Video在线视频

有了一些基本概念，

我们现在开始进行“力的分析的计算方法”-

给大家做一点简单的讲解，

好 下面我们通过几个计算的例子

说明‘力’以及‘力矩’它(们)的分析计算方法。

“静力学”的主要研究内容呢 就是

有四个方面：

第一步呢 我们：确定作用在物体-

也就是刚体 或者功能构件上

有哪些 外力？

其中呢，哪些是‘主动力’？哪些是‘约束力’？

第二步呢 我们来：分析

作用在物体上的力，哪些是‘已知的’？

那些是‘未知的’？

第三个呢 我们：选择合适的研究对象，

确立 ‘已知力’、

(并)建立‘已知力’和‘未知力’之间的作用

以及它的位置关系；

第四个 我们：应用‘平衡条件’和‘平衡方程’

来确定全部的‘未知力’：

那么 也就是说 我们先选择研究对象、

取隔离体、分析受力，

在中间注意：

先建立坐标系，

确定这个正的方向 和 负的方向-- x、y、z。

像：我们这样的物体

看看 哪些是‘外力’？

哪些是‘外力矩’？

哪些是‘约束力’？

哪些是‘已知的’？

哪些是‘未知的’？

然后，我们画‘受力图’，

然后，列‘平衡方程’，

最终呢 用这些方程来计算未知的力。

对于这个‘空间力系’-

也就是说 不是‘平面力系’的时候，

那么 ‘空间力系’显然有三个方向的，

它是‘平衡的’-- > “合力等于0”、

还有 “合力矩等于0”。

那么 这样就可以有6个方程-

(用)6个方程呢 你可以解出六个未知数；

那么 我们对‘平面力系’，

我们也可以列出 相应的方程，

当然，我们‘平面力系’只能列出3个方程-

这3个方程呢 有几种形式：

第一种叫“投影式”-

我们列 一个方向 ‘Fx-合力’等于0；

另外一个方向 ‘Fy-合力’等于0；

再列‘对某一点 o 的合力矩’等于0。

这样 就是3个方程--

我们把它叫“投影式”。

还可以 换成另外 三个平衡方程（“2矩式”）：

选择一个x方向 它的合力等于0；

而 选择另外两个点--A点和B点，

(相对于它们的)合力矩等于0，

也可以解出三个未知数。

那么还有一种呢 叫“3矩式”：

我们选择三个点-A、B、C，

(相对于)它们的合力矩等于0。

当然，A、B、C(点的位置)是有要求的--

至少 它们不能在同一直线上！

如果列的方程的个数

和我们的未知数的个数 相同，

我们把它叫做“静定问题”；

如果我们的未知个数

超出了 方程的个数，

那么，我们把它叫作“超静定问题”-

它不能够完全解出3个未知数、

或者6个未知数，

这时候呢 我们需要(用)其他的附加条件

来 列出附加方程，

才能把全部未知数解出来。

下面我们看看 第一个计算例子：

(用)平面力系的平衡条件与平衡方程

求平面力系的问题--

都是考查‘集中力’的作用。

那么 现在有一个‘悬臂式的吊车’-

左边这个图，

结构系统里面 AB是我们吊车的大梁、

BC是钢索，

A处有一个 固定铰链支座，

B处是一个铰链约束。

那么已知：起重电动机E-总的重力是FW(口误)、

梁的重力 FQ，

还有 知道：这个角度θ --30度。

求：电动机 处在任意位置的时候

钢索BC 所受的力，

以及支座 A 这一点的约束力；

第二 我们分析电动机

处在什么位置的时候，

钢索的受力最大？

并且确定它的数值。

首先，我们看看 选择对象--

这个例子要求的是：钢索BC

所受的未知力

和支座A处的约束力。

那么 如果以钢索 BC 为研究对象，

不可能建立‘已知力’和‘未知力’之间的关系，

它只是一个‘带约束’！

因此呢 我们选择这个大梁--

AB上面 既有未知A处的约束力、

还有 钢索的拉力，

还有 已知的电动机和重物的重力，

以及大梁本身的重力，

所以呢 我们选择大梁AB 作为‘研究对象’--

我们把大梁 从整个吊车系统里面

隔离出来，

作为我们的‘研究对象’。

在分析之前，

我们先要建立‘平面o-x-y坐标系’--

以A点作为原点 O，

在A处 隔离出来以后 要给它附加上约束力--

因为是铰链约束，

它只限制x和y方向上的移动，

而不限制转动，

所以它只有：x、y方向上的

未知的约束力，

把它假设：x方向是朝右的--

沿着正x；

y方向呢 朝下的--

沿着负y方向，

所以呢 这里边的‘约束力偶’就没有了，

因为它不限制转动！

那么 钢索的拉力 FTB，

它显然是沿着这个钢索、

背离被约束的物体，

所以 它的方向是朝着 FTB。

因为我们要求：电动机

处在任意位置时的约束力，

假设：这个FW呢

它在坐标 位于坐标x地方，

我们把它作为一个未知数--x 这个距离，

这样 我们可以把整个 大梁

受到的 受力的图 画出来--

除了FW，还有FQ，

还有左边的约束力，

还有绳索拉力。

那么 在整个受力里边，

FAx 和 FAy、FTB是‘未知的约束力’，

那么 FW、FQ 是‘已知的 主动力’，

它们 都在同一平面里边--

构成了“平面力系”，

我们 就应用“平面力系的3个平衡方程”

可以求出全部的3个未知约束力；

第三步 我们就“建立平衡方程”--

因为A点呢 是FAx 和FAy的交汇点，

所以呢 如果我们先以它为‘合力矩的中心’，

这样 建立平衡方程呢 比较简单！

因为 两个约束力都通过这一点，

那么力臂 等于0，

所以这两个将会

在平衡方程里边不出现！

那么 我们可以直接建立这样的方程呢，

求出未知的约束拉力 FTB--

我们可以应用这个平衡方程的“投影式”

来列这三个方程：

第一个 对A点的 合力矩（等于0）；

第二个 是对 沿着x方向上的 合力等于0；

第三个呢 是沿着y方向上的合力等于0，

我们(用)3个方程可以解出三个未知数了。

那么 我们建立平衡方程：

首先 第一个 对A点的合力矩等于0 --

我们看看 大家注意：

只要是沿着‘逆时针’作用的转动效应，

我们都是把它加上正号（+），

如果是‘顺时针’转动效应，

就是负的（-）。

在合力矩 我们看看 对A点的几个作用的力矩(?)：

首先 FQ 这个主动力，

它会使得梁呢 绕着A点顺时针转动，

所以 前面有个负号，

我们用：FQ 乘上它对A点的距离--

2分之l --就是‘力臂’；

看 第二项 FW 它是个‘主动力’，

位于 x 这个位置，

它也使得这个整个梁呢 绕着A点

顺时针旋转动，

所以呢 它也是负的，

(再)它的大小 乘上A点的力臂 x;

那么 再看 FTB,

它会使得 整个梁 绕着A点 逆时针转动,

所以呢 按照规定呢 它是正的，

那么 它的力的大小 是FTB，

它的力臂 就是 整个距离长--

也就是梁的长度--l 乘上一个 sinθ。

它们三个加起来等于0

我们把第一个方程列出了，

从这个方程 我们可以解出来

FTB 等于这么多--

算出来呢 等于：l分之 2 FW，乘以x，加FQ。

显然 它是随着x变化的；

再看看 第二个 合力等于0--

我们把所有的力 都投影到x方向，

显然 在 FQ、FW，还有FAy， 都是沿着y方向的，

它们在x方向没有分量，

那么 x方向有分量(的) 就有两部分:

一个是 FAx,

假设 它是沿着正x方向,

所以 它是正的;

那么 另外一个在x方向有分量的 就是

这个斜拉力 FTB,

它在x方向上的投影呢 是 cosθ,

但是呢 它的方向是沿着 负x方向,

所以 前面加个负号，

它们这两项加起来等于0。

我们从这个方程呢

可以算出FAx--

最后 算出来是：根号3 乘上这个括弧，

也是 随着x变化的；

第三个平衡方程 就是：

在y方向上的合力 等于0--

我们看y方向上 有哪些力呢？

一个是：FAy 沿着负y方向；

第二个是：FQ 也是负y方向；

(第三个是)：FW 负y方向

还有一个(第四个是): FTB 沿着y方向的正向

有一个投影,

所以呢 三个负的 加起来、

加一个正的 FTB投影--乘sinθ，

加起来等于0，

从这个方程 我们可以得到：

FAy--未知的约束力分量，

得到的是负的 方括弧里面，

它也是跟x有关系的。

那么 (对于)求下来的结果，

我们要看：如果说 求下来的结果--

未知约束力 是正的话，

表明：它实际的方向 与假设的方向是相同的；

如果说是负的，

说明：它的 实际方向呢

与我们假设的方向 是相反的。

由这些上面的解出的结果来看：

当x等于l的时候--

也就是电动机移到大梁的右端

B点的时候，

钢索受到的拉力最大！

最大的拉力数值呢 我们从上面可以得到--

FTB: 把x等于l(口误)代进去

就是：l分之(2 FW x)，加FQ，

我们把它求出来了。

那么 我们看 这两部分 算下来

它都是正的，

所以呢

我们认为：它和实际假定的方程是相同的。

我们再看看：有‘分布力’、还有‘集中力’，

以及‘集中力偶’的作用下，

一个构件 它的 受力的计算。

这是一个‘悬臂梁’

这个梁 它的固定端 将这个梁 插到墙上，

那么 它是一个‘固定端的约束’；

加上这个悬臂的梁--AB部分，

AB部分还受到一个‘分布的力’-

用q表示，

这个端部呢 还受到一个‘集中力’-

FP的作用，朝下的；

还有 在右端部受到一个‘集中力偶(M)’的作用。

在它们的作用下，

求：固定端 A处的约束力--

这个约束力包括‘约束力的力偶’。

其他的已知条件：FP是等于ql、

m等于ql平方、

l是这个梁的长度，

我们作为已知数，

包括这个q 都是已知数。

那么显然 这里面 构件只有一个，

我们把它拿出来 作为‘研究对象’。

从墙面上取出来的

A点(处)，墙对A梁的这一端，

不光 限制它x方向的位移、

也限制y方向的移动，

还限制它的转动，

所以呢 我们在A端 把它附加了一个

x方向的未知约束力--FAx；

还有 y方向的未知约束力--FAy；

还有一个 总的约束力偶--MA；

其他的已知力，

包括分布力，仍然保持在这里。

我们当然还要 首先建立坐标系--

正y朝上、正x朝右、

A点 作为原点。

那么 这里面 M、q 都是已知的外加载荷，

还有 FP 也算是已知的，

都为主动力(及主动力偶)。

我们在分析梁的构件的时候，

对于‘刚体模型’来说，

我们可以 把分布的载荷--

把它简化为‘集中力’！

这是我们处理分布力的时候、

(采用)‘刚体模型’，常常应用的一个手段。

那么 它的大小 就是：这个q

乘上整个梁的长度，

那么 它的作用点 肯定是在这个梁的

正中间的位置。

所以在这个2分之l处，

所以 这个梁 进一步的受力分析的图，

我们进一步简化为：中点的ql大小，

其他都是一样的。

那么 有了受力分析以后，

我们可以再建立平衡方程，

求解未知的约束力。

我们还是用“投影式”--

首先我们看：“x方向的合力 等于0”，

在x方向 我们看看 梁呢 只受到FAx

这一个力的作用，

其他的都在y方向上，

这个‘力偶’不算是‘力’，

那么因此：只列出一个FAx等于0；

“在y方向的 合力等于0”，

我们有FAy 是沿着正y方向，

我们假设是正y方向，

所以它是正的，

还有 ql 是负y方向，

所以 把它加个负的，

那么 还有个FP，

它是沿着负y方向，

所以 前面也是负号，

这三个力 加起来等于0，

从这两个方程 就已经可以解到：

Fx等于0 和 FAy等于2ql；

“投影式”里面的第三个方程

是“对A点的合力矩等于0”，

首先 第一个MA--

这个力偶，我们假设它是逆时针的-

是正的，

那么 另外一个是 ql 对A点产生的力矩，

那么 它的大小ql

乘上 力臂的长度--> 是2分之ql

那么它的方向是: 因为

它使得这个梁绕A点呢 顺时针转动,

所以它是负的,

再看看：在端部还有个FP

它也是 使得梁 绕A点 顺时针转动，

所以也是负的，

它的力臂的长度是l，

所以这一项是：Fp乘以l，是负的，

还有一个 端部的 主动力偶M--

已知的，

它也是使得这个梁 顺时针转动，

所以它也是个负的M。

把这个方程 列出来以后，

我们可以从这里面直接解出来：MA

等于2分之5ql平方，

这样我们(把)3个未知量 都解出来了。

那么最终呢 固定端A处的约束力--

可以把FAx 和这个FAy

把它用‘平行四边形法则’合成起来的--

合力就是：根号FAx平方 加 FAy平方，

算下来就是：2倍的ql，

那么这个 它的合力的角度呢

可以算出一个α --

用 arctan(FAy 除以 FAx)，

也就是90度，

这是沿着正的y方向；

那么约束力偶(MA) 就是我们刚才算出来的

这么个大小。

关于“静力学”的这一部分的知识呢，

我们就讲到这里。