3.2 分数卷积II在线视频

同学们好

本节课我们继续介绍分数卷积

首先回顾上一节课介绍的两种分数卷积

我们已经知道

第一种分数卷积有良好的

时域分数域对应关系

但是对h(t)的运算相对复杂

针对此问题

我们提出了第二种分数卷积

具体来讲

通过舍去对h(t)取分数傅里叶变换

和逆傅里叶变换的运算

直接从上述两个变换的结果出发

对输入信号x(t)的相位调制进行卷积运算

第二种分数卷积的本质是

非平稳信号经过线性时不变系统

优点是在计算上保留了在变换域

是X^α与H^α乘积的形式

计算简单

同时存在的不足是未能反映

相应的一阶时变滤波器h(t)的特性

所以回到我们上节课提出的思考题

既然可以通过对h(t)直接乘exp(jcotα/2t²)

变为线性时不变系统

那么是否可以通过直接乘exp(jcotα/2t²)函数

既能分析一阶时变系统

又能保留分数谱的乘积关系

或者说如果我们对h(t)直接乘exp(jcotα/2t²)

而保持其他结构不变

进行计算的结果是什么

该结果与y(t)有什么关系

需要说明的是

因为这里对h(t)的运算已经明显不同于

第一种分数卷积中对h(t)的运算

所以输出信号不再是y(t)

这里我们引入一个新的符号z(t)

来表示计算的结果

标记框图里的运算结构

为一个新的分数卷积算子

它的表达式如下

现在我们考察z(t)的分数傅里叶变换Z^α(u)

进一步建立Z^α(u)与Y^α的关系

通过对z(t)做分数傅里叶变换

整理可得它的分数谱表示为

X^α与H^α乘积的调制

这基本上符合我们对分数域相乘的要求

此分数卷积的优点表现在

x(t)和h(t)对等

运算简单

基本保持分数谱相乘关系

该分数卷积在时频平面上也有清晰的解释

我们将该分数卷积分为三部分

在图上用不同的颜色和序号表示

第一步对信号x(t)和h(t)进行调制

对应的谱在时频平面上逆时针旋转α角度

第二步卷积对应的谱在时频平面上做乘积

第三步调制对应的谱

在时频平面上顺时针旋转α角

回到最初的时域

当α等于π/2时

从表达式和流程图上均可看出

此卷积退化为经典卷积

通过流程图可知

通过3次FFT可以实现该卷积的快速计算

接下来考察此分数卷积对应的滤波器特性

正如之前所解释

x(t)是时变信号

含有exp(-(jcotα/2t²)的分量

所以在经过系统之前乘exp(jcotα/2t²)

h(t)中也含有exp(-jcotα/2t²)的分量

通过乘以exp(jcotα/2t²)消除此分量

经过卷积运算后再调制得到输出

此卷积分析的是与第一种分数卷积相同的

一阶时变系统

我们将三种分数卷积放在一起进行比较

首先 正如之前所说

由于第一种分数卷积和第三种分数卷积中

对h(t)的运算不同

所以得到的结果也不同

也就是说z(t)与y(t)是两个不同的信号

进而他们的分数谱之间存在调制的关系

具体如下

比较第一种分数卷积和第二种分数卷积

他们的时域输入信号不同

也就是说系统不同

但是他们在变换域的表征相同

比较第一种分数卷积和第三种分数卷积

他们的时域输入相同

但是对h(t)的运算不同

所以得到的结果不同

他们在分数域的表征也不同

以下探讨三种分数卷积的适用场景

当设计滤波器时

若已知系统的分数谱表征

想要在时域实现时

用后两种分数卷积

若已知信号在分数域的乘积

考察信号在时域中的表征

用前两种分数卷积

正如卷积奠定了线性时不变系统

时域分析的基础

分数卷积给出了一种线性时变系统的

时域表征

与经典卷积不同

分数卷积从不同的理解角度

有三种不同的表达形式

分数卷积在分数域采样的重构

滤波器设计 参数估计

和分数域信号去噪方面有广泛的应用

在接下来的课程中会逐步讲解

这里大家可以思考两个开放的问题

第一种和第三种分数卷积在时域中

对h(t)的运算有很大的不同

但是在分数域的表征中差别不大

谈谈你对这种差别的理解

能否重新定义一种分数卷积

它的结构对称

同时在分数域是两个分数谱乘积的形式

最后一个问题是本节讨论的分数卷积

是针对一阶时变系统的

那么对于二阶和更高阶时变系统的时域

和变换域表征是怎样的呢

以上就是本节课的内容

谢谢大家