2.2 分数傅里叶变换的性质在线视频

同学们好

上节课我们已经讲了分数傅里叶变换的

积分核定义

那么这节课我们来探究一下

分数傅里叶变换的性质

主要的内容分为两个部分

第一部分是分数傅里叶变换的时频统一性

第二部分我们介绍分数傅里叶变换的

一个非常重要的性质

分数傅里叶变换的可加性

首先我们回忆一下

分数傅里叶变换的积分核定义的推导过程

我们上节课内容已经说过了

傅里叶变换具有基于Hermite特征函数的

算子表示

当把特征值分数化之后

我们就得到了对应的分数傅里叶变换的

基于Hermite特征函数的表达形式

当把特征值特殊化

令p等于1的时候

对应的特征值就变成e^-jnπ/2

这个时候就对应于傅里叶变换的

基于特征函数的定义形式

因此 在基于特征函数的定义方面

分数傅里叶变换和傅里叶变换的关系

已经非常清晰了

对于基于积分核形式的分数傅里叶变换的

定义与傅里叶变换的定义

我们上节课已经给出了

当p=1时

可以把分数傅里叶变换的积分核

退化为傅里叶变换的积分核

简要回顾一下

对于分数傅里叶变换

当α=π/2的时候

cotα=0

sinα=1

很显然可以推导出傅里叶变换的

积分形式的定义

我们看右边的图

相当于分数傅里叶变换

当其旋转角度为90°时候

就退化为我们熟悉的傅里叶变换

那么当旋转角度趋向于0

它能不能退化为时域呢

如果可以的话

那么分数傅里叶变换

就具有时频统一的特性

首先对分数傅里叶变换的系数进行处理

我们希望得到

√（1-jcotα/2π）=exp[-j(π/4-1/2α)]/√（2πsinα）

进而便于我们后期进行相关的推导

具体看一下化简过程

首先把原来系数的分子分母都乘以sinα

之后利用2倍角公式把它展开

展开之后我们合并

通过配方得到一个平方

进一步化简就可以实现

√（1-jcotα/2π）=exp[-j(π/4-1/2α)]/√（2πsinα）

系数替换完之后

我们来看一下 下一步的操作

当α趋向0时

对应的sinα正比α

cotα正比于1/α

把它代进来

之后我们对指数部分进行一个整理

然后配方就可以得到(t-u)²

这个表达形式对于后面的证明

是至关重要的

这里面的化简过程

对于一些基础比较好的同学来说

其实是比较简单的

我这里已经做到比较细致

希望基础不太好的同学也可以跟得上

对于e^-jπ/4

很明显它等于√(-j)

所以在表达式中用√(-j)代替e^-jπ/4

这样就得到了当α趋向0的时候

F^α→0[f(t)]其实就是一个积分

积分里边又套了一个α趋向0的求极限

如果分数傅里叶变换具有时频统一性的话

那么它最后的结果应该是

F^α→0[f(t)]等于f(u)

这里边我们给出一个极限的表达形式

Δx等于limα趋向0

1/a√(π)e^-x²/a²

对应的图像变化就是右边的动图

可以看到当α趋向0 的时候

函数确实是慢慢地变成了Δ函数

然后进行变量替换

a²=j2α

x=t-u

就可以得到下面的式子

Δ(t-u)等于limα趋向于0

1/√（j2απ)exp[-(t-u)²/2αj]

通过观察发现

大括号里边内容其实就等于Δ(t减u)

所以我们用Δ(t-u)代替求极限操作

这个时候当分数傅里叶变换

α趋向于0的时候

我们把它作用到f(t)上

结果为Δ(t-u)f(t)的积分=f(u)

此时 我们就证明了分数傅里叶变换

可以退化到时域

也就是说它具有时频统一的特性

直观地表示就是一个较为复杂的

分数傅里叶变换积分核的定义

当α趋向于0的时候

那么这个作用其实就变成了恒等变换

退化到时域

此时时频统一性我们已经全部证明完了

当α=π/2的时候

也就是说当旋转角度是90°的时候

对应到的是频域

当α趋向于0

它对应的是时域

所以说分数傅里叶变换

既包含时域又包含频域

具有时频统一性

第二部分内容我们要讲一下

分数傅里叶变换的可加性

这也是分数傅里叶变换的一个重要性质

对于分数傅里叶变换的基于积分核的定义

具有可加性

直观地理解一下

就是当把F^β作用到函数f之上

对这个结果再做一个

F^α的分数傅里叶变换

最后的结果就等价于在f(t)上

直接作用一个F^α+β的分数傅里叶变换

从这个图中我们可以看出

我们先对函数f做F^β的一个分数傅里叶变换

把它变换到s域

之后再对它做一个F^α的分数傅里叶变换

变换到u域

那么这两步的结果就相当于直接

从t域做一个F^α+β的分数傅里叶变换

直接到了u域

这就是分数傅里叶变换可加性的

一个直观的理解

对于函数f

先对它作用F^β的分数傅里叶变换

对这个结果再做一个F^α的分数傅里叶变换

把这两个过程用数学表达来表示一下

首先 凡是带有β项的

它其实为分数傅里叶变换F^β所对应的

积分表达形式

此外 我们对这个结果做F^α的

分数傅里叶变换

同理 凡是带有α这一项的

它就是分数傅里叶变换F^α所对应的

积分表达形式

这个时候就完成了分数傅里叶变换

先转β角度

再转α角度所对应的公式表示

我们想要证明的是转两次

相当于从t直接转到u

也就是说相当于旋转了α加β角度的

分数傅里叶变换

对应的变量只有两个

一个是原来的t和变换域的u

在后续的证明过程中

目的就是想办法把s去掉

这是我们证明的一个思路

首先我们把系数简化一下

写成C_αC_β

观察式子

带有u²的项其实是我们想保留的

而对于带有s和t的项

我们先把带有s的项放到一起

带有t的项放到一起

因为想保留的是t

所以交换一下积分顺序

把带有t的项尽量提出来

然后这个时候u²项提出来了

t²项提出来了

f(t)也提出来了

所有带有s的项

把它们放到大括号里边

下一步我们想要处理这些带有s的项

我们刚刚讲过

对于分数傅里叶变换可加性的性质证明

其实就是把带有s的项处理掉

在处理之前我们来看一个结论

exp[j(Ay²+By)]这样一个积分

等于(π/A)^1/2e^1/4jπe^-jB²/4A

也就是说左边的带有积分的表达形式

等于等式右边没有积分号的表达形式

那么我们来分析一下想要处理的

s项的积分项

它与背景1公式的左边形式是类似的

当令A=1/2(cotα+cotβ)

B=-(u/sinα+t/sinβ)

就利用背景1所给出的公式

将积分号去掉

得到√（2π/cotα+cotβ）

exp(1/4jπ)exp[-j(u/sinα+t/sinβ)²/2(cotα+cotβ)]

然后进行化简

化简的关键在于cotα+cotβ

利用三角函数之间的关系

对它化简后得到

cotα+cotβ=sin(α+β)/sinαsinβ

进而得到原来带有s项的

积分表达式就化简成

√（2πsinαsinβ/sin(α+β)）exp(1/4jπ)

exp[-jsinαsinβ/2sin(α+β)

(u/sinα+t/sinβ)²]

此时我们已经看到在公式里出现了

α加β的相关项sin(α+β)

通过刚刚的计算

我们就可以把带有s项的积分表达式

化简成不带有积分项的表达式

同时我们发现

在这个新的表达式中

已经把s项去除了

达到了我们要去除s的目的

接下来我们把最新表达式带到

原来表达式中

然后进行相关的化简合并

最后就得到带有t²项的表达形式

带有u²项的表达形式

还有一个带有tu的表达形式

现在的这个式子其实已经非常接近于

F^(α+β)的表达形式

然而对于每一个变量的t²项 u²项

tu项前面的系数是非常复杂的

所以我们就想把它进行化简

t²项 u²项前面系数是一样的

所以对于系数我们只要处理其中的

一个就可以了

对于cotβ-sinα/sin(α+β)sinβ

利用三角函数的性质

进行相关的计算

计算完之后我们就可以发现

cotβ-sinα/sin(α+β)*sinβ=cot(α+β)

类似的u²项前面的系数

当然也是cot(α+β)

这个时候我们就可以得到积分项里面的

相关项的形式中出现了

cot(α+β)和sin(α+β)

这和F^(α+β)的积分核定义是非常匹配了

但是现在还没有处理系数部分

系数部分它能不能实现匹配呢

对于系数我们把它展开

也就是我们想要证明系数等于

√（1-jcotα+β/2π）

首先证明

√（1-jcotα/2π）=exp[-j(π/4-α/2)]/√（2πsinα）

这个过程比较简单就不具体展开了

同样是利用三角函数的性质进行

对于目前的系数

用exp[-j(π/4-α/2)]/√（2πsinα）

替换√（1-jcotα/2π）

用exp[-j(π/4-1/2β)]/√（2πsinβ）

替换√（1-jcotβ/2π）

然后进行相关的化简

就可以得到目前的系数等于

√（1-jcot(α+β)/2π）

到目前为止我们就已经结束了

分数傅里叶变换可加性的证明

这个证明过程为

对一个函数f施加F^β的

分数傅里叶变换后

再对它施加F^α的分数傅里叶变换

所得的结果就等价于直接对f作用一个

F^α+β的分数傅里叶变换

本节课的内容结束 谢谢