4.3 分数域均匀采样定理II-信号重建在线视频

各位同学

大家好

我今天讲授

分数域采样定理中的信号重建

什么是分数域的采样定理呢

是在分数域进行采样吗

不是的

它是在时域进行采样

在分数域对信号进行分析和重建

我们首先来回顾一下

采样信号的分数谱是什么样的呢

如上面的这个公式

采样信号的分数谱

等于原信号的分数谱

首先进行相位调制

再以ω_ssinα为间隔进行周期化

再调制

那么对于这样一个

周期延拓的分数谱

我们怎样对它进行重建呢

实际上 我们只需要

把它的主值区间内的分数谱

取出来就可以

我们发现

当n等于0的时候

在信号的分数谱

和原信号的分数谱之间

只有一个幅度系数的差别

因此 我们可以利用

一个分数域理想低通滤波器

将它与采样信号的分数谱相乘

就可以把主值区间内的

分数谱恢复出来

实现原信号的分数谱的准确重建

那么重建的分数谱

对应的时域表达式是怎样的呢

也就是说

两个信号的分数谱的乘积

对应到时域会发生怎样的变化呢

为了解决这个问题

我们要利用一下分数卷积定理

在上一节中我们用到

时域的相乘对应分数域的卷积

由于时域 分数域具有对称性质

因此可以得到分数域的相乘对应的是

X_α(u)的分数傅里叶反变换x(t)

首先做一个调制

再与H_α(u)的傅里叶反变换进行卷积

其中

H_α(u)的傅里叶反变换存在尺度伸缩

再进行一定的调制的过程

在这里

第一个信号对应的是采样信号

第二个信号对应的是

分数域理想低通滤波器的傅里叶反变换

并存在尺度伸缩

我们知道 时域的一个门函数

它的傅里叶变换是一个sinc函数

那么 一个门函数

它的傅里叶反变换

依然是一个sinc函数

因此

分数域理想低通滤波器的傅里叶反变换

是一个sinc函数

最后我们将采样信号和sinc函数

带入卷积表达式中

首先消掉一些常数项进行化简

得到以下的表达式

我们看 在这个表达式中

最关键的是什么呢

最关键的地方有两个

第一个就是

采样信号中的δ函数

与相位调制项相乘

这里利用到了δ函数的抽取性

第二个就是

δ函数与sinc函数卷积

由于公式中包含无限求和

下面我们来一项一项的分析

看最后得到的是什么样的结果

首先来看n等于0的时候

δ函数卷积sinc函数

得到的是sinc函数本身

这里x(0)起到的作用是幅度调制

接下来

δ(t-T_s）和sinc函数做卷积

作用是将sinc函数移位到T_s的位置

这里x(T_s)存在一个调制项

它们整体起到的作用也是幅度调制

一般而言

δ(t-nT_s）和sinc函数的卷积

是将sinc函数移位到nT_s的位置

这里x(nT_s)也存在一个调制项

它们整体起到的作用也是幅度调制

因此 无限求和的结果

就是sinc函数的移位再进行

加权求和的结果

其中权重为采样信号乘上一个调制项

最终

我们可以得到重建信号的表达式

这个表达式的形式比较复杂

我们可以这样理解它

由于采样信号x(nT_s)里面包含一个

负的e^{-j(cotα/2)(nT_s)^²}项

因此 首先要乘上正的e^{j(cotα/2)(nT_s)^²}

把采样信号的调制项抵消掉

然后利用经典的时域内插公式

也就是对sinc函数进行加权求和

最后 再做一次相位调制

就能将信号重构出来了

当α等于二分之π的时候

信号的分数域重建公式就退化为

经典的时域内插公式

因此 我们可以看到

分数域采样定理

是傅里叶域采样定理的一般形式

那分数域采样定理告诉我们

怎样的结论呢

我们来总结一下

设x(t)是一个分数域带限信号

那么当采样频率

ω_s大于两倍的信号分数域最高频率

除以sinα的时候

x(t)就可以唯一的由其均匀样本点所确定

那对于这样的一个采样信号

可以利用一个分数域理想低通滤波器

实现信号的完全重建

相比于经典采样定理

分数域采样定理具有如下优势

第一

分数域采样定理的结论更加一般化

且当α等于二分之π时

可以退化为经典的傅里叶域采样定理

第二

分数域可以提供

信号介于时域和频域之间的

任意分数域表征

为采样信号的谱分析提供了更广阔的视角

第三

分数傅里叶变换包含一个自由参数α

通过合理选取参数α

有望降低信号重建所需采样率下界

我们本节课学习的

是分数域低通采样定理

那么

假如原信号是一个分数域带通信号

我们仍然可以选取

采样率为两倍的信号

分数域最高频率除以sinα

此时采样信号的分数谱不发生混叠

但此时

采样信号的分数谱存在很多间隙

造成了频带的浪费

所以

如何更加高效地对分数域带通信号

进行采样呢

这是我们要研究的一个课题

第二个

时钟随机抖动会造成非均匀采样

当我们假设随机时钟抖动是均值为零

服从高斯分布

相互独立的随机变量时

如何对采样信号的分数谱

进行分析和重建呢

第三个

在多路并行采样中

可能存在确定性时间偏差

引起周期非均匀采样

对于这样一个问题

我们怎么推导出非均匀采样定理呢

第四个

是时间偏差和时钟抖动造成的

非均匀采样

这是一种更复杂的非均匀采样

也是我们要去研究的问题

第五个

是多路并行采样中

随机时间延迟造成的

随机周期非均匀采样

大家课下也可以去思考

还有更加复杂的

随机时间延迟

加上时钟抖动造成的非均匀采样的情况

在这些非均匀采样问题中

有一些共性的问题值得去研究

第一

如何求取非均匀采样信号的分数谱呢

第二

非均匀采样会引发分数谱的畸变

此时该如何有效表征和补偿

分数谱的畸变

此外 当存在多种非均匀因素时

不同因素引发的分数谱畸变可能发生耦合

此时该如何解耦

面我们给大家一些参考文献

大家课下可以研读

好我们就讲到这里

谢谢大家