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那么 我们再看看

“材料力学”常常 研究基础的那个杆件，

它的变形 有4种基本的变形形式。

第一种 就是‘拉伸’与‘压缩’--

杆件两端 受到

大小相等、方向相反的拉力，

这时候 我们这个杆件

如果是‘刚体’的模型来考虑的话，

它就处于平衡静止状态。

那么 现在我们进入材料力学的话，

就把它认为是‘弹性体，

或者是‘塑性体’，

这时候 它就会变形--

有 一定长度 在拉 拉完以后变长了--

横向方向上呢 变细了;

还有一种 '压缩'--

两边受到大小相等、方向相反的力,

同时压缩两端 它会变粗、变短,

这是叫 '拉伸与压缩变形';

第二种 基本变形 就是叫 '剪切变形'--

我们看这个剪切力 像剪刀一样的材料--

向纸张 一剪 就会剪断。

那么构件 在受到同样类似的

剪切力的作用下，

它也会产生这种 一端会 错位

这样的变形， 我们叫shearing。

大自然界里面

也有类似这样的 剪切变形的一些

自然现象。

像很多高山的黏土脱落 这种现象，

都属于‘剪切变形效应’；

第三种 这种基本变形，

就是所谓的‘圆轴扭转’--

这个圆轴两端

受到大小相等、方向相反的

外力偶矩作用，

它会产生扭曲，

沿着轴线呢 有扭转变形的

我们看到这个 变形前 假想一个截面，

变形后 (在)另外一个位置；

第四种 基本变形 就是‘弯曲’--

通常说的 弯曲 指这个梁

受到横向的力，

或者两端受到的 弯曲力偶 作用，

它会产生 向下弯曲、

或向上凸起的这种弯曲变形，

英文叫bend。

实际的工程构件呢 可能 是其中的一种

或者几种 甚至多种 组合起来的变形，

都有可能。

那么在材料力学

我们进行材料结构设计的时候，

有三个方面的基本内容：

第一个 要分析确定构件所受的

各种外力的大小和方向，

像我们“静力学”里面“刚体模型”一样，

我们看看有哪些 已知的外力？

已知的主动力 还有 未知的 约束力？

都属于‘外力’。

我们注意“材料力学”

就要关注的是内力效应。

那么接下来呢

第二个方面 我们研究在外力作用下，

构件的内部 它的受到的内力，

以及 内力产生的变形，

以及失效的规律；

第三个 方面，

最终 就是我们的目的--

提出保证构件 具有

足够的强度、刚度、稳定性的设计准则

和方法。

这是我们的三个主要内容。

那么 当然 在进行分析设计研究的前提，

科学都要有一些基本假定的。

我们看看 材料力学里面

研究的三个基本假定 是这样：

首先 我们假定“材料它的内部的

微观组织是‘各向同性’的”，

相对应的 有所谓的各向异性的说法。

所谓各向同性呢 就是我们材料的物理特性，

比如说密度、它的微观组织，

还有 压力、内力、应力、应变 这些 参数，

在各个方向 都相同 这叫‘各向同性’，

如果不同 那就是‘各向异性’材料。

我们大多数工程材料，

微观上虽然 不是 各向同性，

它是属于各向异性的，

但是在宏观的 力学 物理参数表现上呢

它是同性的，

所以 我们可以 做这种 合理假设--

就是材料属于宏观上各向同性。

我们看这个 微观组织

像这个：灰口铸铁、球墨铸铁、普通钢材、

优质钢材、高分子材料，

这个显微镜组织下 它是各向异性的，

比较杂乱无章、随机的，

但是 在宏观上呢 我们认为它是各向同性的；

第二个假设 就是“均匀连续性假设”--

也就是说刚才说的 这些物理力学参数，

它微观上 虽然不连续，

但是宏观上呢 是连续分布的，

这个应力、应变 随着 沿着材料的分布呢

它是连续的，

没有间断的 这个问题；

第三个呢 是“小变形假设”--

这一点也非常重要！

我们讨论应力、应变，

都是 相对它本身的宏观尺寸来说，

非常小！

这一点 保证我们后面的有些

像：微分的分析，

这些物理量的变形呢 我们可以忽略，

这样我们的数学模型比较简化，

能得到一些主要的规律。

所以这三大假设 是我们的一个 设计的前提。

好 下面我们来看看这个 应力、应变

以及它们的相互关系--

我们在材料力学里面

应力、应变 是两个最基本的，

也是最主要的核心的物理量，

是我们要求解的。

‘应力’就是：我们物体结构 在外力作用下，

它产生的内力，

它的一个 描述的量。

我们看 这样一个结构，

它受到F1 一直到Fn 这样的外力作用，

我们把它从中间 某个截面切开，

这个截面 就有一些内力的分布，

那么 就相当于一个整体 把它隔离局部以后，

这些内力 就表现出来了，

相当于约束力一样的分布。

那么 ‘分布内力’在 它的横截面上 某一点的‘集度’，

我们 把它叫做‘应力’，

所以 它的单位就是Pa--

就相当于压强一样的，

每平方米 多少牛顿，

或者比较大的量呢 就用兆帕 MPa来表示。

应力 我们分‘正应力’和‘剪应力’--

或者‘切应力’，

两种分量。

正应力叫normal stress，

剪应力叫shearing stress。

我们看看 它们 是怎么计算的？

我们把这一个 圆轴 它的端面

来 分析一下：

建立x、y、z 三个坐标，

那么 它的截面是ΔA 面积，

那上面 每一点 实际上都受到内力，

但是呢 我们把 每一点 它受到的合力

用ΔFA来表示，

它可以分解成：x、y、z 三个方向，

那么 沿着这个 在位于横截面以内呢

只有两个分量--

y方向和z方向，

这两个合成呢 变成ΔFS；

另外 这个ΔFA 还有个是x方向，

我们 是垂直于这个截面的，

我们把它叫ΔFN。

好 由这些量呢 我们可以来定义

这个‘正应力’和‘切应力’。

我们看 正应力的计算公式就是

这个 与截面垂直的 这个分量 ΔFN 除以截面积 ΔA，

在当ΔA趋于0 也就是无限小的时候，

集中到一点，

这是一个极限定义式，

那么 也就是说

垂直于 横截面的 内力的分量

在某一点的集度--单位面积上

垂直于 横截面的内力 大小 叫‘正应力’；

那么相对的‘切应力’--

我们看 就是ΔFS 除以 ΔA，

当ΔA趋于0的话，

也就是说 沿着 位于横截面之内的

内力的分量，

当 面积趋于0，

也就是 集中到一点的集度。

所以 ‘正应力’和‘剪应力’是两个分量--

一个是位于截面的、一个是垂直于截面的。

当内力在横截面分布是均匀的时候，

那么 各点都一样，

我们可以简单的用 垂直于横截面的

总的 力的分量 FNA

除上 总的 横截面积 S；

‘切应力’是 位于 截面内的 总的 剪应力 FS

除以总的面积 S 来算；

那么 我们的‘强度失效’ 通常都是 因为应力

超过某个极限，

所以 经常发生在 应力最大的地方！

‘应变’的定义是：

单位长度 线变形量，

它的单位 是每米 产生多少米的 变形量，

所以是：米除以米(无量纲)。

那‘应变’是：因为 应力造成的变形，

那么 它也分两类：

一种是‘正应变’、一种是‘切应变’。

显然 由这个正应力 σ 引起的应变 就叫‘正应变’，

那么 由这个切应力 τ 引起的应变 叫做‘切应变’-

我们用γ表示，

正应变用ε表示，

这是大家 约定俗成的这种符号。

我们看 应变的求法：

我们取一个 非常微小的‘微元体’，

在结构材料内部，

它在正应变 作用下 向两边拉，

那么与原来的尺寸 dx 这个长度(相比)

那么拉完以后 它产生了位移增量--

du除以dx，

就是这个 应变的定义式，

这就牵扯到微分、导数的关系了。

那么 切应变 γ，

那么我们看看这个图：

也是这个微元体 它原来长度dx

我们只考虑这个 4个侧面，

它受到的切应力 τ的作用，

4个侧面都有--

而且是 环形首尾相接的，

这样的作用下呢

它由原来的 正方形的截面

变成了一个 平行四边形截面，

那么 平行四边形两个边

相对于原来的两个边的

角度变化--

α和β 相加 就是我们 切应变的量 γ，

所以呢 切应变γ 简单说就是‘直角改变量’。

在工程上 刚度失效 往往是因为 应变

超过了某个极限值，

应变最大的地方 会容易发生刚度失效。

好 我们在 材料力学里面呢

还经常 会 着重关注一下，

应力和应变之间，

这两个物理量之间的关系，

我们通常把它叫做“物性关系”。

这个物性关系是一条重要的曲线，

它经常用这个曲线呢 来 描述某种材料的

物理机械性能。

那么最简单的线性材料呢 这个物性曲线--

我们看 是一条直线，

也就是说 正应力 和正应变 是线性地变化，

随着应变 是线性增加的，

切应力 随着切应变 是线性增加的。

这实际上 是最早 我们说到的

“广义胡克定律”，

相当于这个弹簧 我们 弹性变形，

受到的弹力 跟 变形量 是成正比的，

那么这个比例常数呢

我们在弹簧里面 是用一个

弹簧刚度k 来表示的，

那么 我们材料也可以是个弹性体，

也有类似的这样的关系，

所以它这个 应力和应变之间呢

线性比例常数呢 用这个‘杨氏模量’

或者叫‘弹性模量’来表示；

对于切应变 也是一个比例常数，

用G 这个G呢 我们叫‘切变模量’，

这两个 模量呢 也是材料的两个

重要的物理参数。

对于 三维立体空间 一般的材料来说呢

这个胡克定律呢 就不是‘线性’的了，

我们到时候呢 看到有 所谓的‘广义胡克定律’。

我们再看看 （不是线性材料）

一般的工程材料呢 可能这个物性曲线

就不再是线性--

是一条直线了，

我看看脆性的材料 像铸铁之类的，

那么 它是一个：有一段线性、

但是到后来就变成非线性的曲线，

到拉升到一定时间 它会断裂！

我们看看 这里面有个小视频--

拉到一定程度 断了!

扭转 也是 扭转到一定程度 断裂。

还有 韧性金属，

它的物性曲线 更复杂了！

我们看看：

开始 有一段线性，

到这儿有一个 过渡过程，

到了 这一段 还有个所谓的‘颈缩点’，

那么再 随着应力增加 那么到这 突然断裂 就没了。

那么 工程塑料 是 另外一个形状。

所以呢 我们只要看到这个物性曲线不一样，

大致的什么分布 弧线，

我们就能判断这个材料 属于：脆性材料、

韧性材料、韧性金属，还是什么工程塑料，

这些曲线 现在比较容易得到--

我们通过一个“万能材料试验机”

把一个材料 按照 相应的国家 测试标准，

来做一个试件，

然后两边夹头把它夹起来 一拉，

拉多少 变形，

然后 计算机 会自动输出它的

‘应力-应变曲线’--

这个曲线就出来了。