弦波对应频域的一根谱线

不同频率的正弦函数集

就构成了傅里叶变换的基函数

与此类比

分数傅里叶变换的基函数

是线性调频信号

从数学形式上来看

与傅里叶变换的基函数相比多了平方项

因此可以看作

傅里叶变换基函数的推广

那么单频率 单阶次的线性调频信号

就对应于时频平面上

该阶次的一根分数谱线

我们在这里

仿真图中

不是标准的 冲击形式

是由于离散化算法的误差所造成的

不同频率单阶次的线性调频函数集

就构成了 该阶次下

分数傅里叶变换的基函数

因此随着变换阶次的变化

分数傅里叶变换就能够提供

介于时域和频域之间的

任意分数域表征

下面我们通过一个

线性调频信号的例子

来理解一下

傅里叶域和分数傅里叶域的区别

如图所示

处于时域的线性调频信号

在经过傅里叶变换之后

所得到的频谱是展宽的

而在它的最佳匹配阶次的

分数傅里叶变换域

则是一根分数谱线

此时它的能量达到高度集中

我们可以通过线性调频信号

从时域逐步变化到频域的整个过程

来理解一下

首先信号处于时域

在经过不同阶次的

分数傅里叶变换之后

呈现出不同的分数谱

当达到最佳匹配阶次的时候

能量高度集中

成为一个冲击

当过了最佳匹配阶次之后

它的能量 又逐步分散开

因此可以说

利用分数傅里叶变换

所特有的旋转角度参数

就可以展现出信号

从适于 逐步变化到频域的所有特征

以大家都熟悉的

矩形信号为例

它在时域是一个矩形函数

对应的频谱是一个Sinc函数

我们通过这个动图

展示了矩形信号从时域

逐步变化到频域的整个过程

可以看到

分数傅里叶变换

可以为我们提供关于信号的

多域精细特征

通过分数傅里叶变换的

定义式可以看到

分数傅里叶变换的参数

不仅包含时频域变量

还包含变换角度α

那么如果有一个非平稳信号

它是由两个阶次的线性调频信号

叠加所得到的

大家思考一下

如果我们对这个信号

进行分数傅里叶变换

会出现什么现象呢

如图所示的非平稳信号

是由两个不同阶次的线性调频信号

叠加所得到的

我们对它做不同阶次的分数傅里叶变换

当到达 其中一个信号的

最佳匹配阶次时

它的分数谱能量聚集

出现第一次冲击

而另一个信号的分数谱

此时以类噪声的形式存在

当到达 第二个信号的

最佳匹配阶次时

出现第二次能量聚集

同样的

另一个信号的分数谱

也是以 类噪声的形式存在

当阶次到达频域的时候

呈现出该非平稳信号的频谱信息

可以看到

该非平稳信号的频谱能量比较分散

且频谱占据的带宽比较宽

那么这一过程我们也可以通过

一个动图的形式来展示

图中是在不同的阶次下

非平稳信号的分数谱特征

可以看到

非常明显的两次冲击

下面我们来总结一下

分数傅里叶变换的特点

分数傅里叶变换

是一种统一的时频变换

随着阶次从0连续增长到1

分数傅里叶变换展示出

信号从时域逐步变化到频域的所有特征

可以为信号的时频分析

提供更大的选择余地

最直接的利用方式

就是将传统时域 频域的应用

推广到分数域

以获得某些性能上的改善

分数傅里叶变换可以理解为

线性调频基分解

因此它十分适合

处理chirp类信号

而chirp类信号

在雷达 通信 声纳

以及自然界中经常遇到

分数傅里叶变换是对时频平面的旋转

利用这一特点

可以建立起分数傅里叶变换

与其它时频分析工具的关系

既可以用来估计瞬时频率

恢复相位信息

又可以用来设计新的时频分析工具

相比傅里叶变换

分数傅里叶变换多了一个自由参数

因此在某些应用场合

能够得到更好的效果

如数字水印和图像加密等

另外

分数傅里叶变换是线性变换

没有交叉项干扰

在具有加性噪声的多分量情况下更具优势

分数傅里叶变换

具有比较成熟的快速算法

这既保证了

分数傅里叶变换能够进入

数字信号处理的工程实用领域

又可以以它为基础

为其它的分数阶算子

或变换提供快速算法

如分数卷积

相关及分数Hartley变换等

我们在前面介绍了

一维分数傅里叶变换的物理意义及特点

那么对一维分数傅里叶变换进行推广

就可以得到高维的分数傅里叶变换

下面我们就来简单介绍一下

二维分数傅里叶变换的知识

将一维分数傅里叶变换的核函数进行拓展

就可以得到二维分数傅里叶变换的核函数

如下其中α=p1π/2

β=p2π/2

它们表示信号通过

二维分数傅里叶变换之后的旋转角度

可以看出

与二维傅里叶变换的核函数一样

二维分数傅里叶变换的核函数

也是可分离的

那么我们应用

二维分数傅里叶变换核

在变换阶次P1和P2给定的情况下

信号f（s,t）的二维分数傅里叶变换

就可以定义为如下形式

根据一维情况

可以得出如下结论

当α=β=π/2时

二维分数傅里叶变换退化为

传统的二维傅里叶变换

当α=π/2 β=0时

二维分数傅里叶变换仅对

s方向做传统的傅里叶变换

当β=π/2 α=0时

二维分数傅里叶变换仅对

t方向做传统的傅里叶变换

当α=β=0时

二维分数傅里叶变换是恒等变换

通过前面的学习

我们已经知道

单频率单阶次的一维线性调频信号

在时域的表现形式

我们也知道

在它的匹配阶次

其分数傅里叶谱是一个冲击

那么大家可以考虑一下

对于二维线性调频信号

它的时域表达形式又是怎样的呢

如图所示

我们给出了二维线性调频信号的

时域表现形式

可以看到它是由一系列

明暗相间的圆环组成

为了让大家有更加直观的理解

我们也给出了它的三维表示形式

与一维信号一样

二维线性调频信号

也是非平稳信号

所以它的频谱所占的带宽也比较大

如图所示

如果我们对其进行二维分数傅里叶变换

当在行方向和列方向上

都达到最佳匹配阶次的时候

二维线性调频信号的分数谱

也是一个冲击

具有能量聚集的效果

众所周知

对于二维矩形信号来说

它的频谱是一个二维Sinc函数

如图所示

如果基于傅里叶分析

我们只能在时域或者频域

观察和分析该信号

而在引入了二维分数傅里叶变换之后

我们就可以在不同的阶次

对矩形信号进行分析和处理

如图展示了二维矩形信号

在0.2阶次

0.5阶次

0.7阶次

和0.9阶次下的实验结果

在不同的阶次下

展现出了不同的特征信息

在进行该实验的时候

行方向和列方向的变换阶次取相同的值

为了让大家对二维矩形信号从时域

连续变化的频率的特征

有更加直观的认识和理解

我们给出了一个动图来展示这一过程

这就为矩形信号的时频分析

提供了更多的选择余地

和更加精细的信息

同样的

如图所示是图像信号

经过不同阶次的分数傅里叶变换的结果

它可以反映图像从时域

逐步变化到频域的所有精细特征

有利于完成更加有效的图像特征提取

也就是说分数傅里叶变换

能够将传统的图像观测域

从与时间正交的频域旋转到

时频平面上任意角度的分数域

进而在分数域对图像进行分析和处理

这样不仅能够实现传统方法的功能

而且克服了傅里叶变换

仅仅在频域进行分析的局限

因此具有更好的普适性和灵活性

有望实现更好的图像处理效果

由于二维分数傅里叶变换

具有行方向和列方向

两个自由的阶次变量

因此我们还可以将两个方向的阶次

取不同的值

如图所示

展示了peper图像

在不同阶次下的结果

现在利用神经网络提取图像特征

是比较热门的 研究方向

但是神经网络

往往用来提取图像的空域特征

通过这节课的学习

我们知道图像的分数谱

可以提供更多更精细的时频联合特征

因此

我们就可以将不同阶次下的

图像特征输入到神经网络中

有望得到更好的图像处理结果

以上就是

本次课的全部内容

谢谢大家