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‘力系’ 英文名叫system of forces

就是：“两个 或者两个以上的力

构成的力的系统”。

有n个力构成的力系统 我们可以记为

F1、F2...一直到Fn。

那么 “如果这所有的力的矢量

都处在同一平面上”，

我们把它 这个力系 叫做‘平面力系’。

另外 还有个‘等效力系’的概念-

就是说：“如果两个力系分别作用在

同一个刚体上 产生的运动效应相同”，

那么 我们把这两个力系 视作为‘等效力系’。

还有 另外一个‘平衡力系’的概念，

‘平衡力系’又叫‘零力系’-

就是：“作用在刚体上

并 使这个刚体保持平衡的这个力系

叫做平衡力系”。

再来看看‘力偶’的概念，

‘力偶’实际上是‘最简单、最基本’的力系-

它就是：“由两个大小相等、方向相反、

作用线相互平行 但是不在同一直线上的

一对力 构成的力系”，

我们把‘最简单的力系’叫做‘力偶’。

它一个特点-

“只产生转动效应、

不产生平动效应”！

它实际上是个‘力矩’的概念。

我们看看 ‘力偶’产生一个‘转动的力矩’，

正、负， 它的大小就是“F

乘上这两个平行线之间的距离h

（我们把它叫‘力偶臂’）”。

我们在实际生活中 遇到的很多例子

都属于力偶的作用：

像我们汽车轮胎-

汽车轮胎要卸下来 或者要安上去，

我们要用一个 转动的力矩。

我们看看这个图：

用一个拧紧螺母的十字扳手，

实际上我们看

两个手 分别 一个是朝上、

一个是朝下、

对称地作用一个力，

它们的大小 可以认为相等、方向相反、

保持平行线，

就使得这个螺母呢 只产生转动效应！

工厂以前打螺纹时候，

用过所谓的‘丝锥’-

攻螺纹的时候 也是也是用两个手

沿着水平方向转动中间的丝锥，

也是一对力 大小相等、方向相反、

它们相距一定距离h的 这么一对平行线。

那么力偶 具有一些性质：

比如说 力偶 大小不变的话，

可以 分别改变 力的大小 或者 h的大小，

使得这个力偶的作用效应不变；

或者呢 我们把力偶 可以从一个位置

移动到另外一个位置，

整个物体的转动效应 还是不会变化！

因此我们在 很多的力系的简化的时候，

某个地方如果有力偶的话，

(在)结构本身上面的任意一点 可以移动，

甚至可以移动到结构的外面，

不在结构本身上！

我们看这个空间力偶系-

画一个模型体，

它受到不同的力偶，

那么 它们之间也可以按照

“平行四边形这个法则”来求和，

这是一个矢量和的关系。

我们再看看：‘约束’的概念和‘平衡’概念，

我们讲“静力学”的时候，

在分析刚性结构 进行力的分析的时候

通常我们要有‘已知力’和‘未知力’

（我们也叫‘主动力’和‘被动力’）。

那么通常我们结构-工程构件

或者机器零部件，

它不是独立存在在某一个空间上，

它是 一定是以某种方式

跟其他结构 有连接。

那么这时候 它的运动

或者它的位移，

包括它的转动，

可能会受到其他连接物体的阻碍

或者限制。

比如说：桥梁、房屋

受到地面的支撑，

它会 不再往地下下沉。

这些 梁 位移受到柱子 或者墙面的

支撑的限制，

这些都属于‘约束’。

那么 我们研究约束 就是为了：根据

已知的主动力，求 约束的被动力。

那么 “相连物体之间

限制彼此运动的相互作用力”，

我们把它叫作“约束力”-

这是它的一个定义。

它的‘作用点’，显然是物体的接触点，

它的约束力的‘方向’

总是与阻碍物体运动方向相反。

约束分好多种：

我们看看 简单的‘绳约束’

或者‘带约束’-

房顶部挂的吊扇，

以前用铁链 来悬吊它，

或者有些重物 用铁链挂掉起来，

这时候物体受到的约束 属于一种‘带’约束

或者‘绳’约束；

还有 皮带传动，

它的两端 皮带轮-从动轮，

它们受到的约束 都属于一种‘带’约束。

那么 带约束的 或者 绳约束的特点

就是：带和绳它“只承受拉、

不承受压”的这种特点，

约束力的方向 总是背离被约束体；

第二种约束，我们看看：“光滑刚性面约束”-

这种约束 是我们常常分析的时候，

作为一种 比较合理性的简化。

那么 这种约束力 经过接触点，

它的方向 是沿着‘接触点公法线’、

并且指向被约束物体。

我们看看 这两个球面 它们之间的约束呢，

一定是经过接触点、并且指向被约束物体。

我们把左边上面这个球 把它分离出来

来分析它受到的约束力的时候，

那么这个约束力 就指向这上面这个球。

还有 这种斜杆-

点接触到这么一个支撑尖端的时候，

我们可以把B点 也认为是一个

光滑刚性面约束。

因此呢 接触点的公法线

是垂直于这个杆、

沿杆这个方向，

而且指向被约束的 AD杆 这个物体。

还有一种约束叫：“光滑铰链约束”-

我们看 生活中有很多这样的

光滑铰链约束，

这里面列了很多图片，

像(我们)：螺钉-

用销钉连接的，

还有：剪刀的这种交叉的‘铰’，

还有订书机 也有这样的‘铰的连接’，

还有：恐龙骨关节、

我们人体也有这样的‘铰连接’，

那么这些 铰链结的约束，

我们通常用“光滑铰链约束”来简化它。

这种约束 可以把约束力 分解成 x、y、z

三个方向，

如果是平面的话，

可能只有 两个方向，

也可能只有 一个方向，

把它分解，

那么相当于两个未知数，

如果是三个方向的话，

就是三个未知数，

只有一个方向有的话 就是一个未知数。

那么 我们可以在 把它作为未知数，

将来在 我们的求解方程里面出现。

还有一种“球铰连接”，

在我们生物里面

经常有 球窝形的-

像我们骨盆 之间用球铰连接，

还有 这种 左边这个图

比较明显的滑块 用球铰连接到

另外一个结构上，

我们人体的关节 好多属于球铰连接。

那么 球铰连接 通常有三个方向上的约束力-

我们看看它：因为限制了三个方向上的

位移运动、

但是它不限制转动，

因此呢 只有三个方向上的约束力、

而没有约束力偶。

还有一种：滚珠，

还有：滑动、止推轴承，

这些轴承 通常把它归入“固定铰支座联接”。

那么 轴承 无论是哪一种，

我们也可以把它分解成

两个 或三个方向上的约束。

像这种滚动轴承 它限制了

x和y方向的移动，

所以 才有两个 约束力；

滑动轴承 它限制了y方向和x方向的运动，

所以 也有两个方向的约束力；

那么止推轴承呢 不光限制

x、y 两个方向上的运动，

而且呢 (还)限制了z方向的移动，

所以呢 它有3个未知力。

总的来说，

在 x、y、z 三个方向上的约束力

或者 约束力矩，

它限制哪个方向的平移，

我们哪个方向 就把它标上 有约束力，

如果限制哪个方向上的转动，

我们把它标上 相对应的约束力矩，

通常 都是未知的。

对于未知的这些约束力

或者 约束力矩，

我们可以 任意先假定它的方向，

待我们我们 将来 用这个平衡方程

来求解的时候，

如果求的结果是正的 说明：的确

实际上沿着你假定的方向，

如果说 求得结果是负的，

那说明：实际的方向呢

跟你假定的方向是相反的。

关于‘平衡’这个概念-

就是：“物体相对于惯性参考系

处于静止 或者等速直线运动状态”。

那么 这个‘平衡’，显然是运动的一种特例。

关于平衡 我们讲三个方面的知识点：

一个是‘二力平衡与二力构件’，

这是工程上 常见的一种工程构件；

另外一个呢 是“不平行的三个力，

它们的平衡条件”；

还有一个叫“加减平衡力系原理”，

这些呢 都是我们后面进行力的分析

所经常用到的三个知识。

我们首先看 “二力平衡条件”：

我们在工程里面 经常看到这种

只受两个力的作用-

像 顶棚上的斜拉杆，

它 一定是两个力：

一端 有一个合力、

另外一端 也有个合力，

这两个合力大小 不知道、

方向 不知道，

但是呢 我们一定知道：这两个力

一定是大小相等、方向相反的，

只要 这个杆 处于静止

或者平衡状态。

那么 因此呢 这是“二力平衡的充分必要条件”。

那么关于“三力平衡条件”，

我们也是一个 简化分析的一个手段。

假若一个刚体

它受到三个力的作用，

而且 这三个力不在同一直线上，

F1、F2、F3。

那么 在它们三个共同作用下，

刚体保持平衡 或者 匀速直线运动。

这时候呢 这三个力呢 一定满足

“封闭三角形”的条件-

也就是说：从一个力的首端

到另外一个力的末端、

再 画另外一个力的首端

和另外一个力的末端，

它们三个首尾相接

一定构成一个 封闭的三角形！

像我们 悬挂的构件

它受到了重力（第一个力），

另外还受到 两个链子的两个约束力-

FTA、FTB，

它只受这三个力。

那么我们可以 虽然不知道这个

约束力大小，

但是我们可以断定：

这三个力 一定构成一个封闭三角形！

我们可以把它简化成这样的一种情况，

那么也可以简化成，

从这个封闭三角形来看

FTB、FTA、FW，

它们首尾相接、

构成一个封闭三角形。

那么 像墙壁上 有两个铰链连接的

一个BC杆 和一个AB梁、

挂了一个重物FW。

那么我们大家可以考虑考虑：

这里面：哪一个属于二力杆？

哪一个属于受到的三力构件？

很显然 我们看到：

BC杆 它只有两个端部，

它一定受到 只受两个力的作用，

所以我们把它叫做‘二力杆’！

它的两个力 大小 我们不知道，

但是 它一定是沿着这个杆的方向-

大小相等、方向相反；

而AB梁 它受到三个力的作用：

除了A点的约束力、

还有B点的这种拉力、

还有重物的FW，

所以这三个力 使得这个梁 达到平衡-

固定静止在哪里，

那么 它们三个平衡！

这时候 这三个力

一定是满足封闭三角形的关系。

我们可以 把这个 A点的力 沿着虚线

延长到这一点，

还有 这个B点的约束力 延长到这一点，

这样 我们就得到了 重力 一定也通过这一点！

再介绍一个概念呢 就是“加减平衡力系原理”-

那么这个原理 在我们力系的简化里面

经常用-

我们经常要把一个力可以从一点

移到另外一个点上去，

移的时候 它还要附加一个力偶

才能保持原来力系的平衡。

这里面有一个说法：

“在承受任意力系作用的刚体上，

加上 或者减去一个任意平衡力系，

都不会改变原来力系对刚体的作用效应”。

另外我们 在“静力学”分析里边，

通常 要进行力的分析、

力的求解，由已知力 来求解一些未知力。

在求解的过程中，

我们脑子里面 要有这么一个概念：

如果一个系统有很多构件，

那么 系统整体平衡的话，

它的局部 也一定平衡！

因为它都在

要么静止状态 要么匀速直线运动状态。

那么 这个对于我们 从系统里面

隔离出一个构件，

或者是 我们选择隔离体、

选择不同的分析对象的时候，

是非常方便的。

那么像 这么一个系统-

整体系统平衡的话，

圆球一定平衡，

所以呢 把圆球作为一个考察对象-

把它隔离出来，

它受到的约束力 和主动力（重量），

构成一个系统，

可以单独列出一个 静力学的平衡方程；

这些支架：A-B-C，也可以做一个整体，

当然是 整体系统里面的局部整体；

AB和BC这两个支架，

它们一起 也构成一个平衡系统，

我们可以把它 从整个系统隔离出来，

分析它的 各个地方受到的

主动力、被动力；

我们 (从) A-B-C 这三个支架里面，

甚至可以单独把AB这个杆件 把它取出来，

它也是平衡的，

还有BC 把它取出来 也是平衡的，

我们可以分别 考察不同的对象，

来列不同的平衡方程，

这样来解出 很多未知的力的参量。

那么在隔离的时候，

我们注意：一旦隔离出来，

在约束点的两个不同的对象构件的时候，

它的约束力一定是：大小相等、方向相反、

作用在同一条直线上，

只不过是 作用在不同的物体上！

像我们这个 AB杆 和 BC杆 连接的B点上，

如果你把它 分别拆开以后，

B点上的未知约束力 那么只有x方向

和y方向的。

那么 B点这两个约束力，

虽然不知道大小和方向，

但是我们可以先假定它-

假若你假定B点的是

y方向的约束力朝下、

x方向的约束力朝右，

那么 在 BC杆 B点上呢

一定是 画一个 它的约束力

在y方向上是 跟B点的约束力相反

是朝上的；

它的x方向的约束力

在BC杆上的B点上，

它一定跟上面B点的约束力是相反的-

上面是朝右的，

它一定朝左，

大小 跟上面相等，

这是我们在分析力的时候注意的一点。

那么在材料力学里面，

我们经常也会用到 “整体平衡

和局部必然平衡”的这种理念。

材料力学 我们也是先分析这个结构

外面 受到的外力作用，

然后再考虑 对内部的变形的一些

作用效应。

我们看看整体 梁，

它受到的两端的力偶矩、

还有好几个点的集中力、

分布力 q(x)。

那么我们 在分析它局部的时候，

我们可以把它截成三段-

每一段 它也必定是平衡的，

甚至中间 dx非常小的一段

也是平衡的。

那么 左半部分这一段

把它截出来，

一截出来 它跟右边 就要多出一对 约束力

和约束力偶；

那么中间这个dx

很小的一段，取出来以后，

除了保持原来的外面的分布力作用外，

左边和右侧面

都要附加两个 约束力和力偶！

一旦取出来，

它跟相邻的连接的部分，

就要附加上 未知的约束力和约束力偶。

那么 甚至在材料结构内部，

我们随便找一个小的微元体，

（我们以平面形式画出来）

一旦 把它提出来，

它跟周围相连的部分

都要有约束力的表示，

甚至在取相应的小的三角形，

还应有“剪应力、切应力”这种分布。