7.1 短时分数傅里叶变换在线视频

同学们好

这节课我们将学习

短时分数傅里叶变换的内容

本节课主要分为三个部分

第一部分讲分析

分数傅里叶变换在信号处理中

所面临的局限性

第二部分讲探讨

短时分数傅里叶变换的定义和基本性质

第三部分讲

对短时分数傅里叶变换分析特点

以及性能进行讨论

经过前面的学习

大家对分数傅里叶变换都非常熟悉

我们知道

分数傅里叶变换相当于

旋转时频面的坐标轴

再从频域的角度观察信号

当α等于90度时

分数傅里叶变换便退化为

经典傅里叶变换

图2给出了线性调频信号

在不同角度下的分数傅里叶变换

可以看出当角度α从0逐渐变化到90度时

分数傅里叶变换能够展示出

信号从时域逐渐变化到

频域的动态特征

因此 分数傅里叶变换能够揭示出

传统变换无法解释的现象

在光学

量子力学

雷达等领域得到了广泛的应用

但需要指出的是

分数傅里叶变换与经典傅里叶变换一样

是一种整体变换

只能提供单一的时域

或分数域的信号表示

再进一步

提升信号处理的性能上

存在瓶颈效应

首先 分数傅里叶变换

缺乏时间和分数频率的定位功能

图3给出了一个

三分量线性调频信号f(t)的波形

以及它的分数傅里叶变换结果

可以看出

分数傅里叶正变换能够展示出

信号含有哪些分数频率分量

但无法告诉我们

这些分数频率分量具体发生在什么时刻

也就是说

分数傅里叶正变换缺乏时间定位功能

相反 分数傅里叶逆变换

能够展示出信号随时间的变化情况

但无法确定

在某一时刻具体

包含哪些分数频率分量

也就是分数傅里叶逆变换缺乏

频率定位功能

其次

分数傅里叶变换对时变信号的分析

具有局限性

由于分数傅里叶变换

将时间从负无穷到正无穷进行了积分

因此 它无法刻画

信号分数频率随时间变化的行为

只能给出一个总体的平均结果

图4以抛物线调频信号为例

给出了分数傅里叶变换的结果

由图4 c)可以看出

抛物线调频信号的分数频率

是随时间变化而变化的

然而从图4 b)

信号的分数傅里叶变换当中

我们只能看到

信号含有哪些分数频率成分

而无法了解信号分数频率

随时间变化的情况

因此 分数傅里叶变换不适合分析

分数频率随时间变化的时变信号

此外 分数傅里叶变换在时间

和分数频率的分辨率上具有局限性

从时域来看

分数傅里叶正变换可以写成

信号f(t)与核函数K_α (u,t)的内积

由于核函数持续时间是从

负无穷到正无穷

所以在时域

分数傅里叶正变换相当于

用一个无限宽的时窗去观察信号f(t)

因此 分数傅里叶正变换具有

最差的时间分辨率

根据内积定理

分数傅里叶正变换又可写成

信号分数傅里叶变换F_α(u’)

与冲击函数δ(u’-u)的内积

所以 从变换域来看

分数傅里叶正变换相当于

用一个无限窄的分数域

δ函数窗去观察信号

因此 分数傅里叶正变换具有

最好的分数频率分辨率

对于分数傅里叶逆变换而言

它具有最好的时间分辨率

最差的分数频率分辨

所以说

分数傅里叶变换在时间和

分数频率分辨率上取了两个极端

这是无法调和的矛盾

一种简单直接的解决办法就是引入

加窗处理

那么 对分数傅里叶变换如何加窗

是我们首要解决的问题

为此 我们需要了解一下

经典傅里叶变换的加窗机理

对经典傅里叶变换进行加窗处理的结果

就是短时傅里叶变换

这是它的数学定义

单纯从数学定义来看

短时傅里叶变换可以看成是

对信号加窗后的经典傅里叶变换

但这只是表象

它不能反映短时傅里叶变换的本质

我们还需要进一步了解它的物理意义

为了揭示

短时傅里叶变换的物理意义

我们将短时傅里叶变换定义

改写成信号与窗函数的卷积形式

具体来说

在时域

信号f(t)的短时傅里叶变换可以看成是

信号首先经过

e(jωt)调制后的窗函数g*(-t) 进行经典卷积

再与e(-jωt)相乘的结果

那么根据卷积定理

我们可以得到

短时傅里叶变换的频域形式

通常窗函数g(t)都具有低通特性

经过e(jωt)调制后

便成为了带通函数

于是 我们可以得到图5所示的

短时傅里叶变换的带通实现形式

同样 我们也可以得到

短时傅里叶变换的低通实现形式

因此 短时傅里叶变换本质上

是一组频域滤波器

于是 一个自然而然的想法就是

对分数傅里叶变换

进行加窗处理的结果

应该是一组分数域滤波器

为此 我们首先来回顾一下

分数卷积的概念

这是分数卷积的定义

可以看出

时域分数卷积对应于分数域乘积

容易验证

当角度α等于90度时

分数卷积便退化为经典卷积

分数卷积的计算可以分为三个步骤

①信号首先与线性调频因子

e(j(t^2/2)cotα)相乘

②再与函数g(t)做经典卷积

③最后与线性调频因子的共轭相乘

于是 我们可以得到

分数卷积的原理框图如图7所示

基于分数卷积 我们将引入

短时分数傅里叶变换的定义

前面我们分析过

经典短时傅里叶变换的本质

是一组频域滤波器

类似地

短时分数傅里叶变换本质应该是

分数域的一组滤波器

利用分数卷积

我们首先给出短时

分数傅里叶变换的带通实现形式

这是具体的表达式

原理框图如图8所示

根据分数卷积定理

我们可以很容易得到

短时分数傅里叶变换的分数域形式

同样 我们也可以得到

短时分数傅里叶变换的低通定义形式

原理框图如图9所示

需要指出的是

与经典短时傅里叶变换一样

不管是带通形式还是低通形式

最终得到的短时分数傅里叶变换的

数学定义都是一致的

我们将最终得到的

短时分数傅里叶变换的定义

写成积分的形式

这是具体的表达式

同时 我们还可以看出

短时分数傅里叶变换的计算

可以分为三步

①将信号f(t)与线性调频因子

e(j(t^2/2)cotα)相乘

②再做经典短时傅里叶变换

变换元做了尺度cscα伸缩

③最后再与线性调频因子的共轭相乘

于是 我们可以得到

短时分数傅里叶变换计算的分解结构

如图10所示

我们知道

一个实用的变换通常需要有相应的逆变换

那么通过变换系数就能够恢复出原始信号

短时分数傅里叶变换是可逆的

这是它的一维逆变换公式

这里我们给出了具体的推导过程

一维逆变换公式的前提

是窗函数g(t)在时间零点的值不为零

这是短时分数傅里叶变换

二维逆变换公式

它的前提是

综合窗函数r(t)与分析窗函数g(t)的内积

必须恒等于1

但是 对于给定的分析窗函数

满足这一条件的综合窗函数

并不是唯一的

存在无穷多解

在实际应用中

通常选取综合窗函数等于分析窗函数

作为经典短时傅里叶变换的广义形式

短时分数傅里叶变换继承了

经典结果的基本性质

如线性 时移 频移 内积等

此外 短时分数傅里叶变换还具有

经典短时傅里叶变换不具备的特性

它有一个自由参数角度α

这为我们分析信号增加了灵活性

到这里 我们学习了

短时分数傅里叶变换的定义及基本性质

并且阐述了它的物理意义

现在请大家思考一下

我们提出短时分数傅里叶变换的

目的是什么

我们知道

是为了克服分数傅里叶变换的局限性

下面我们来对此进行验证和分析

短时分数傅里叶变换是将

一维信号映射到二维时间-分数频率

即t-u平面进行分析

它能够揭示出信号分数频率

随时间变化的演变特征

因此能够有效克服

分数傅里叶变换对于

描述时变信号的局限性

为此下面我们将重点讨论

短时分数傅里叶变换的定位功能

和分辨率的特点

我们首先来考察

短时分数傅里叶变换的时间

和分数频率定位功能

若短时分数傅里叶变换的核函数

g_α,t,u(τ)在时域是有限支撑的

那么它与信号的内积将保证

短时分数傅里叶变换的结果

在时域也是有限支撑的

从而实现所希望的时间定位功能

类似地

若窗函数G((u’-u)cscα)在分数域具有

带通特性

那么 其在分数域将是有限支撑的

它与信号分数傅里叶变换的乘积

也将反映信号在分数域的局部特征

从而实现所希望的

分数频率定位功能

下面我们来讨论

短时分数傅里叶变换的时间和分数频率的

分辨率问题

从短时分数傅里叶变换的定义可以看出

它的时间分辨率取决于核函数

g_α,t,u(τ)的时域分布特性

而它的分数频率分辨率则取决于

窗函数G((u’-u)cscα)的分数域分布特性

下面我们来具体计算一下

短时分数傅里叶变换的

时间和分数频率分辨率

设窗函数 g(t) 的时间中心

与宽度分别为 E_g和 (∆g)

于是 我们可以计算出

短时分数傅里叶变换的

核函数的时间中心和宽度

这里给出了具体的推导过程

可以看出

短时分数傅里叶变换的核函数在

时域的中心为E_g+t方差为 ∆_g

现在我们来进一步考察

窗函数G((u’-u)cscα)在

分数域的分布特性

设 g(t) 的傅里叶变换为 G(ω)

于是可以得到G(ω)的

频率中心和宽度分布为 E_G和∆_G

那么我们可以计算出

短时分数傅里叶变换的

窗函数的分数频率中心和宽度

可以看出

短时分数傅里叶变换的窗函数G((u’-u)cscα)

在分数域的中心为 E_Gsinα+u

方差为 ∆_Gsinα

于是

短时分数傅里叶变换所确定的时间

分数频率分析窗是时间

分数频率平面（t-u平面）上的

一个可变的矩形

它的中心在（t+E_g, u+ E_Gsinα）

面积为4 ∆_g ∆_Gsinα

对于给定角度α

不管中心E_g与 E_G取何值

也就是矩形移到何处

它的面积始终保持不变

面积的大小就是

短时分数傅里叶变换在时间

分数频率平面上的分辨率

由测不准原理可知

窗函数g(t)的时间宽度∆g

和频率宽度∆_G 互为反比关系

不能同时达到任意小

这就决定了

短时分数傅里叶变换的时间分辨率和

分数频率分辨率也互为反比关系

不能同时达到任意小

所以在应用过程中需要折中选择

基于以上分析

我们可以得到

短时分数傅里叶变换在时间

分数频率平面上构成的矩形分析窗

如图11 b 所示

为了对比分析 图11a 给出了

经典短时傅里叶变换在时频

平面上的矩形分析窗

可以看出

短时分数傅里叶变换是

t-u平面对信号进行分析

而经典短时傅里叶变换则是在t-ω

平面对信号进行分析

当角度α等于90度时短时分数傅里叶变换

便退化短时傅里叶变换

最后 我们来看一个数值例子

图12和图13分别给出了一个

多分量线性调频信号的

分数傅里叶变换

和短时分数傅里叶变换的结果

可以看出

短时分数傅里叶变换不仅能够表征出

信号含有哪些分数频率分量

而且能够展现出

各分量随着时间变化的情况

很好地克服了

分数傅里叶变换的局限性

现在 我们对本次课的内容做一个总结

这次课 我们首先从分数傅里叶变换的

局限性入手

探讨了分数傅里叶变换

需要进一步演进与发展的必要性

其次 为了克服

分数傅里叶变换的局限性

我们重点介绍了短时分数傅里叶变换

包括它的定义和基本性质

此外 我们还阐明了

短时分数傅里叶变换的物理意义

最后 分析了短时分数傅里叶变换

联合时间和分数频率分析的特点及性能

本节课到此结束

谢谢大家