4.4 傅里叶域带通采样定理在线视频

同学们好

今天我们要讲的内容是

经典的带通采样定理

首先我们来看

这样一个带通信号

它包含对称的正谱和负谱

正谱的最高频率是Ω_h

最低频率是Ω_l

单宽为B

通常来讲

信号的带宽

相对于

信号的最高频率来说

是比较小的

对于这样一个带通信号

它实际上

也是一个

带限信号

因此我们可以利用

低通采样定理

对其进行处理

选取采样率为两倍

信号最高频率

此时采样信号的频谱

不发生混叠

但这样一来

就会出现

一定的问题

采样信号的频谱

存在很多谱间隙

因此会造成

频带的浪费

如何更加高效地对

带通信号

进行采样

为了解决这个问题

首先我们来回顾一下

采样信号的

频谱分析的结论

当采样率为ωs的时候

采样信号

可以表征为原信号

和一个单位冲击序列的乘积

相应地 采样信号的傅里叶变换

就可以表征为原信号

傅里叶变换的周期延拓

再乘上

幅度调制系数1/Ts

接下来

我们分几种情况

来具体分析

带通信号的频谱

首先第一种情况

假设信号的

最低频率Ω_l

小于信号带宽B

这意味着

-Ω_l到Ω_l

这一区间内

无法同时容纳

负谱的第1个延拓谱

和正谱的第-1个延拓谱

为了保证

频谱不发生混叠

负谱的第1个延拓谱

必须位于正谱的右侧

这就意味着

正谱的最高频率Ω_h

必须要小于负谱的

第1个延拓谱的最低频率

注意到负谱的最低频率

是-Ω_h

因此它的第1个延拓谱的

最低频率

就是-Ω_h

加上1个延拓周期ω_s

因此我们可以得出

频谱不混叠

需要满足的条件

就是ω_s-Ω_h

大于等于Ω_h

即ω_s大于等于

二倍的Ω_h

下面我们再来看

第二种情况

假设带通信号的

最低频率Ω_l的

取值范围是大于信号带宽B

小于2B

这样一来

在频谱延拓时

-Ω_l到Ω_l

这一区间内

就可以完全容纳下

负谱的第1个延拓谱

和正谱的第-1个延拓谱

但是无法再容纳下

负谱的

第2个延拓谱

和正谱的

第-2个延拓谱

因此为了保证

频谱不发生混叠

负谱的第1个延拓谱

可以位于

正谱的左侧

与此同时

负谱的第2个延拓谱

必须位于正谱的右侧

这就意味着

正谱的最低频率Ω_l

必须大于负谱的

第1个延拓谱的最高频率

由于负谱的最高频率是-Ω_l

因此第1个延拓谱的最高频率

就是-Ω_l再加上一个延拓周期ω_s

与此同时

正谱的最高频率Ω_h

必须要小于

负谱的第2个延拓谱的最低频率

也就是-Ω_h

再加上2倍的延拓周期

进而可以得到

频谱不混叠时

采样率所需的取值范围

一般情况下

假设带通信号的

最低频率Ω_l的

取值范围

是大于n倍信号带宽

小于(n+1)倍信号带宽

-Ω_l到Ω_l这一区间内

就可以完全容纳下

负谱的第1个延拓谱

至第n个延拓谱

以及正谱的

第-1个延拓谱

至第-n个延拓谱

但是无法再容纳下

负谱的

第n+1个延拓谱

以及正谱的第-n-1个延拓谱

因此为了保证频谱不发生混叠

负谱的第n个延拓谱

可以位于正谱的左侧

与此同时

负谱的第n+1个延拓谱

必须位于正谱的右侧

这就意味着

正谱的最低频率Ω_l

必须大于

负谱的第n个延拓谱的

最高频率

也就是-Ω_l

加上n倍的

延拓周期

与此同时

正谱的最高频率Ω_h

必须要小于负谱的

第n+1个

延拓谱的最低频率

也就是-Ω_h

加上n+1倍的延拓周期

进而可以得到

频谱不混叠时

采样率所需的取值范围

我们对上述几种情况

进行总结

发现当信号的

最低频率Ω_l

小于信号带宽的时候

可以按低通采样定理

进行处理

在这个时候

频谱不混叠

所需的采样率

可以取二倍的

信号最高频率

当信号的最低频率Ω_l

大于n倍的信号带宽

小于n+1倍

信号带宽的时候

频谱不混叠

所需要的采样率的取值范围

如下公式

此外我们还能够得到一些

常用的结论

包括带通信号的

最小采样频率的取值范围

是2B到4B

当信号最低频率Ω_l很大时

采样率趋于

2倍信号带宽

此时采样率

取决于信号带宽

当采样率满足一定条件时

采样信号的频谱不发生混叠

此时可以利用一个理想的

带通滤波器

让它与采样信号的频谱进行相乘

就可以重建

原信号的频谱

这里理想带通滤波器

可以通过对

理想低通滤波器

进行平移得到

具体操作为

理想低通滤波器

分别与位于Ω_0

和-Ω_0处的

δ函数进行卷积

再相加

其中Ω_0是带通信号最高频率

和最低频率

相加后除以2的结果

在这里

我们用到了

δ函数的

平移性质

也就是说

位于某个特定位置的

δ函数

和分数域

理想低通滤波器

进行卷积

即可将理想低通滤波器

平移到δ函数

所在的位置

因此重构信号的频谱

就可以表示为

采样信号的频谱

乘上两个平移之后的

理想低通滤波器

再进行

求和的结果

为了得到重建信号的时域表征

需要利用卷积定理

我们来回顾一下

卷积定理的内容

两个信号的

傅里叶变换的乘积

对应到时域

为两个信号的卷积

我们将采样信号的时域表达式

带进公式中

并且来探究一下

理想带通滤波器

它的傅里叶反变换

是一个怎么样的形式

首先我们来看一下

位于右侧Ω_0的

理想带通滤波器

它是一个门函数

门函数的傅里叶反变换

是一个sinc函数

再利用傅里叶变换的平移性质

可以得到位于右侧的门函数的

傅里叶反变换是一个sinc函数

乘上一个相位调制项

我们再来看一下

位于左侧-Ω_0的

门函数

它的傅里叶反变换

也是一个sinc函数

同时再次利用

傅里叶变换的

平移性质

可以得到它的傅里叶反变换

也是一个sinc函数

乘上一个

相位调制项

因此带通滤波器对应的

时域表征

就是之前得到的

两个相位调制的

sinc函数的加和

我们利用一下

欧拉公式

就可以得到

理想带通滤波器的

傅里叶反变换

是一个sinc函数

再乘上一个cos函数

接下来

我们就可以将采样信号的

时域表征

和理想带通滤波器的

时域表征

带入到表达式中

在卷积的计算过程中

利用的是

δ函数的移位性质

最终就可以得到

重建信号的时域表达式

与低通采样定理所得到的

信号时域内插公式相比

带通信号的重建公式

有两点不同

第一多了一个cos项

这一项是理想低通滤波器

与δ函数

做卷积引入的

第二sinc函数的分子部分

带通信号对应的是B/2

而带限信号对应的是ωs/2

这两个参数实际上

都是低通滤波器的截止频率

当带通信号退化为

带限信号时

Ω_0=0

此时可以取

滤波器截止频率

B/2=ωs/2

因此带通信号重建公式

可以退化为低通采样定理

所得的重建公式

好 我们就讲到这里

谢谢大家