4.1 傅里叶域均匀采样定理在线视频

同学们好

今天我们讲的内容是

经典的均匀采样定理

主要分以下几个方面

目的与意义

采样与重建 总结与展望

采样定理有什么重要的意义呢

最初的信号处理是模拟信号

数字信号处理出现之后

一个模拟信号首先要经过采样

转化为数字信号

然后才能进行数字信号处理

因此采样是

模拟信号和数字信号之间的桥梁

也是数字信号处理的前提和基础

而采样定理决定了采样的合理高效

让我们看看身边的采样

首先来听一段数字音频

这是高采样率时的情况

下面我再听一听低采样率时的情况

我们发现

对于高采样率的情况

音频质量非常好

但是对于低采样率的情况音频的质量

不能令人满意

我们再来看另外一个例子

糖尿病是一个比较常见的疾病

有一种血糖监测方式是指血血糖测量

由于这种方式采样率比较低

这个人的血糖看起来比较正常

但是对于同一个人

如果使用动态血糖测量

由于采样率比较高

可以更加准确地反映这个人的情况

进而可以发现

这个人的血糖在很多时候是不正常的

因此可见

采样率低的时候 很可能会误诊

让我们看看 什么是采样

采样就是指从模拟信号x(t)抽取

一系列样本点x(nT_s)的过程

那采样定理要回答一些什么问题呢

要回答这样一些问题

第一个

是何种信号可以由其采样点完全表示呢

第二个

是采样间隔取多少才合适呢

第三个

是如何利用采样信号重建原信号呢

为了回答这些问题

我们首先看看

怎样对信号进行采样

一个信号x(t)和单位冲激函数δ(t)相乘

就可以把x(0)抽取出来

这是利用的δ函数的抽取性

x(t)和δ(t-T_s)相乘

就可以把x(T_s)抽取出来

对于一般情况x(t)和δ(t-nT_s)相乘

就可以把x(nT_s)抽取出来

那么x(t)和单位冲激序列相乘

就可以把各个x(nT_s)抽取出来

得到采样信号

我们发现 采样信号可以表示为

原信号x(t)和单位冲激序列的乘积

为了对采样信号进行频域分析

我们首先来看一看

原信号x(t)的频谱和单位冲激序列的频谱

假设原信号的最高频率为ω_m

此外 我们知道

间隔为T_s的单位冲激序列

它的傅里叶变换还是单位冲激序列

只不过周期变为了ω_s

幅度也变为了ω_s

其中T_s和ω_s之间

有一个乘积是2π的关系

那么对于这样一个采样信号

它在时域表示为

原信号和单位冲激序列的乘积

它在频域对应的是什么变化呢

这个问题可以归结为

时域的乘积对应频域

发生了什么变化

为了回答这个问题

需要用到如下卷积定理

卷积定理表明

时域两个信号的相乘

对应频域两个信号

傅里叶变换的卷积乘上2π分之一

而时域的采样信号

等于原信号和单位冲激序列的相乘

我们把它们带进去

可以看到

在频域对应原信号的

傅里叶变换和单位冲激序列串的

傅里叶变换的相乘

再乘以2π分之一

我们可以看到

2π分之一乘上ω_s恰好是T_s分之一

因此采样信号的频谱就等于原信号的频谱

与一个冲激序列的卷积

再乘上幅度系数T_s分之一

其中冲激序列的周期为ω_s

下面我们来分析一下

这样一个卷积运算会得到怎样的结果

首先是n等于0的情况

任何一个函数与δ(ω)的卷积

都等于它本身

再看n等于1的情况

X(jω)与δ(ω-ω_s)的卷积

是将X(jω)移位到ω_s的位置

那么一般而言X(jω)与δ(ω-nω_s)的卷积

就是把X(jω)移位到nω_s的位置

将这个过程进行叠加

我们可以看到

采样信号的频谱就等于

T_s分之一倍的X(j(ω-nω_s))的叠加

这是一个什么信号呢

它就是原信号频谱的周期延拓

因此我们可以看到

当信号在时域以T_s为间隔进行离散化

那么它的频谱就会以

ω_s为间隔进行周期化

幅度再乘上T_s分之一

我们假设原信号的最大频率是ω_m

采样率是ω_s

当采样率大于两倍信号最高频率的时候

采样信号的频谱不发生混叠

当采样率等于两倍信号最高频率的时候

恰好不混叠

当采样率小于两倍信号最高频率的时候

就混叠了

因此

将频谱恰好不混叠的采样率

也就是两倍信号最高频率称为

奈奎斯特采样频率

相应的采样间隔称为

奈奎斯特采样间隔

在时域对信号进行采样

在频域就会多出来很多不想要的

周期延拓的频谱

那么我们怎样从这些周期延拓的频谱中

恢复原信号的频谱呢

实际上

我们只需要把主值区间内的频谱

恢复出来就可以了

那么具体要怎么操作呢

我们可以使用一个理想低通滤波器

将它与采样信号的频谱相乘

就可以把主值区间内的频谱恢复出来

实现原信号的频谱的准确重建

那么重建频谱对应的时域表达式

是怎样的呢

我们还要应用一下卷积定理

刚才我们用到

时域的相乘对应频域的卷积

那么根据时频对偶关系

频域的相乘对应的就是时域的卷积

也就是说

在频域采样信号频谱

与理想低通滤波器的乘积

对应于时域就是采样信号

和理想低通滤波器的

傅里叶反变换的卷积

我们来看一看

理想低通滤波器的

傅里叶反变换是什么

我们知道 时域的一个门函数

在频域是一个sinc函数

那么在频域的一个门函数

在时域依然是一个sinc函数

因此重建信号就等于

采样信号和sinc函数的卷积

由于包含无穷项求和

接下来我们来一项一项进行分析

首先δ(t)与sinc函数的卷积

还等于sinc函数的本身

这里x(0)起到的作用是幅度调制

接下来δ(t-T_s)和sinc函数的卷积

是将sinc函数移位到T_s的位置

这里x(T_s)起到的作用是幅度调制

一般而言δ(t-nT_s)和sinc函数的卷积

是将sinc函数移位到nT_s的位置

这里x(nT_s)起到的作用也是幅度调制

那么 我们最终得到的重建信号

是什么样的呢

就是sinc函数的移位

再加权求和的结果

其中权重为信号的采样值

也就是x(nT_s)

基于上面的分析

我们可以得到均匀采样定理

也就是低通采样定理

设x(t)是一个带限信号

那么当采样率ω_s

大于两倍的信号最高频率时

x(t)就可以唯一

由其均匀样本点所确定

那对于这样的一个采样信号

可以利用一个截止频率

大于信号最高频率ω_m

小于ω_s-ω_m的理想低通滤波器

实现完全重建

回顾一下我们这节课所讲的内容

用到了哪些知识点呢

第一个

δ函数的抽取性 移位性

第二个

卷积定理 以及它的时频对称性质

第三个

多个函数的傅里叶变换

采样定理是非常重要的

它包含了多种知识点的汇集

是多项理论的研究基础

并且具有广泛的应用

以它为基础 可以继续研究带通采样

非均匀采样 分数域采样定理

多抽样率信号处理等等

在实际运用当中采样定理也可以应用于

模拟与数字转换的各个领域

接下来 我们要做一些思考

奈奎斯特-香农采样定理

是在时域均匀采样

在傅里叶域分析采样信号的谱

那么

能否在其他变换域分析采样信号的谱呢

相应谱分析具备何种优势呢

例如 能否降低信号重建所需采样率呢

对带通信号如何进行采样与谱分析

以及 当在时域进行非均匀采样时

采样信号的谱有何不同

好 我们今天就讲到这里

谢谢大家