4.6 周期非均匀采样定理在线视频

同学们好

我们这节课讲述的内容是

周期非均匀采样定理

我们首先来看一看

周期非均匀采样是如何产生的呢

实际上

这种非均匀采样主要发生在

多路并行采样之中

我们知道 多路并行采样

是一种能够提高采样率的策略

在理想情况下

通过让每一个AD都延迟特定的时间

即第一个AD延迟0

第二个AD延迟T_s

以此类推

第M个AD延迟(M-1)T_s

可以将M个采样间隔为MT_s的通道

所得的采样信号

合成一个采样间隔为T_s的均匀采样信号

实现M倍采样率的提升

然而在实际采样过程中

由于每一个AD的延迟

都可能发生偏差

从而使得最终得到的信号

是一个非均匀采样信号

对于这样一个非均匀采样信号

它的采样时刻具有周期性

这是因为每个AD都是以

MT_s为间隔进行均匀采样的

因此称其为周期非均匀采样信号

它的平均采样间隔为T_s

周期非均匀采样的提出者

Yih-Chyun Jenq是

是一个著名的工程师

曾担任贝尔实验室的技术人员

以及泰克实验室的首席工程师

他所发表的

周期非均匀采样相关的学术论文

被授予了IEEE的最佳论文奖

接下来

我们对周期非均匀采样信号进行分析

首先我们来看一下

这M个通道的采样点都是怎样的呢

我们可以看到

第一个通道的采样点

它的起始采样时刻是r_0 T_s

这里r0是表征时间偏差的参数

采样间隔是MT_s

在这里 理想的时间延迟是零

但是由于存在时间偏差

导致实际的时间延迟为r_0 T_s

第二个通道

它的理想时间延迟是T_s

但是由于存在时间偏差

导致实际的时间延迟是T_s+r_1 T_s

与此同时

采样间隔也是MT_s

以此类推

我们来看第M个通道

它的理想采样时刻是(M-1)T_s

但实际采样时刻

是(M-1)T_s+r_{M-1}T_s

此外采样间隔也是MT_s

那么

我们如何利用这M个通道的采样点

得到最终的周期非均匀采样信号呢

为此

我们取出第一个通道的第一个采样点

让它作为周期非均匀采样序列的

第一个采样点

进一步

我们取出第二个通道的第一个采样点

让它作为周期非均匀采样序列的

第二个采样点

以此类推

我们取出第M个通道的第一个采样点

让它作为

周期采样序列的第M个采样点

这样一来

利用每个通道的第一个采样点

就可以得到

周期非均匀采样序列的前M个采样点

接下来

我们依次取出每个通道的第二个采样点

它们可以构成周期非均匀采样序列的

第M+1至第2M个采样点

利用这种方式

就可以得到完整的周期非均匀采样序列

我们发现

所得到的周期非均匀采样序列

它对应的采样时刻是以MT_s为周期的

这也验证了

周期非均匀采样

的确是具有周期性的

对于这样一个周期非均匀采样信号

我们要如何求取它的频谱呢

为此

我们首先来定义一个新的信号

x尖(t)

并且假设

它以T_s为间隔的均匀采样序列

恰好为原信号x(t)的周期非均匀采样序列

接下来

我们求取x尖(t)的离散时间傅里叶变换

就得到了它的频谱

由于

x尖(t)与原信号x(t)之间存在一些差别

因此

它的频谱只是原信号频谱的一个近似

那么

我们如何利用这个近似的谱

来实现对原信号频谱的精准估计呢

我们所采取的方法是

构建近似谱与原信号频谱之间的关系

进而利用这个关系

实现对原信号频谱的精准估计

为了构建近似谱

与原信号频谱之间的关系

首先 我们要回答的问题就是

如何利用原信号来得到

x尖(t)的均匀采样序列

我们一步一步来看

首先我们来进行一个这样的一个操作

对于第m个通道来说

让原信号x(t)向左移mT_s+r_m T_s

从而得到了一个时移信号

在相应的图示中

我们展示的是通道数M等于3的情况

接下来

我们对每个通道的时移信号

都进行间隔为MT_s的均匀采样

注意到 对每个通道对应的信号来说

先时移 再进行起始时刻为0的均匀采样

这样一个操作和直接对信号进行

起始时刻存在时间偏差的均匀采样

是等效的

第三步

我们对每个通道所得到的均匀采样序列

内插M减1个零

从而得到M个零值内插序列

这个操作对后续将M个通道的采样序列

合成一个整体采样序列来说 是必要的

接下来

我们把第m个零值内插序列

向右移位m个单位

得到M个新的序列

这一步

也是之前第一步中向左移位的一个逆过程

只不过第一步中的移位是

连续信号的移位而这里的移位

是离散序列的移位

最终

我们把M个序列进行相加

就可以得到

原信号x(t)的周期非均匀采样序列

同时

也是我们所构造的信号x尖(t)的

以T_s为间隔的均匀采样序列

我们从图上可以看出x尖(t)可以看作是

从采样点反推过来的一个新信号

它的时域波形和原信号x(t)存在一定差别

所以 x尖(t)的频谱只能作为

原信号频谱的一个近似

接下来我们就要考虑x尖(t)的频谱

与原信号的频谱之间有什么关系呢

为了回答这个问题

我们来关注 以上时域的每一步操作

对应到频域发生了何种变化

首先

第一步时域操作

是对原信号x(t)进行平移

我们利用傅里叶变换的时移性质

即时域平移对应的频谱乘上

一个相位调制项

这里由于信号在时域平移了

mT_s+r_m T_s

因此时移信号的频谱

等于原信号的频谱乘上

e^｛jω(mT_s+r_mT_s)｝

接下来

第二步是以MT_s为间隔

对时移后的信号进行采样

首先我们要用到的知识就是

单位冲激序列的傅里叶变换

也是一个冲激序列

当时域单位冲击序列的间隔为T_s的时候

对应频率冲激序列的间隔是2π除以T_s

并且幅度也变成了2π除以T_s

由于 这里的时域采样间隔是MT_s

因此

单位冲激序列的频谱

它的序列间隔是2π/(MT_s)

并且幅度也变成了2π/(MT_s)

接下来我们要用到的是卷积定理

卷积定理表明

时域乘积对应的是频域卷积再

乘以2π分之一

因此

当信号与单位冲激序列进行乘积的时候

对应到频域

就是他们各自的傅里叶变换进行卷积

再乘上2π分之一

我们对常数项进行一定的化简

问题就归结为

求取信号的傅里叶变换与δ函数的卷积

这里要用到的是δ函数的移位性质

也就是说 一个信号的频谱

它与δ函数进行卷积

所起到的作用

就是将频谱搬移到了δ函数所在的位置

进而我们就可以得到

采样序列的傅里叶变换的表达式

接下来的一步操作是时域零值内插

我们来计算一下

原始采样序列的离散傅里叶变换

再来计算一下零值内插序列的

离散傅里叶变换

发现它们两个是相等的

因此

零值内插操作并不会对

采样序列傅里叶变换产生任何影响

第四步操作

是对采样序列右移m个单位

在这里

我们要再次利用傅里叶变换的时移性质

也就是时域的移位对应到频域

是乘上一个相位调制项

最终

将M路采样序列进行相加

就得到了总体的周期非均匀采样序列

因此

M路采样序列的频谱相加

就得到了周期非均匀采样序列的频谱

在这里

我们用到的是傅里叶变换的线性性质

这样我们就得到了原信号的频谱

与周期非均匀采样序列的频谱之间的关系

下面 我们通过一个例子

来对我们所得到的

周期非均匀采样信号的频谱

进行进一步的分析和说明

为此 我们考察一个正弦信号

它的频谱是一个冲激函数

我们将周期非均匀采样

正弦信号的频谱的表达式写出来

再对它进行一定的化简

我们发现 参数A(k)的周期是M

因此

周期非均匀采样正弦信号的频谱的周期是

2π除以T_s

这与以T_s为间隔进行均匀采样时

信号频谱的周期是相同的

第二

频谱在每个周期内均匀分布着M条谱线

原频谱所在的位置是ω_0

其他频率成分所在的位置

是ω_0+m2π/(MT_s)

第三

正弦信号本身能量全部集中在|A(0)|上

其他频率分量上的谱由时间偏差引起

称为寄生谱

接下来

我们来看一下

时间偏差参数r_m等于零的情况

显然

此时周期非均匀采样就退化成了均匀采样

我们将r_m等于零

代入周期非均匀采样信号的频谱表达式中

并且进行一定的化简

再利用离散傅里叶变换的性质

最终可以得到r_m等于零时

采样信号的频谱表达式

我们发现

当时间偏差参数等于零的时候

周期非均匀采样信号的频谱

可以退化为均匀采样信号的频谱

最后

我们给大家留一些思考题

如何基于我们所得到的谱分析的结果

利用周期非均匀采样序列

实现原信号的重建呢

第二

当在分数域

分析周期非均匀采样信号的分数谱时

相应的采样定理该如何推导呢

我们今天就讲到这里

谢谢大家