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接下来 我们看看 结构的《振动力学》。

首先 我们对振动做一个分类--

从这个“作用机理”和 “参数描述”上

进行分类。

从“作用机理”上来分类的话，

机械系统的振动

可以 分为：‘强迫振动’或者‘受迫振动’，

还有‘自由振动’和‘自激振动’这三大类。

那么‘自由振动’呢 又可以分成--

‘阻尼自由振动’和‘无阻尼自由振动’。

在‘无阻尼自由振动’里面，

还可以分为：‘无阻尼自由非谐振动’

和 ‘无阻尼自由谐振动’-

也叫‘简谐振动’ 这两种；

而所谓的“阻尼”啊 就是“耗散机械能的作用”

这么一个因素。

补充一下 这个‘强迫振动’呢 是：“受到这个

外界的持续激励

而产生的振动”;

那么 ‘自由振动’呢 就是：“去掉这个外界的激励

或者约束力以后 那么产生的振动”；

那么‘自激振动’呢 是：“只有本身 产生的激励振动

来维持这个振动”。

下面 我们再看看

从“参数描述”来分 这个振动的种类：

振动可以分为这个：‘确定性振动’、‘随机振动’

两大类。

而‘确定性振动’呢 又分：

‘周期振动’和‘非周期振动’。

在‘周期振动’里面，

又分为：‘简谐周期振动’、‘复杂周期振动’；

而‘非周期振动’呢

分这个：‘准周期振动’和‘瞬态振动’。

我们看 它们各自描述的参数：

那么‘确定振动’呢 我们可以用位移x(t)来表示，

那么‘随机振动’呢 只能用“统计学”里面的

功率谱密度、传递函数谱-

FRF谱 --“频率响应函数”，

也叫“传递函数”来描述振动，

它是一种统计量；

‘周期振动’呢 我们可以用 位移--

具有周期性的位移(x)，

我们看 它一定有个周期 T；

‘非周期振动’呢 那么不具有周期，

在同一个周期下 位移不相等的；

‘简谐周期振动’ 我们甚至可以用这个

指数 jωt 加上相位 φ 来表示；

复杂的振动呢 就是：

简单的‘简谐周期振动’的叠加，

有不同的振动圆频率(ωi)

和相位(φi)；

那么‘准周期振动’ 那就是：接近于‘周期振动’、

但不属于‘周期振动’，

所以写为 “x 约等于 x(t加T)”

来简单地描述它；

那么 ‘瞬态振动’ 就是：在一个瞬态力--

[我们用 δ(t 减t0) 来表示]

作用下 它产生的振动,

它的位移 会随着时间衰减，

所以我们用一个指数--

负指数 ηt 来表示。

那么 在 “振动的测量”方面，

我们知道 可以转换为一阶导数--就是速度

(振动速度)，

再 二阶导数呢 就是振动加速度。

那么 通常我们工程上测量振动加速度，

有所谓的“加速度传感器”，

就是我们测量振动 比较多的；

当然也有 这个“压电传感器”啦。

那么 振动传感器呢

测量的时候， 就通过压电的形式

产生电信号。

因为这有个加速度，

除上 振动传感器的质量，

就可以得到 压电的力，

那么 压电力呢 转换为电压，

就可以输出到 这个测试系统里面，

那么 这就是我们振动测量的基本原理。

我们再看看“波动”：

波动 我也看看 它有(多少)多少类--

我们从这个“传播介质”来分呢

分这个：机械波、声波、水波、

电磁波、地质波 等等 等等；

从这个“波动方式” 我们可以分：

‘纵波’、‘横波’，以及它们的‘混合波’。

像: 我们这个图片展示的--

上面属于‘横波’--

也就是 波动方向 跟 它传播方向 相垂直；

那么 ‘纵波’呢 是 它的传播方向

跟这个波动方向是一致的，

我们看到的声波 就属于一种‘纵波’，

‘横波’ 像 这种琴弦 的振动

就是‘横波’；

水波、地震波 就属于‘混合波’了--

两者都有。

从“空间分布”来看，

有：‘一维的 形式的波’，

像拨动琴弦的波动；

还有‘二维的

表面波’，

还有我们水面的涟漪

都属于二维的；

还有‘三维的’，很多...

像: 声波、光波、电磁波、地震波...

都属于三维的传播；

那么 从这个“推进的方式”

可以分成：大家听说过‘行波’和‘驻波’这两种；

还有 从这个“波动的波前”来分--

分成：‘平面波’、‘球波’、‘柱面波’，

我们看这个图片：

波前 往前推进的平面--

平面波、球波--

球面波 和 柱面波；

那么 还有从“波动方程”来分呢：

‘线性波’和‘非线性波’，

‘非线性波’ 大家可能听到比较少的--

像这个：非金属色散介质中

产生的‘孤立波’，

比如说 神经 电脉冲，

还有 星系的螺旋波，

那都属于孤立波；

还有一种 叫 ‘冲击波’

也属于‘非线性波’--

例：原子弹爆炸、枪声 产生的冲击波。

那么 这个波动的传播呢，

有的 需要 传播介质--

像我们的：机械的‘声波’，

有些呢 不需要传播介质--

像这个 ‘电磁波’。

关于电磁波的传播介质，

在科学界 一度还引起了

很多的 研究的争论--

比如 最早大家认为

电磁波 不需要什么介质的话，

那 是不是有一种介质--

叫“以太” -- 最早由这个亚里士多德提出的“以太”，

后来当然被否定了--

证明 没有、不存在一个“以太”的这么一个介质！

所以我们说 电磁波的传播呢

不需要介质。

那么 关于“振动 和波的描述”呢--

四个基本的物理量，

只要说到 “振动” 或者 “波”，

就要知道

它有多大的周期(T),

(这个周期 当然以秒来 为单位)

还有 "频率(f)" (频繁程度)--

就是：每秒钟

振动多少次,

每秒钟 这个物理量 变化多少次,

单位就是 '赫兹 [Hz]' 了；

还有 "振幅(A)" ， 就是：振动的幅度变化多大，

我们就是用 米 或者 毫米，

或者 这么一个量--

电压呢 多少伏 这样的 不同的单位；

还有它的 "相位(φ)"--

就是单位用 度 或者 弧度 来表示,

或是 时间上的延迟 或者 提前/超前 这样的

一个概念--

“相位”。

在我们“结构动态分析”里面，

经常 会采用这样的一个模型--

就是比如说 我们一个结构系统，

受到外界的交变动态力的激励 F(t)，

那么 就会在系统 某些地方 产生响应,

我们用x(t) 这种位移--

比如说 振动位移响应。

那么 系统本身呢 从激励到响应之间

有一个所谓的“传递函数”，

也就是“响应函数”--单位力

产生多少力响应，

这样的传递函数，我们平常用H表示。

那么 采用了这个最简单的

振动系统模型--分析模型呢

比如说 我们叫“振子” 这个模型。

大家看这个动态图片--

我们看这个“振子” 就是简单的“弹簧-质量”模型，

它在平衡位置的附近呢

左右呢 不断地往复运动，

那么 有时候把这个“振子”呢 再加上阻尼因子的话，

变成这个“弹簧-阻尼-质量”

这样一个“振子”。

下面我们 讲这个 几种振动的时候，

会用到这样的模型。

我们首先看 第一种“自由振动--

无阻尼的自由振动”模型，

我们用这个 “弹簧-质量”模型，

这里面呢 就没有阻尼。

那么 这叫

简单地叫 “弹簧

(我们用k 叫做它的 '静刚度' 啦)

-质量(m)”这个“振子”。

那么 这个时候我们认为

整个系统没有阻尼--

没有机械能的损耗，

那么 也不考虑弹簧质量。

这个时候 我们就可以建立

‘无阻尼自由振动’的方程，

来看看 它的 振动位移的规律。

那么我们看 建立这个振动方程呢

实际上也用到“牛顿第二定律”--

F等于ma

那么 这个质量

“振子”啊 这个质量呢，

它受到的力呢 就是一项力--

就是弹簧的弹性力，

我们用 -ky 表示，

这个y 就是它的振动位移啦；

那么 它的加速度呢 就是

dy平方/dt平方 就是 对时间的二阶导数；

质量 就是m，

所以 这是“F等于ma”的一个方程。

那么 从这个方程里边 我们可以求解，

这是个简单的常微分方程(ODE)。

那么 可以解出 这个 振动位移 y

随着这个 各个参数的变化、随着时间的变化规律--

是一个正弦函数。

这里面 A呢 就是它的振动幅度，

我们从这个图里面来看；

那么 这里面这个 φ呢 就是相位--

初相位；

这个根号 k比m，

我们把它写成 ωN，

就是代表着这个振子系统的

“固有的圆频率”，

我们叫“圆频率”，也叫“角频率”。

那么圆频率跟 它振动的频率--

这个我们用 小f 来表示呢,

有一个2π的关系,

所以我们说 ωN 等于2πf,

反过来 这个频率就等于 ωN 除以2π,

也就是 2π分之1 乘上根号 k比m。

因此呢 这个振子系统，

它的固有频率 就确定下来了，

只要你的 振子刚度、弹簧静刚度

质量m 确定下来，

它的固有频率 就确定了。

那么振动的周期 是频率的倒数，

就是 2π 乘上 根号 m除以k。

有周期 就有波长,

这个图呢 显示了 转动的角频率

跟这个 在时间上分布的这个

位移的正弦波-波动，

这么一个对应关系。

“阻尼自由振动”这个模型分析呢

实际上是不存在的！

因为 任何系统 都会有 阻尼因子--

就是有 耗散机械能的这种阻尼因子；

如果没有阻尼--

像这个“无阻尼”，这种 解呢

我们看 它是永远会随着时间、

永远这样交替地振动下去...

那 我们再看：

实际上 有一种叫“有阻尼自由振动”：

那么系统呢 加了一个阻尼因子--

阻尼器β。

我们 这样一个“振子”的话，

我们也可以 列出它的牛顿第二定律--

F等于ma。

那么这样 我们来看看：

它列出来呢 有两项的合力--

就是 除了弹簧的弹性力以外，

还有 阻尼力。

这个阻尼力呢 通常是 跟这个振动的速度

成正比的。

所以这里面呢 是用2βm

乘上这个速度--

振动速度 我们知道是：位移对时间的一阶导数，

所以是 dy/dt；

右边呢 就是ma了--

质量 乘上 位移对时间的二阶导数。

这里面呢 两个负的 都表示作用力 跟它的位移正向--

y的正向 是相反的。

那么从这个方程 我们也可以解出

这个振动位移啊

y 随着时间的变化的关系。

我们看 这里有两项：

一个是 A 乘上 e的-βt 再乘上 e的 -ωt。

这两项我们做一些解释哈：

当这个阻尼因子大于这个 ωN，

(这个ωN还是固有频率--那个

圆频率 这一部分)

那么, β--这个阻尼因子 大于ωN的时候,

这个y呢 就属于这两个衰减因子的乘积，

也就是说 它是一个衰减曲线--

我们看到 这个黄的曲线，

把这个状态叫做“过阻尼状态”--

阻尼比较大。

那么 第二种情况：

如果β等于ωN的时候，

这个 位移(呢)曲线呢 随着时间的变化

也是个随时间衰减的--

总体是衰减的、

但是 还有一部分(呢 这个)增大的、

再到衰减的过程，

所以这一部分呢 我们叫做“临界阻尼状态”；

如果 阻尼因子 减小--

减小阻尼，

比如 小于ωN，

它的 这个方程的解呢 就会是 y等于

振幅的衰减因子 再乘上一个cos，

(cos 跟sin 是 实际上就差了一个90度)

所以呢 也算是一个正弦波。

我们看到这个 它的曲线--

振动曲线属于 是一个相当于

正弦振动的衰减状况,

(它的) 也是正弦振动;

那么 只不过是 幅度呢 幅值呢

这一部分是随着时间衰减的--

以'β-阻尼因子'衰减，

那么这种状态 我们叫“欠阻尼(状态)”。

那么 “有阻尼的自由振动”

才是我们具有实际意义的!

所以它 在实际上有一些应用：

比如说，我们鼓手 敲完鼓以后

把手捂到鼓面上，

那么 鼓面这时候的振动 属于一种

‘有阻尼的自由振动’，

它是 不断地--

鼓面的振动 不断衰减的过程；

我们敲锣也是--

锣在不断地响的时候，手一捂上--

加大阻尼，

锣本身也有阻尼，

只不过比较小，

它的声音呢 持续时间相对长一点才消失,

但是一捂上这个锣面呢，

它的阻尼就瞬间增大，

这时候 很快 就能把这个振幅衰减掉。

我们的仪器仪表的设计--

指针的摆动，

其实用到这里面的

“临界阻尼”的振动情况。

还有我们 列车 在运行一段时间(后)，

检修工人敲打这个车轮，

实际上也用到这个‘衰减’、‘欠阻尼’的这种状况，

来听听它声音的衰减快慢、

频率之类的；

弦乐器的调音、

还有 伴奏中的柔弦，

都属于这个可以应用(我们)

'有阻尼的自由振动' 来解释。

那么 这里面的"阻尼因子"呢,

我们 有的时候用β表示、

有时候用η表示、

有时候用ζ表示，

我们有的叫“阻尼因子”、

有的叫“阻尼损耗因子”。

那么 "自由振动" 这里边--我们看到这个模型里面

没有外加的强迫力，

也许 受到一个强迫力以后,

赶快把它取掉，振动开始了。

那么 现在我们看到一种“受迫振动”--

也叫“强迫振动”，

这种振动 在我们生活中 更加广泛--

也就是：持续在外界的激励里面

系统 持续振动。

我们看 在原来的这个

“有阻尼自由振动”的这个模型基础上，

我们加上一个 外界的激励力--

我们叫Fe(t),

在它的激励下,

这个Fe(t)呢 就是一个持续的,

比如说 我们用cos(ωe t)来表示--

表示它持续的、

像正弦振动一样的。

在这种情况下，

这个力的模型呢

我们可以 也仍然列出“F等于ma”的这个模型：

这时候 我们看 左边这个合力呢

除了阻尼力、

弹性-弹簧的弹性力 之外，

再加一项 外界的激励力 Fe(t)，

右边呢 还是一样的 ma --

就是 m 乘 y的二阶导数。

(从)这个方程 我们也可以解出它的振动位移 y

随着 时间t的 一个变化关系表达式--

那么 这个表达式呢 y等于D 乘上cos(ωet 加Ψ),

这个D呢 就比较复杂了！

它是个 大的 一个比值--

分子这个B呢 就表示外界激励力的振幅--

振幅幅度的表现；

还有 底下这个根号呢

这一大项 既与外界激励力的角频率--

ωe 有关系，

也跟这个 系统的固有角频率--

也就是圆频率 ωN 有关系，

还有与这个阻尼因子 β 有关系。

相应的相位 Ψ 也是通过这个反正切函数

求出来的--

跟这几项因素都有关系。

那么 我们看看 它这个曲线--

它这个图呢 显示是这个 频率响应函数--

也就是 D 比上那个B，

我们把这个D和B 一比的话，

(就得到了)这个实际上代表了就是:

(我们)响应的位移的振动幅值D

跟这个激励力的幅值B相比--

也就是: 单位力产生的多少位移。

所以我们在频率域里边

画这个曲线，

这个横轴呢 就是ωe-外界的角频率

比上 那个 ωN - 就是它的系统固有频率，

那么 纵轴呢 就是(这个)传递函数。

我们看到这个：随着(这个)阻尼因子的变化

这个曲线就不一样--

这个阻尼因子比较小(口误)的时候--

像: 这个0.05倍的ωN的时候,

这个传递曲线(峰值)非常的大--

甚至接近无穷大；

那么 当增加阻尼--

阻尼β达到0.15个ωN的时候，

这个峰值呢 一下下降很多；

再增大 阻尼 β增加到0.25个ωN的话，

这个响应的峰值呢 更急剧下降到

这么一个小的峰值；

再增大 这个β阻尼 达到ωN的时候，

我们看这个响应呢 非常的小、几乎没有峰值！

那么 这个曲线告诉大家：

在实际控制振动的时候，

如果 结构受到外在的强迫力的激励、

持续振动的时候，

我们要减小我们的结构的响应的时候,

我们可以增加阻尼因子,

可以有效地减少这个响应的峰值。

因为这个传递函数的峰值啊

这一部分呢 代表着(我们的)激励力

跟这个固有频率之间的

‘共振’关系--

‘共振’的峰值，

它是直接对结构的振动的响应呢

影响最大的地方！

在我们实际控制振动的时候，

采取这个 增加阻尼 来降低‘共振峰值’。

当然 在实际结构中，

可能这个固有频率不一定 只有一个，

(不像我们的简单的振子这样的)

可能敲一个桌面板--

这个板子很多固有频率、

很多峰值，

所以 这个研究起来更复杂一些!

这就是我们

一般‘结构动态分析’的时候，

常常采用的“受迫振动”

这种模型来分析--

也就是有许多‘共振峰值’的叠加、

许多‘共振频率’。

我们减振的目的 就是来增加阻尼、

减少‘共振’。